1、2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型六 数列 （教师版）【备 考 要 点】数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、d(或q),掌握好设未知数、列出方
2、程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算。3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等。4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外 。如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键。6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果。7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于 建模及数列的一些相关知识的应用。【20
3、11高 考 题 型】考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解答题对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和等基础知识，主要以选择题、填空题的形式考查，难度属于中、低档2考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现，要掌握好它们的公式和性质，做到熟练且灵活的应用3.每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项公式及前n项和，或利用数列的前n项和Sn与通项an之间的关系求前n项和的客观题或解答题，客观题难度为低、中档，解答题难度为中、高档【2012 命 题 方 向】【原题】（本小题满分13分
4、）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；【解析】（1）由已知 解得 为公比的等比数列.13分【试题出处】昌平区20112012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）【原题】(本小题满分13分)已知数列满足：，数列满足,.()求数列的通项； （）求证：数列为等比数列；并求数列的通项公式.【解析】.() 数列为等差数列3分又所以数列的通项6分（）,.所以数列是以为首项，为公比的等比数列10分13分【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学试题【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：
5、（为常数，）（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和。【解析】（）当时，由，得当时，由，得两式相减得3分若时，若时， 是等比数列 ， 综上：所求的通项为，（）6分（II）当时，当时设则两式相减得若时 ，若时 综上：12分【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(文)【原题】(本小题满分10分)来源 已知等差数列,为其前n项的和，=0，=6，nN* (I)求数列的通项公式； (II)若=3，求数列的前n项的和【解析】（）依题意2分解得 5分（）由（）可知 ，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，7分 .所以数列的前项的和.10分【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教
6、学质量检测(一)数学试题【原题】（本小题满分13分）一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列” 我们给定以下法则来构造一个奇数数列an，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，an=（1）试写出该数列的前6 项；（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？（3）求该数列的前2n项的和Tn【试题出处】株洲市2012届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）【原题】（本题满分12分）已知数列满足()求数列的通项；()若求数列的前n项和【解析】（） (1).(2)(1)-(2)得即又也适合上式（） 【试题出处】山东省德州市2012届高三上
7、学期期末考试数学试题【原题】（本小题满分12分）数列的前项和记为,点在直线上,()当实数为何值时,数列是等比数列？()在()的结论下,设,，是数列的前项和,求。【解析】()点在直线上.2分， .4分当t=1时，数列是等比数列。.6分() 在()的结论下, .8分，.9分， .10分.12分【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三测试数学试题(文)【原题】已知数列的前项和为，对任意，有（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】（1） 对任意nN*有，且，得= 2 1分又由，得 当n2且nN* 时，有， 3分即， ，由此表明是以+ 1 = 3为首项，3为公比
8、的等比数列。需验证n取1,2时也成立.，有 5分故数列的通项公式为 6分（2）n = n()= n n，设数列 的前n项和为，则 = 8分 3 =，两式相减，得2 = = 10分 ，12分因此 【解析】（）因为,所以当时，即以为首项，为公比的等比数列 ；4分（）由（）知，若为等比数列，则有，而，故，解得7分再将代入得成等比数列， 所以成立 8分由于10分（或做差更简单：因为，所以也成立)，故存在；所以符合,故为“嘉文”数列12分【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 【原题】(本题12分) )在数列中，其中.(I)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(II)设，数列的前项和为
9、，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.【解析】（）证明：数列是等差数列3分 4分由得 6分【解】（）， 9分依题意要使对于恒成立，只需，解得，所以m的最小值为1. 12分【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学【原题】（本题满分14分）在数列中，为其前项和，满足（I）若，求数列的通项公式；（II）若数列为公比不为1的等比数列，求【解析】（1）当时，所以,即3分所以当时，；当时，所以数列的通项公式为6分（II）当时， ，若，则，从而为公比为1的等比数列，不合题意；8分若，则，由题意得，所以或10分当时,，得,不合题意；12分当时，从而因为
10、 ， 为公比为3的等比数列,，所以，从而14分【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷【原题】（本小题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列设，数列满足（1）求证：数列成等差数列；（2）求数列的前n项和（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围【解析】（1）由已知可得， 为等差数列，其中.3分（2）【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（理）【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：（为常数）.（1）求的通项公式；（2）若时，证明：.【解析】（1）当时，当时，由，得相减得3分当时，4分 当时，即是等比数列 ；5分 综上：6分（2）
11、若时，8分设，则 10分12分【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题【原题】（本题满分14分）已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论【解析】（）由得:时，2分是等比数列，得 4分（）由和得6分10分11分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有13分综上：当时有；当时有14分【试题出处】浙江省20112012学年度普通高中毕业班教学质量监测试题理科数学【原题】（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.（1）用表示和；（2）若数列满足：.求常
12、数的值使数列成等比数列；比较与的大小.【解析】(1) 与圆交于点,则,2分由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为,3分由点在直线上得: , 4分将，代入化简得: .6分(2)由得：，7分又，故， 8分，令得：9分由等式对任意成立得：，解得：或故当时，数列成公比为的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列。11分由知：，当时，；当时，12分事实上,令,则,故是增函数,即:,即14分【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文科数学试题,9分(3)先证:当时,.事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立.,11分(等号仅在n=1时成立)求和得: 14
13、分【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）【原题】（本小题满分14分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差（）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为，且满足若不等式对恒成立，求的取值范围21. 【解析】（1）：依题又为等差数列，设公差为，则故是常数列. 4分（2）由是首项为2，公方差为2的等方差数列.即为首项为4，公差为2的的等差数列，6分由得 10分不等式即也即，即恒成立由于时，；时，；
14、假设时，那么，由归纳法原理知：时，所以，故的取值范围为 14分【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三联考数学（理科）试题【原题】定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”。已知数列中，点在函数的图像上，其中为正整数。（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列。（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。（3）对于（2）中的，记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。（3），10分12分由得,.当时，当时，的最小值为2011【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学试题（理科）【原题】（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.
15、（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；（III）记，求证：.【解析】（1）由已知 解得 4分（2）由于，令=1，得 解得，当时，得 ， 又, 数列是以为首项，为公比的等比数列.9分（3）由（2）可得9分 10分，故 13分【试题出处】昌平区20112012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）【原题】（本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：；当时，与满足：当时，,；当时，.（）若，写出，并求数列的通项公式； （）在数列中，若(,且)，试用表示；（）在（）的条件下，设数列满足，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.【解析】（）解：因为，所以,.因为,所以
16、,.因为,所以,.所以. 2分由此猜想，当时,，则，. 3分下面用数学归纳法证明：当时，已证成立. 假设当（，且）猜想成立， 即，. 当时，由， 得，则，. 综上所述，猜想成立.所以.故. 6分（）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立， 7分所以有，从而有，所以.当时，,所以; 8分当时，总有成立. 又，所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,又因为，所以10分（）证明：由题意得 .因为，所以.所以数列是单调递增数列. 11分因此要证,只须证.由，则，即. 12分因此.所以.故当,恒有.14分【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学
17、试卷【原题】（本小题共13分）若有穷数列an满足：（1）首项a1=1，末项am=k，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，m-1)，则称数列an为k的m阶数列（）请写出一个10的6阶数列；（）设数列bn是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值【解析】（）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10 2分（）由已知在数列an中 an+1= an+1或an+1=2an，当为偶数时，或因为 ，所以在数列an中 中i的个数不多于中j的个数，要使项数m最小，只需 5分当am为奇数时，必然有 ，是偶数，可继续重复上面的操作所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数
18、则减1因为，且，只需除以次2，得到为奇数；减1，得到为偶数，再除以次2，得到；再减1，得到为偶数，最后得到为偶数，除以次2，得到1，即为所以=13分（若用其他方法解题，请酌情给分）【试题出处】丰台区20112012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）【原题】（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上
19、结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ，由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以
20、， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列.13分【试题出处】北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）【原题】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造，求使对恒成立的最小值.【解析】（1）等，答案不唯一；4分（2），当时最小值为9,；6分，则,因此，时，最大值为6，9分所以，数列是数列的“下界数列”； 10分（3），11分，12分不等式为， 设，则，15分当时，单调递增，时，取得
21、最小值，因此17分的最小值为18分【试题出处】2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）【原题】已知函数,若成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是不等式整数解的个数，求； (3)记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题可知（2分）得（4分）（2）原式化简：（8分）【原题】（本小题满分12分）已知正项数列满足：（1）求的范围，使得恒成立；（2）若，证明（3）若，证明：【解析】:（）由，得由，即所以或（舍）所以时，3分（）证：若，得 现假设（）构造函数，易知在上单调增所以即由以上归纳可知6分（）由得
22、所以8分构造函数，在上单调递增所以12分【试题出处】重庆市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）【方 法 总 结】1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。