1、理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题 ()()(2)_()()_.1f xf axf a xf xfa xf xf axf b xf x如果函数满足=-或=-，则函数的图象关于直线对称一般的，若=-，则函数的对称轴方函数的对程称性是 _()()(0)_2_.yf xxDTxDf xTyf xf xxf xaf xf xaaf x函数的周期性的定义：设函数，若存在非零常数，使得对任意的都有，则函数为周期函数，为的一个周期若函数对定义域中任意 满足 或，则函数是周期函数，它的一函数的周期性个周期是 2()2abxaxf xTf xa ；【点指南；要】1.函数 f(x)2x25x
2、1 的对称轴方程为 x54.【解析】二次函数对称轴方程为 x b2a 52254.2.已知偶函数 f(x)在(0，)上是增函数，则 f(x)在(，0)上是()A增函数B减函数C常函数D有时递增，有时递减的函数【解析】偶函数的图象关于 y 轴对称，而在(0，)上是增函数，所以在(，0)上是减函数 3.函数 f(x)4x12x 的图象()A关于原点对称B关于 x 轴对称C关于 y 轴对称D关于直线 yx 对称【解析】因为 f(x)4x12x 2x2x，所以 f(x)2x2xf(x)，即 f(x)为偶函数，故图象关于 y 轴对称，故选 C.4.设 f(x)满足 f(x32)f(x)，且 f(x)是奇
3、函数若 f(1)1，f(2)a，则下列结论正确的是()Aa2Ba1Da1【解析】由已知得 f(x3)f(x)，所以 f(x)的周期是 3，且是奇函数，所以 af(2)f(31)f(1)f(1)f(3)Bf(2)f(5)Cf(3)f(5)Df(3)f(6)【解析】由已知，f(x)的对称轴方程是 x4，所以 f(3)f(5)f(6)一 函数周期性及其应用【例 1】已知函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若 f(1)2，求 f(99)的值；(3)若当 x0,2时，f(x)x，试求 x4,8时函数 f(x)的解析式【解析】(1)由题意 f(x)0，则 f(
4、x2)13fx.用 x2 代替 x 得 f(x4)13fx2f(x)，故 yf(x)为周期函数，且周期为 4.(2)若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f1132.(3)当 x4,6时，x40,2，则 f(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4.当 x6,8时，x60,2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x6)f(x2)x6.又根据已知 f(x)f(x2)13，得 f(x2)13fx，所以 f(x)13fx213fx2 13x6.所以解析式为 f(x)x4 4x613x660)；同理，f(xa)f(x)，f(xa)1fx，f(xa)1fx，可推得
5、周期 T2a(a0)；若 f(x)为奇函数，且关于直线 xa 对称，则其周期 T4a(a0)；若 f(x)为偶函数，又关于直线 xa 对称，则其周期 T2a(a0)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当 0 x1 时，f(x)x2.(1)判断函数 f(x)是否是周期函数；(2)求 f(5.5)的值素材1【解析】(1)由fxf2xfxfxf(x)f(2x)f(x)f(x2)f(x)是周期为 2 的周期函数(2)f(5.5)f(41.5)f(1.5)f(0.5)0.25.二 函数对称性及其应用【例 2】(1)定义在 R 上的函数 yf(x)是增函数，且函数 yf(
6、x1)的图象关于(1,0)成中心对称，若 f(2aa2)f(3)0，则实数 a 的取值范围为_(2)已知函数 f(x)(12)x 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 yx 对称，令 h(x)g(1|x|)则关于函数 h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点对称；h(x)为偶函数；h(x)的最小值为 0；h(x)在(0,1)上为减函数其中正确命题的序号为_(注：将所有正确命题的序号都填上)【解析】(1)由 f(x1)的图象关于(1,0)中心对称，则 f(x)的图象关于(0,0)成中心对称，则 f(x)为奇函数所以不等式 f(a22a)f(3)0f(a22a)f(3)，则a22a3，解之得 a
7、3 或 a1.(2)依题意，g(x)log12x，h(x)log12(1|x|)，易知，h(x)为偶函数，正确；因为 0|x|1，所以 h(x)的最小值为 0，正确【点评】(1)若函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称，则只需f(2ax)f(x)恒成立，或 yf(xa)为偶函数；(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称，则恒有 f(2ax)f(x)0，或yf(xa)为奇函数；(3)指数函数 yax(a0 且 a1)关于直线 yx 对称的函数为 ylogax(a0 且 a1)，需要识记设函数 f(x)定义域为 R，且其图象关于直线 x2 对称，同时关于直线 x7 对称，在区间0,7上只有
8、 f(1)f(3)0.(1)试判断 yf(x)的奇偶性；(2)求 f(23)的值素材2【解析】(1)因为 f(x)在0,7上只有 f(1)f(3)0，所以 f(0)0，故 f(x)不是奇函数又因为 f(x)关于 x2 对称，所以 f(2x)f(2x)，则 f(1)f(5)0.而 f(1)0，所以 f(1)f(1)，故 f(x)不是偶函数，因此 f(x)是非奇非偶函数(2)因为 f(x)关于直线 x2 及 x7 对称，则对任意 xR 有 f(4x)f(x)，f(14x)f(x)，所以 f(4x)f(14x)，即 f(x10)f(x)，所以 f(x)是以 10 为周期的周期函数所以 f(23)f(
9、1023)f(3)0.三 函数性质的综合应用【例 3】对任意实数 x，y 总有 f(x)f(y)f(xy)(1)求 f(1)的值；(2)求 f(14)f(13)f(12)f(1)f(2)f(3)f(4)的值【解析】(1)令 xy1，则 2f(1)f(1)，所以 f(1)0.(2)f(14)f(13)f(12)f(1)f(2)f(3)f(4)f(14)f(4)f(13)f(3)f(12)f(2)f(1)4f(1)0.【点评】用赋值的方法是解决抽象函数的有效方法，常见的是自变量取特殊值，如1,0,1 等等 已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任意的 x、y 都有 f(xy)f(x)f(y)1
10、 成立，且当 x0 时，f(x)1.(1)判断 f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若 f(4)5，试解不等式 f(m2)x2，则 x1x20，从而 f(x1x2)1，f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，所以 f(x)在 R 上是增函数(2)因为 f(4)f(22)2f(2)15，所以 f(2)3.又 f(m2)3f(2)，所以 m22，即 m4.备选例题若函数 yf(x)关于点(a，b)成中心对称，则一定有 f(x)f(2ax)2b；反之，也成立；试探究函数 f(x)52x12x1 的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由【解析】假设函数 f(x)存在对称中心，设其坐标为(h，k)，则对任意 xR 有 f(hx)f(hx)2k 恒成立，即52hx12hx1 52hx12hx1 2k，整理得(42k)2hx(42k)2hx(102k)22h22k0，于是有42k0102k22h22k0，解之得 h0，k2，故 yf(x)的对称中心为(0,2)1(0)2 13ZTf xkT kkf xf xyf xf xyf x若 是的一个周期，则，也是的周期 若函数存在两条平行于 轴的对称轴，则函数是周期函数；若函数具有奇偶性，又有一条平行于 轴的对称轴，则函数是周期函数注意函数性质的逆向应用