1、2 圆的对称性 第1课时 1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.(重点)2.(1)和圆有关的相关概念的辨析理解.(2)垂径定理及其逆定理的应用.(重点、难点)1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是_.2.和圆相关的概念(1)弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的_，直径是经过 _的弦.(2)弧：_任意两点间的部分叫做圆弧，简称_.(3)等圆和等弧：_相等的圆叫等圆，在_中，能够完全_的弧叫做等弧.任意一条过圆心的直线 线段 圆心 圆上 弧 半径 同圆或等圆 重合 3.垂径定理及其推论 如图，CD为O的直径，AB为弦.【思考1】(1)当CDAB，垂足为E时，将圆沿直线CD对折，点A与 点
2、B重合吗？你会发现哪些相等的线段和相等的弧？提示：重合.(2)你能证明AE=BE吗？提示：连接OA，OB，则OA=OB.CDAB，OAE和OBE都是直角三角形.又OE为公共边，两个直角三角形全等，则AE=BE.AEBE ADBD,ACBC.，(3)当AE=BE时，将圆沿直线CD对折，相等吗？提示：连接OA，OB，则OE为等腰AOB底边上的中线，CDAB，对折后点A与点B重合，(4)上述证明是在AOB存在即AB为非直径的弦的条件下得到的 结论，那么当AB为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？提示：成立.如图所示.ADBD ACBC与，与ADBD,ACBC.【总结】垂径定理：垂直于弦的直径_，并且_
3、弦所 对的弧.平分弦 平分【思考2】(1)AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径 CD，交AB于点E，那么CD会垂直于AB吗？还会平分弦所对的两 条弧吗？提示：连接OA，OB，则OA=OB，AOB为等腰三角形.直径CD平分AB，底边AB上的中线OE所在的直线 CDAB.CD为直径，ADBD ACBC.，(2)当弦AB为直径时，作一条平分AB的直径CD，那么CD还垂直于AB吗？还平分弦所对的两条弧吗？请画图说明.提示：不一定.如图，CD平分AB，但是CD不垂直于AB，不平分弦所对的两条弧.【总结】垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径_于弦,并且_弦所对的弧.垂直 平分 (打“”或“”
4、)(1)任意一条直径都是圆的对称轴.()(2)半径是一个圆中最短的弦.()(3)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.()(4)等弧一定出现在等圆或同圆中.()知识点 1 垂径定理【例1】如图，O的半径为2，弦 点C在弦AB上，则OC的长为()AB2 3，1ACAB4，2 37A.2B.3C.D.32【思路点拨】作ODAB于点D构造两个直角三角形，应用勾 股定理和垂径定理求出OC的长度.【自主解答】选D.如图，作ODAB于点D，则 由勾股定理，得 1BDAB3.2113ACABCDAB.442又，22222222237OCCDODCDOBBD()23247OC.2，【总结提升】垂径定理运用
5、中的“两注意”1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端(即半径)，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解.2.方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.知识点 2 垂径定理的应用【例2】如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的 圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA是 多少米？【解题探究】1.根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂径定理吗(假设CE为O的直径)？提示：CE为O的直径，CEAB，
6、ADBD ACBC AEBE.，2.如何根据垂径定理求AD的长？提示：在O中，AB=10米，ODAB，3设O的半径OA为x米，请用代数式表示线段OD的长.提示：OD可表示为(7-x)米.ABAD5.2 米4应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到 圆心的垂线段为边的直角三角形.利用勾股定理列方程求解，请你找出此直角三角形，并求解.提示：此直角三角形是RtAOD.在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即x2=(7-x)2+52，解得 37x.7【总结提升】垂径定理基本图形的四变量、两关系 1.四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点 到弦的距离(弓形高)h,这四个变量
7、知任意两个可求其他两个.2.两关系：222a()drhdr.2；题组一：垂径定理 1.(2013广安中考)如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足 为点C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则圆O的半径为()【解析】选A.连接AO，设圆O的半径是r cm,则AO=r cm,CO=(r-3)cm.由垂径定理得 在RtAOC中，由勾股定理 得42+(r-3)2=r2，解得 25A.cmB.5 cm619C.4 cmD.cm61ACAB4 cm.225r cm.62.(2013潍坊中考)如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BPAP=15,则CD的长为()【解析】选D.连接O
8、C，OP=4.APCD，CP=DP.在RtOCP中，A.4 2B.8 2C.2 5D.4 51BPAB2OCOB6,6，2222CPOCOP642 5CD2CP4 5.，3.如图，AB为O的直径，弦CDAB于E，已知CD12，BE 2，则O的直径为()A.8 B.10 C.16 D.20【解析】选D.连接OC，设OC的长为r，CD12，由垂径定理 可得CE6，OEC是直角三角形，BE2，OEr2，由勾股定理可得OC2OE2+CE2，即r2(r2)2+62，解得r10，O的直径为102=20.4.如图，在半径为10的O中，如果弦心距OC=6，那么弦AB的长等于_.【解析】连接OA，在RtOAC中
9、，OA=10，OC=6，根据勾股定理 得到 因而AB=2AC=16，弦AB的长等于16 答案：16 22AC1068，5.如图,在O中,AB为O的弦,C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证：OCD是等腰三角形.【证明】过O点作OMAB,垂足为M.OMAB,AM=BM.AC=BD,CM=DM.又OMAB,OC=OD.OCD是等腰三角形.6.已知：如图，PAC=30，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长.【解析】过点O作OGAP于点G，连接OF，DB=10 cm，OD=5 cm，AO=AD+OD=3+5=
10、8(cm)，PAC=30，OGEF，EG=GF，EF=2GF=6(cm)，圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm.11OGAO84 cm22，2222GFOFOG543 cm，【解题技巧】解决有关弦的问题,常常需要作辅助线：弦心距和半径,把垂径定理和勾股定理结合起来.题组二：垂径定理的应用 1.如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()【解析】选C.作ODAB于D,连接OA.根据 题意得 再根据勾股定理得：AD=cm,根据垂径定理得 A.2 cmB.3 cmC.2 3 cmD.2 5 cm1ODOA1 cm,2AB2 3 cm.32.(2013丽
11、水中考)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面 圆心O到水面的距离OC是()A.4 B.5 C.6 D.8【解析】选C.由垂径定理知OC垂直平分AB，故BC=8，由勾股定理得OC=6.3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_mm.【解析】设圆心为O，过点O作ODAB于点D，根据题意知，OA=5 mm，OD=85=3(mm)，根据勾股定理，得：则AB=2AD=8 mm.答案：8 22ADOAOD4 mm，4.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A
12、，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为_.【解析】如图，过点P作PCx轴于C，则OC=4，又OA=2，所以AC=2，根据垂径定理可得BC=AC=2.因此，点B的坐标为(6，0).答案：(6,0)5.在直径为52 cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图,如果油的最大深度为16 cm,那么油面宽度AB为_cm.【解析】作OCAB,交O于D,连接OA,依题意 OC=26-16=10(cm),AC2=262-102=242,AC=24(cm).由垂径定理知AB=48 cm.因此油面 宽AB为48 cm.答案：48 6.如图,我国新建一座石拱桥,桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为40 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为8 m,求桥拱的半径R.【解析】经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设 AB=40 m,CD=8 m,在RtOAD中,由勾股定理得,OA2=AD2+OD2,即R2=202+(R-8)2,解这个方程得R=29 m.ABAB 1ADAB20 m,ODOCDCR8.2【想一想错在哪？】有一个半径为5米的排水管，水面宽度为 8米，求此时水的深度.提示：此题没有给出图形，应该有两个深度.