1、12函数与方程的思想是中学数学中的基本思想，它在数学试题中占有较大比重，试题中的很多压轴题往往和函数与方程的思想有关一个问题常常涉及到多个变量，这些变量之间相互关联，相互制约为了解决问题，我们便把它们之间的这种制约关系用函数的形式反映出来，运用函数的知识来处理，这便是函数的思想；为确定某些未知量，常需建立量与量之间的等量关系，通过联立方程来求解，这便是方程思想像这种利用函数与方程来解决问题的思想就是函数与方程思想，它在数学问题的解决中有着极为广泛的应用3 1应用函数思想解题的关键在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和活用函数的性质这里所应用的函数性质包括：函数f(x)的单调性、
2、奇偶性、周期性、最大值和最小值以及图象变换等，要求我们熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的具体特性 2应用函数思想的几种常见题型遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识进行解答.4等差、等比数列中，通项公式、前n项和公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数知识加以解决。3应用方程思想应着重考虑把问题中对立的已知量与未知量通过建立等量关系统一在方程中，
3、通过解方程解决；从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；根据几个变量间的关系，判断符合哪些方程的性质和特征,通过研究方程所具有的性质和特征解决。在中学数学中常见数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问题去解决。51函数思想 （1）利用函数的定义域和值域例1.设不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的一切实数m均成立，试求实数x的取值范围 6分析：由于思维定势，易把问题看成关于x的不等式而进行讨论然而，若变换一个角度，以m为变量，问题就是：已知关于m的一次不等式(x2-1)m-(2x-1)0在-2,2上恒成
4、立，试求实数x的取值范围于是可设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在-2,2内恒为负值时实数x应该满足的条件 .(2)0(2)0ff7 解析：问题可变成关于m的一次不等式:(x2-1)m-(2x-1)0在-2,2上恒成立 设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，则 解得 x(）.22221210221210fxxfxx 713122，8【点评】本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化；或者含
5、有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题 9(2)利用函数的单调性 例2.已知实数m，n满足m3-3m2+5m=1，n3_3n2+5n=5，则m+n为_ 分析：拟通过求出m、n的具体取值显然是困难的而注意到题设两等式的特征，可使我们联想构造函数并利用函数的单调性加以求解 10解析：因为m3-3m2+5m=1，所以(m-1)3+2(m-1)+2=0.又因为n3-3n2+5n=5，所以(1-n)3+2(1-n)+2=0.设f(x)=x3+2x+2，则等价于f(m-1)=0，等价于f(1-n)=0，于是f(m-1)=f(1-n)又显然f(x)为R上的
6、增函数，所以m-1=1-n，所以m+n=2.11(3)利用函数的奇偶性 22(5)1(65)4(14)0 xxxx例方程 6的解集3.分析：方程左边两项均具有x（）的形 式,故可联想构造函数法来加以完成 214x12.解析：令f(x)=x(1+)则原方程等价于f(6x+5)+f(x)=0.又易知f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，所以f(6x+5)=f(-x)另一方面，易证f(x)为增函数，所以6x+5=-x，所以x=-.2 4x 5713(4)利用函数的有界性与连续性 例4 求证：方程x=asinx+b(a0，b0)至少有 一个正根，且它不超过a+b.证明：设f(x)=asinx
7、+b-x，则f(x)在R上是连续的且f(0)=b0.又f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-10.若f(a+b)=0，则a+b就是方程的根，且它不超过a+b；若f(a+b)0，又f(0)0，故在区间(0，a+b)内至少存在一个实数x0，使得f(x0)=0，即x0=asinx0+b.故方程x=asinx+b至少有一个正根，且它不超过a+b.14【评析】从几何意义上来讲，这里用到的结论是：若函数f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则函数f(x)的图象必在区间(a，b)内至少要穿越x轴一次这便是根的存在性定理15(5)利用函数的周期性 例5 已知函数f(
8、x)满足f(x+1)=，且f(1)=2，求f(2010)的值.11f xf x 161()1tan()1()41tantan1tan()tan,41 44,44(2010).f xf xxf xxxxf xxf 由，联想到，注意到函数的周期为,故猜测周期为进而可求分析：171(1)2111(1)1()111()1()()11()1(4)(2)2().(2)()4(2010)(2)1(1).1(1)3f xf xfxf xf xf xf xf xf xf xfxf xf xf xffff 因为（分析中所猜函数满足本性质）所以所以是以 为周期的函数，进而解析：182方程思想(1)利用根与系数的关系
9、构造方程 33例6 已知ABC的三内角A、B、C成等差数列，且tanAtanC=2+，又知顶点C的对边c上的高等于4 试求ABC的三边a、b、c及三内角 分析：已知了一个积式，考虑能否由其他已知得到 一 个和式，再用方程思想求解3319212.3tantantantantantantantantan(tantan1)3(13).tantan3(13)230123.tan184tan23,45,1642ABCBABCABCABCACBACACxxxxACACACabc由、成等差数列，可得在中,由，得所以、是方程的两根，解得，不妨设 ，则，所以，由解析此容得到，易：，3.420“tantantan
10、tantantantantantantanABCABCABCACAC本题的解答关键是利用中，”这一条性质得到【点评，从而设出方程求出和的值，使问题】得到解决21(2)运用根的判别式构造方程 1coscoscos.8ABCABC中，求证：例7 分 析：先 使 用 三 角 公 式 进 行 变 形，后 通 过 察式子的特点而选择和发现最合适的方法加以解决22222coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos20coscos8018cos11cos8osco8.cskABCABA BCCA BCCA BCkCA BkkA BAkBC 设 ，整理得，它可看作是关于的证一元二次
11、方程.所以，即，所以，即明：23【点评】本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的方程有实数解的问题，这既是“方程思想”，也再现了“判别式法”、“参数法”的灵活应用24(3)直接利用条件构造方程 2110()12f xaxbxcg xbxabcabcabcabcABABxA B R已知二次函数和一次函数，其中、满足 ，求证：两函数的图象交于不同的两点、；求线段在例8轴上的射影的长的取值范围分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题容易走入误区：老是想在“形”上找解决问题的突破口，而忽略了“数”本题的顺利求解可利用方程思想
12、巧妙转化25 2222222221,20.4444434()24000.3004yaxbxcyaxbxcybxbacacacaacccacabcabcacc 由，消去得 因为，所以 ，所以两函数的图象，所以 交于不同，解即析：的两点.26 121221112121221222222222220,2.24444()244134()14().24axbxcxxbcxxx xaaABxxbcbacxxx xaaaacacacccaaa 设方程的两根为 和则，272111120001(2).2()4()111(2)223,(3 2,.3)12abcabcaccaaccacccf aaaccaaABAB
13、 因为，所以 ，解得，因为的对称轴方程是，且当，时，为减,故，函数所以28(4)利用根的定义构造方程12342222212421342312340()920aaaaaa aaaaaaaaaaa 若实数，都不等于，且，试证明：，成等比数列，且例为其公比29422222124213423222222213122322242212313221322213213123213421()2044()()4(2)4()002()2(aaaaaaaaaaaaaaaaaa a aa aaaa aaa aaa aaaaaaaaaa 由题设等式可知，是一元二次方程，的实数根，所以，所以，所以，所以，成等比数列由求根
14、明公式：，得证213222211314().a aaaaaaaa，为该等比数以列的公比所30【点评】这里对已知等式进行整体观察，发现a4是某已定系数的一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性 31(5)由待求式构造方程 sin20 cos70sin10 sin5010例求的值.sin20 cos70sin10 sin50cos20 sin70cos10 cos50sin20 cos70sin10 sin50cos20 sin70cos10 cos50sin90cos40sin20 cos70sin10 sin50cos20 sin70cos10 c1cos40os50 xyxyxy 令，并设，则 解析：，sin(50)cos61cos4020.321.4sin20 cos70sin10 sin50.14 以上两式相加即得所以x【点评】以上这种构造法，我们称之为匹配构造法这种方法在求三角函数值中常有应用