1、在解决问题的过程中，我们常会遇到“一言难尽”的情况，问题中一些不确定的因素，使得我们难以用一个“统一”的方法去解决这时我们把其划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定性不再影响问题的解决，每一个局部问题解决了，整个问题也就迎刃而解了，这就是分类讨论法分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重一般说来,有关分类讨论的试题，相对难度较大,加之考生的惧怕心理以及分类意识的缺乏与淡化、分类的盲目与随意，因而往往得分较低，故研究并掌握分类讨论思想方法，
2、便有着非同寻常的意义1分类原则：施行分类的集合的全集必须是确定的；每一次分类的标准必须是统一的；分类必须是完整的，不出现遗漏；各子集必须是互斥的，不出现重复；实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级2分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体；确定分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳小结，综合得出结论3分类策略:化整为零各个击破,积零为整全歼问题4解题一般步骤：确定标准合理分类逐类讨论归纳总结5解题时严把“四关”：基础关深刻理解基本知识与基本原理；分类关找准划分标准；逻辑关分类条理分明，层次清晰；检验关注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍1根据有关定义与概念进行分类讨论有
3、些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率、二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线等一、分类讨论的动因进行分类讨论的关键是明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确地、恰当地进行讨论tan()2kpa a=?sin|cos|tan_|sin|cos|tan|xxxyxxx函数的值域是例1.分析：显然这是由三角函数值符号的变化而引起的分类讨论这里应对角x的终边所在的象限分别在一、二、三、四象限四种情形进行讨论解析：当角x的终边所在的象限分别在一、二、三、四象限时，可得y的值分别
4、为3、-1、-1、-1，于是所求函数的值域为3，-1 例2.已知圆x2+y2=4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为_分析：容易想到，设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)，再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定得出k值，从而得到所求直线方程，但要注意到，过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此，本题需要对过点P的直线分两种情形讨论求解 .|.yk xkxykxkkxky2当斜率存在时，设直线的方程为42，即24024341003若直线与圆相切，则2，解得41所以切线方程为当斜率不存在时，易求得切线方程为2解1：2析2按
5、某些运算的要求进行分类讨论有些运算有一定的要求限制，如除法要求除式不为0；解不等式时要看两边是同乘一个正数还是负数；对数运算中要求真数为正数等所有这些都是进行运算时须进行讨论的动因例3.在xOy平面上给定曲线y2=2x，设点A(a,0)，aR，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论 minmin ().|()().(M xyyxMAxayxaxxaayxxaxaMAaaaaf aaaxMAa 2222222222设，为曲线2 上任意一点，则2121
6、 由于2 限定0，所以分以下情况讨论：若10，则当1时，即21；若10，则当0时，即综2111上所述，有解析：注：本题解题的基本思路是先建立目标函数求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到函数f(a)的表达式3根据某些定理或公式的限制条件而引起的分类讨论 有些数学定理或公式，其结论本身就是按分类讨论来进行表达的，如等比数列前n项和公式就是按q=1或来表述的；一元二次方程解的情况是按“”的正负给出的q 115sincoscos.213ABCABC=V在中，已知，求例4：()()()2coscoscoscossins
7、incossincossincoscos1sin,CABCABABABABCAAAAA因，所以因此，只要根据已知件，求出，即可得的值但是由求，是取正是取或是一解是解？一需才能确定 故解本要分角行分分析：p=-+=-+=-=?为条时还负说还两这点经过讨论题时类讨论对进类()()()520cos132124590sin.1313sin30cos221sin1501802180150.coscoscos35coscossinsin(21BBABCBBAAAAAAAABACABABABAB因，且的一角，所以，且若角，由，得，此；若角，由，得，此，与三角形的角和相矛盾可析：所以解Vp=?肮?=-+=-+
8、=-=-?为为个内为锐时为钝时这内为见112)12.32513326-?4根据函数的某些性质进行分类讨论有些问题涉及函数的单调性、值域等，因此在解题时，常常要讨论参数的不同取值的情况例5：飞机俯冲航线和山顶在同一铅直平面内，且与水平线成角自山顶左上方的A处向山顶右下方俯冲已知飞机在A处(位于山顶左上方)海拔为a km，测得山顶俯角为()，现保持航向不变，飞行b km到达B点，测得山顶俯角为，求山顶海拔高度h.abab分析：先作出示意图如图所示，在图中标出各已知 量，然 后 分 情 况 利 用 正 弦 定 理 求 解ABC(AB1C与AB2C)，求出AC，从而范围所求高度h=DE=a-DF=a-
9、ACsin.b()11111()sin()sin()sin().ssin()sinsin(in1(.)BAB CABbACBbAB CabACbAChDEaDFba如，分种情求解机在如所示的，在中，于是由正弦定理，得，故于是解：，析Vgabgpggbpgaggbgba=?-?-=-?-=-=-=图两况当飞图处时()22222sisin()sin()sin().sin().sin()sin kmsin()sin()sin(2n()sinsin()BAB CABbACBAB CbACbAChDEaDFbhaaabbpgbgagpgbgagagbgabgbggbagab=?-?+=-+=+=-=+-
10、?+-+-?+V机在如所示的，在中，于是由正弦定理得，故所以，答：山海拔高度或当飞图处时顶为sin km.)bb二、简化分类的策略由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述繁琐，且极易在完备性上造成失误，因此它并非一定是解决问题的良策我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证统一的关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论1改变一个观察视角222241yxxmyxmxymxmxmxm=-+=+=+-已知三物，中至少有一与相交，求的取值范条抛线条轴试实数围例6:22140416042.44|0210303x
11、mmmmmm mmmmmm的反面：三物均不与相交出，有，解得故 的取值范析：且或解-(-)从题设条抛线轴发则围为|R0m mm里的全集，且，故在【点】注评求集意一喂这应为补时须这点2调换一下解题方法()()01log 1log 1aaxxx-+已知 ，比和的大小试较例7：分析：这里有绝对值，有参数a，有变量x，怎么办？去绝对值！怎么去？可用平方作差去绝对值，也可用分类讨论作差去绝对值，但它们都少不了分类讨论那能不能改变一下解题方法，利用对数换底公式直接消去参数而回避分类讨论呢？()()()()11121log 1llog(1)|log1|log(1)1log1log.1010 1og1111111log1.11aaxaxxxaxxxxxxxxxxxxx因 解，所以 ，而，且，故，于析是：+-=-+=-=-+-+为从【点评】总之，对于何时需要分类讨论，要视具体问题而定，并无统一的规定，但可以在解题中不断地总结经验并加以灵活运用
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