1、第三十章 二次函数 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 九年级数学下册冀教版 12CONTENTS 1想一想：思考并回答下列问题:1.下列方程与函数形式上有何联系?x2-2x-3=0,y=x2-2x-32.方程的根与函数图像有什么关系?(方程左边的式子就是函数表达式中“=”右边的式子)(函数值y=0时x的值,即函数图像与x轴交点的横坐标.)CONTENTS 2二次函数与一元二次方程的关系 问题1.1 如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3,y=x2-6x+9,y=x2-4x+6.这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况分别是怎样的?二次函数与一元二次方程的关系 问题1.2
2、当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的?问题1.3 上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系?二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系有两个公共点 有一个公共点 无公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实根 二次函数与一元二次方程的关系 归纳：1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数
3、由b2-4ac决定,当b2-4ac0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点;当b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.二次函数与一元二次方程的关系 练一练：二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根是()A.x1=1，x2=-1B.x1=0，x2=2C.x1=-1，x2=2D.x1=1，x2=0C求一元二次方程的近似根 例2 求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1)如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像.观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x10;当x=-1时,y0,且-2
4、x-1范围内,y随x的增大而减小,所以-2x1-1.(2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为),代入表达式中试值.当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2(-1.5)-6=-0.750.在-2x-1.5范围内,y随x的增大而减小,所以-2x10;当x=-1.5时,y0.在-1.75x-1.5范围内,y随x的增大而减小,所以-1.75x1-1.5.(4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代人表达式中试值.当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2(-1.625)-6=-0.1093750.在-1.75x-1.625范围内,y随x的增大而减小,所以-1.75x1-1.625,x
5、1-1.7即为精确到0.1的近似值.求一元二次方程的近似根 归纳：利用二次函数求一元二次方程根的近似值：画出对应的二次函数图像，根据图像估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确 求一元二次方程的近似根 练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()A.6x6.17 B.6.17x6.18C.6.18x6.19 D.6.19x6.20CCONTENTS 31.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程a
6、x2+bx+c=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定2.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个AC3.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1与x轴只有一个交点，则m的值为()A.0 B.0或2C.2或-2 D.0,2或-24.函数y=ax2+2ax+m(a0)的图像过点(2，0)，则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x-4或x2 B.-4x2C.x0或x2 D.0 x2D A215.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(-1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y2时，自变量x的取值范围是()A.0
7、xB.0 x1C.x1D.-1x22121B6.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(3)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.(3)1x2.CONTENTS 4二次函数与一元二次方程 关系 一元二次方程是二次函数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确.求一元二次方程的近似根 画出函数图像，根据图像与x轴的交点位置和函数图像的对称性求根的近似值