1、第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题(重、难点)3.会根据实际问题的特征，合理地分类或分步(难点、易混点)1.借助两个计数原理解题提升数学运算的素养.2.通过合理地分类或分步解决问题提升逻辑推理的素养.合 作 探 究 释 疑 难 组数问题【例 1】用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能
2、被 2 整除的无重复数字的三位数？解(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 55553125 种(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100 种(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4312 种排法；另一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因为 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318 种排法因而有 121830 种排
3、法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数1(变结论)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从 1,3 中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有 3 个可任取一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理共有 233236 个2(变结论)在本例条件下，能组成多少个能被 3 整除的四位数？解 一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四
4、个数字只能是 0,1,2,3 或 0,2,3,4 两类所以满足题设的四位数共有 2332136 个解决组数问题的方法1对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解 2解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则抽取与分配问题【例 2】在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋现在从这7 人中选 2 人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？思
5、路点拨 本题应先分类，再分步 确定分类标准确定类数逐类分步计算结论 解 法一：分四类：第 1 类，从 3 名只会下象棋的学生中选 1名参加象棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，有选法 326(种)；第 2 类，从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，有选法326(种)；第 3 类，从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，有选法224(种)；第 4 类，从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中各选 1 名分别参加象棋
6、比赛和围棋比赛，有选法 212(种)故不同的选法共有 664218(种)法二：分两类：第 1 类，从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，这时 7 人中还有 4 人会下围棋，从中选 1 名参加围棋比赛有选法 3412(种)第 2 类，从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时 7 人中还有 3 人会下围棋，从中选 1 名参加围棋比赛有选法 236(种)故不同的选法共有 12618(种)求解抽取(分配)问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法 2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数
7、原理 间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟进训练13个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解 法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择 根据分步乘法计数原理得：共有方法数N54360(种)法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3216(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3216(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3216(种)；
8、分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法 根据分类加法计数原理得，共有方法数N66660(种).涂色与种植问题 探究问题1用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？提示 涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有322224(种)不同方案2在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
9、提示 恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案【例3】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？思路点拨 给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种因此应先分类后分步解 法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示 当B与D同色时，有4321248
10、种 当B与D不同色时，有4321124种 故共有482472种不同的涂色方法 法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2432148种不同涂法 第二类，用3种颜色此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共432124种不同涂法 由分类加法计数原理共482472种不同涂法求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析.3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.跟
11、进训练2.(1)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A96 B84C60D48(2)将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？(1)B 法一：分为两类.第一类：当花坛 A、C 中花相同时有 431336 种.第二类：当花坛 A、C 中花不同时有 432248 种.共有 364884 种，故选 B.法二：分为四步.第一步：考虑 A，有 4 种；第二步：考虑 B，有 3 种；第三步：考虑 C，有两类，一是 A 与 C
12、同，C 的选法有 1 种，这样第四步 D 的选法有 3 种二是 A 与 C 不同，C 的选法是 2 种，此时第四步 D 的选法也是 2 种.共有 43(1322)84(种)(2)解 从左往右 5 块试验田分别有 3,2,2,2,2 种种植方法，共有3222248 种方法，其中 5 块试验田只种植 2 种作物共有321116 种方法，所以有 48642 种不同的种植方法.课 堂 小 结 提 素 养 解决较为复杂的计数问题综合应用1.合理分类，准确分步：(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.(2)分类时要满足两个条
13、件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.2.特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种()(2)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()(3)有三只口袋装有
14、小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法()(1)(2)(3)(1)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614(种).(2)因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.(3)分为三类：一类是取白球、黑球，有5630种取法；一类是取白球、红球，有5735种取法；一类是取黑球、红球，有6742种取法.所以由分类加法计数原理共有303542107(种)不同的取法2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的
15、数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为()A.30B20C.10D6D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种取法；取出的两数都是奇数，共有3种取法故由分类加法计数原理得，共有N336种取法3.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A.16种B18种C.37种D48种C 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有433337种故选C.4.如图所示，要用4种不同的颜色给金、榜、题、名四个区域上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？解 完成这件事可分四个步骤进行，按金、榜、题、名的次序填涂.第一步，填涂金，有4种不同颜色可选用；第二步，填涂榜，除金所用过的颜色外，还有3种不同颜色可选用；第三步，填涂题，除金、榜用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可选用；第四步，填涂名，除榜、题用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可选用.所以，完成这件事共有432248种不同的方法，即填涂这张图共有48种不同的方法.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!