1、12了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质1212122(_)2._1FFaPPFPFaF F平面内到两定点、的距离之和为常数的点的轨迹叫椭圆对于椭圆上任一点，有在定义中，当时，表示线段；当时，不表示椭任圆的定义何图形 2222222222222211(0)_.21(0)_.2xyababcabxyababcba ，其中，焦点坐标为椭圆，其中，焦的点坐标为标准方程 2222131(0200)0,0 xa yxyababbxyO范围：，椭圆在一个矩形区域内；对称性：对称轴，对称中心；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别
2、是两焦点的连线及两焦椭点连圆 的几何线段的性质中垂线 121212123,0,0(0)(0)_4_ (01)_()_AaAaBbBbA AB Bee顶点：，长轴长，短轴长；一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点离心率：，椭圆的离心率在内，离心率确定了椭圆的形状 扁圆状态 当离心率越接近于时，椭圆越圆；当离心率越接近于 时，椭圆越扁平1212121212222,0,0(0)(0)220,101aF FaF FaF FFcF cFcFccaba；，；，-，；【要点指南；】1.椭圆x2my241 的焦距等于 2，则 m 的值为()A5 或 3B8C5D16【解析】当 m4 时，
3、m41，m5，当 mb0)的焦点为 F1、F2，两条直线 xa2c(c2a2b2)与 x 轴的交点为 M、N，若|MN|2|F1F2|，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 22，1).【解析】由已知|MN|2a2c.又|MN|2|F1F2|，则 2a2c 4c，从而c2a212，故 22 cab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2 中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos60.因为 mn2a，所以 m2n2(mn)22mn4a22mn，所以 4c24a23mn，即 3mn4a24c2.又 mn(mn2)2a2(当且仅当 mn 时取等号)所以 4a24c23a2，所以c2a214
4、，即 e12.又 0eb0)的长、短轴的端点，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，ABOM.素材2(1)求椭圆的离心率 e；(2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点，求F1QF2 的取值范围【解析】(1)因为 F1(c,0)，则 xMc，yMb2a，所以 kOMb2ac.因为 kABba，OM AB，所以b2acba，所以 bc，故 eca 22.(2)设|F1Q|r1，|F2Q|r2，F1QF2，所以 r1r22a，|F1F2|2c，cosr21r224c22r1r2r1r222r1r24c22r1r2 a2r1r21a2r1r
5、22210.当且仅当 r1r2 时，cos0，所以 0，2三椭圆的综合问题【例 3】椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1F1F2，|PF1|43，|PF2|143.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 过圆 x2y24x2y0 的圆心 M 且交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 l的方程【解析】方法 1：(1)因为点 P 在椭圆 C 上，所以 2a|PF1|PF2|6，a3.在 RtPF1F2 中，|F1F2|PF2|2|PF1|22 5，故椭圆的半焦距 c 5，从而 b2a2c24，所以椭圆 C 的方程为x
6、29y241.(2)设 A，B 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，已知圆的方程为(x2)2(y1)25，所以圆心 M 的坐标为(2,1)，从而可设直线 l 的方程为 yk(x2)1，代入椭圆 C 的方程得(49k2)x2(36k218k)x36k236k270.因为 A，B 关于点 M 对称，所以x1x2218k29k49k2 2，解得 k89，所以直线l的方程为y89(x2)1，即8x9y250.(经检验，符合题意)方法 2：(1)同方法 1.(2)已知圆的方程为(x2)2(y1)25.所以圆心 M 的坐标为(2,1)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意，x
7、1x2，且x219y2141，x229y2241，由得x1x2x1x29y1y2y1y240.因为 A、B 关于点 M 对称，所以 x1x24，y1y22，代入得y1y2x1x289，即直线 l 的斜率为89，所以直线 l 的方程为 y189(x2)，即 8x9y250.(经检验，所求直线方程符合题意)【点评】(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式 来判断直线和椭圆相交、相切或相离(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设出弦的端点坐标，代入方
8、程，用点差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常要检验 已知 F1、F2 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足OA OB 0(O 是坐标原点)，AF2 F1F2 0，若椭圆的离心率等于 22.素材3(1)求直线 AB 的方程；(2)若三角形 ABF2 的面积等于 4 2，求椭圆的方程【解析】(1)由OA OB 0 知，直线 AB 经过原点，又由AF2 F1F2 0 知 AF2F1F2，因为椭圆的离心率等于 22，所以 c 22 a，b212a2，故椭圆方程为 x22y2a2，设 A(x，y)，由AF2 F1F2 0 知 xc，
9、所以 A(c，y)，代入椭圆方程得 y12a，所以 A(22 a，12a)，故直线 AB 的斜率 k 22，因此直线 AB 的方程为 y 22 x.(2)连接 AF1、BF1、AF2、BF2，由椭圆的对称性可知SABF2SABF1SAF1F2，所以122c12a4 2，又由 c 22 a 解得 a216，b21688，故椭圆方程为x216y281.备选例题从圆 x2y24 上任意一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，点 M 在线段 PQ 上，且QM QP (01)(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若曲线 C 上的点 M 到 A(0，2)的最远距离为 3，求 的值【解析】(1)设 P(
10、a，b)，M(x，y)，则 Q(a,0)由QM QP，PQx 轴，得xayb，则axby.又点 P(a，b)在圆 x2y24 上，代入得点 M 的轨迹方程为x24 y2421(01)(2)因为|MA|2x2(y2)2，又x24 y2421，所以|MA|2212 y24y8(y2，2)其图象开口向下，对称轴 y 22120，所以当 22122 且(0,1)，即(512，1)时，对称轴在区间2，2的右边，故当 y2 时，(|MA|2)max212(2)2884284，令 42849，解得 12或52，都不合要求，舍去当 22122 且(0,1)，即(0，512时，对称轴在区间2，2的中间，故当 y
11、 2212时，(|MA|2)max212(2212)24 22128 421289，解得 55，为所求2222121(00)1(00)xymnmnAxByAB在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为，或设为，3.4MFacac椭圆上任意一点到焦点 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为，最小距离为焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为，把这个弦叫做椭圆的通径2225016()70()eabcbacee 求椭圆离心率 时，只要求出，的一个齐次方程，再结合就可求得从一焦点发出的光线，经过椭圆 面 的反射，反射光线必经过椭圆的另一个焦点过椭圆外一点求椭圆的切线，一般用判别式求斜率，也可设切点后求导数 斜率