1、了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质12122(_)|2._1FFaMMFMFa平面内到两定点、的距离之差的绝对值为常数且的点的轨迹叫双曲线，对该曲线上任一点，有在定义中，当双曲线时表示两条射线，当时，不表示任的定义何图形 12222222221231(1_,0,02_(0)(0)1_2000,00)0 xFcFcycaxyababFcFcybxyR焦点在 轴上的双曲线：，其中，焦点坐标为，；焦点在 轴上的双曲线：，其中，焦点坐标为，范围：，；对称性：对称双曲线的标准方程双曲线，的几何性质轴，对称中心；123,0,0_4(1)AaAacea 一般规律：双曲线有
2、两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线顶点：，；实轴长，虚轴长；一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点离心率，双曲线的离心率在，内，离心率确定了双曲线的形状 2222222251_1_.10 xyabxyabbabc渐近线：双曲线的两条渐近线方程为；双曲线的两条渐近线方程为双曲线有两条渐近线，它们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；有公共渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“”为“”就得到两条渐2222222201xyxy
3、abab近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程12122212222222222121202221(00)1(00)22aF FaF FxyaF FababyxcabababxaA AaB Bbbayxyxab ；，；，；【要点指南】；1.双曲线x210y221 的焦距为()A3 2B4 2C3 3D4 3【解析】由已知得 c2a2b212，所以 c2 3，故焦距为 4 3.2.已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24y2121B.x212y241C.x210y261D.x26y2101【解析】由已知有 c4，eca4a2，所以 a2，b212.
4、所以双曲线的方程为x24y2121.3.过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|7，F2 是双曲线的右焦点，则PF2Q 的周长是()A28B148 2C148 2D8 2【解析】由双曲线的定义知，|PF2|PF1|4 2，|QF2|QF1|4 2，所以|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)8 2，又|PF1|QF1|PQ|7，所以|PF2|QF2|78 2，所以PF2Q 的周长为 148 2.4.已知双曲线x24 y21，则其渐近线方程是 y12x，离心率 e 52 .【解析】由x24y20，得 y12x，即为渐近线的方程又 a2，b1，所以 c a2b2 5，所以
5、eca 52.5.若双曲线 C 的焦点和椭圆x225y251 的焦点相同，且过点(3 2，2)，则双曲线 C 的方程是 x212y281.【解析】由已知，c225520，且焦点在 x 轴上，设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21，则a2b2203 22a222b21，求得a212b28，故所求双曲线的方程为x212y281.一 双曲线定义的应用【例 1】如果双曲线x24y221 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 10，那么点 P 到左焦点的距离为()A6B14C6 或 14D2 或 18【解析】因为|PF1|PF2|2a4，|PF2|10，所以|PF1|6 或 14，故选 C.【点评】本小
6、题主要是应用双曲线的第一定义求解问题已知动圆 M 与圆 C1：(x5)2y249 和圆C2：(x5)2y21 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程素材1【解析】设动圆半径为 R，则|MC1|R7|MC2|R1，则|MC1|MC2|6，可知动点 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的右支，其方程为x29y2161(x0)二 求双曲线的标准方程【例 2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：(1)与双曲线x29 y2161 有共同的渐近线，且过点(3，2 3)；(2)与双曲线x216y24 1 有公共焦点，且过点(3 2，2)【解析】(1)方法 1：由双曲线的方程得 a3，b4，所以渐近线方程
7、为 y43x.当 x3 时，y43x43(3)42 3，所以所求的双曲线的焦点在 x 轴上设所求双曲线的方程为x2a2y2b21.由题意，得ba4332a22 32b21，解得a294b24，所以所求双曲线的方程为x294y241.方法 2：双曲线x29y2161 的渐近线方程为 y43x，所以设所求双曲线的方程为x29y216(0)将点(3,2 3)代入得 14，故所求双曲线的方程为x29y21614，即x294y241.(2)方法 1：设所求双曲线的方程为x2a2y2b21.由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，所以3 22a2 4b21.因为 a2b2(2 5)2，所以 a
8、212，b28.故所求双曲线的方程为x212y281.方法 2：设所求双曲线的方程为x216k y24k1(4k16)，将点(3 2，2)代入得 k4，所以所求双曲线的方程为x212y281.【点评】待定系数法求双曲线方程最常用的设法：(1)与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2t(t0)；(2)若双曲线的渐近线方程为 ybax，则双曲线方程可设为x2a2y2b2t(t0)；(3)与双曲线x2a2y2b21 共焦点的双曲线方程可设为x2a2k y2b2k1(b2ka2)；(4)过两个已知点的双曲线方程可设为x2m y2n 1(mnb0)共焦点的双曲线方程可设
9、为 x2a2k y2kb21(b2k0，b0)的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为3.求双曲线的方程素材2【解析】设 F1、F2 为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在 x 轴上因为 PF1PF2，且|OP|6，所以 2c|F1F2|2|OP|12，所以 c6.又 P 与两顶点连线的夹角为3，所以 a|OP|tan62 3，所以 b2c2a224，故所求双曲线的方程为x212y2241.【例 3】如图，F1 和 F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则双
10、曲线的离心率为()A.3B.5C.52D1 3三双曲线的几何性质【解析】连接 AF1.由题意得F1AF290，AF2F130，|F1F2|2c，|AF1|c，|AF2|3c，2a|AF2|AF1|3cc，则双曲线的离心率为 e2c2a2c3cc 31，故选 D.【点评】本题的关键是将平面几何的性质转化为双曲线的特征量之间的关系已知 F1，F2 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，则双曲线的渐近线方程为 y 2x.素材3【解析】方法 1：设 F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，则c2a2y20b21，解得 y0b2a，所以
11、|PF2|b2a，在 RtPF1F2 中，PF1F230 所以|F1F2|3|PF2|，即 2c 3b2a，又 c2a2b2，故有 b22a2，所以ba 2，故所求双曲线的渐近线方程为 y 2x.方法 2：|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，得|PF2|2a.因为|PF2|b2a，所以b2a 2a，所以 b22a2，所以ba 2，故双曲线的渐近线方程为 y 2x.四 双曲线的综合应用【例 4】已知双曲线 C：x21y2 1(00)由OM ON 0，得 y01，所以 M(1,1)，N(1，1)又 M(1,1)，N(1，1)在双曲线 C 上，所以 1111，所以 21
12、0，所以1 52.因为 00 x1x20k2 121k2 1 121 1210 51223.由知，5120，所以 k2.所以所求 Q 的坐标为(2,0)备选例题已知椭圆 C1 的方程为x24y21，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是C1 的左、右焦点(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA OB 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围【解析】(1)设双曲线 C2 的方程为：x2a2y2b21(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21，故 C2
13、的方程为x23y21.(2)将 ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得13k206 2k23613k2361k20，所以 k213且 k22，得 x1x2y1y22，所以3k273k212.即3k293k21 0，解得13k23，综合，得 k 的取值范围为(1，33)(33，1)2221000.2()()()3abccababcabababab双曲线中的参变量，有关系式成立，且，其中 与 的大小关系，可以为，双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点，“四线”两条对称轴、两条渐近线，“两
14、形”中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形 研究它们之间的相互联系椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上2222222222451061(0)AxByABxyabxyab 根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为与双曲线共渐近线的双曲线方程为22222711ebcackeaaae 双曲线的形状与 有关系：，越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔
