1、31 回归分析的基本思想及其初步应用内 容 标 准学 科 素 养1.能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法2.会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果3.能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型.利用数据分析提升数学建模及数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 线性回归模型预习教材P8084，思考并完成以下问题“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？某电脑公司有 5 名产品推销员，其工作年限
2、与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限 x/年35679推销金额 y/万元23345请问如何表示推销金额 y 与工作年限 x 之间的相关关系？y 关于 x 的线性回归方程是什么？提示：画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为ybxa，则bi15xi x yi y i15xi x 210200.5，a y b x 0.4.所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为y0.5x0.4.知识梳理 1.概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法2步骤：画求用回归方程进行散点图回归方程预报
3、3在线性回归方程yabx 中，b ，a ，其中 x ，y ，(x，y)称为，回归直线过样本点的中心4线性回归模型 ybxae，其中 e 称为，自变量 x 称为变量，因变量 y 称为变量随机误差解释i1nxi x yi y i1nxi x 2i1nxiyin xyi1nx2in x 2y b x1ni1nxi1ni1nyi预报样本点的中心知识点二 刻画回归效果的方式预习教材P8488，思考并完成以下问题(1)具有相关关系的两个变量的回归方程是唯一的吗？(2)预报变量y与真实值 y 一样吗？(3)预报值y与真实值 y 之间误差大了好还是小了好？提示：(1)不一定(2)不一样(3)越小越好 知识梳理
4、 1.残差平方和法(1)eiyiyiyibxia(i1,2，n)称为相应于点(xi，yi)的残差(2)残差平方和i1n(yiyi)2 越小，模型的拟合效果越好2残差图法残差点落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适这样的带状区域的宽度，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高比较均匀地越窄3利用相关指数 R2 刻画回归效果其计算公式为：R21 ，其几何意义：，表示回归的效果越好R2 越接近于 1i1nyiyi2i1nyi y 2知识点三 建立回归模型的基本步骤知识梳理 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在
5、线性关系等)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等自我检测1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好()(2)在画两个变量的散点图时，预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上()(3)R2 越小，线性回归模型的拟合效果越好()答案：(1)(2)(3)2如果记录了 x，y 的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7
6、)，那么 y 关于 x 的线性回归直线必过点()A(2,2)B(1.5,2)C(1,2)D(1.5,4)3从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_答案：D答案：正相关探究一 求线性回归方程阅读教材 P81 例 1从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重题型：求线性回归方程方法步骤：(1)画出散点图(2)确定身高和体重有很好的线性相关
7、关系(3)由b和a的计算公式得出回归直线方程(4)由所给 x 的值进行预报 y 的值例 1 某商场经营一批进价是 30 元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程(方程的斜率精确到 1)(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式，并预报当销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润解析(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关设回归
8、直线方程为ybxa，由题知 x 42.5，y 34，则求得bi14xi x yi y i14xi x 23.a y b x 34(3)42.5161.5.y3x161.5.(2)依题意有 P(3x161.5)(x30)3x2251.5x4 8453x251.562251.5212 4 845.当 x251.5642 时，P 有最大值，约为 426.故预报当销售单价为 42 元时，才能获得最大日销售利润方法技巧 1.求线性回归方程的基本步骤(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系(2)计算：x，y，i1nx2i，i1ny2i，i1nxiyi.(3)代入公式求出ybxa中参数b，a
9、的值(4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计2需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义跟踪探究 1.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力相关公式：bi1nxiyin x yi1nx2in x 2，a yb x解析：(1)如图：(2)i14xiyi6283105126158，x68101249，y235
10、644，i14x2i6282102122344，b158494344492 14200.7，a yb x40.792.3，故线性回归方程为y0.7x2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当 x9 时，y0.792.34，预测记忆力为 9的同学的判断力约为 4.探究二 线性回归分析阅读教材 P84 思考如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？以例 1 中的女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据进行分析题型：判断模型的拟合效果方法步骤：(1)求出残差，并画出残差图进行分析(2)求出残差平方和进行分析(3)求出 R2 进行分析例 2 已知某种商品的价格 x(单位：元/件)与需求量
11、y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求 y 对 x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏解析 x15(1416182022)18，y15(1210753)7.4，i15x2i1421621822022221 660，i15y2i122102725232327，i15xiyi14121610187205223620，所以bi15xiyi5 x yi15x2i5 x 26205187.41 6605182 1.15，a7.41.151828.1，所以所求回归直线方程是y1.15x28.1.列出残差表：yiyi00.30.40.10.2yi y4.6
12、2.60.42.44.4所以i15(yiyi)20.3，i15(yi y)253.2，R21i15yiyi2i15yi y20.994，所以回归模型的拟合效果很好方法技巧 1.解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数 R2 来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析2刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适(2)残差平方和法：残差平方和i1n(yiyi)2 越小，模型的拟合效果越好(3)相关指数法：R21i1nyiyi2i1ny
13、i y2越接近 1，表明回归的效果越好跟踪探究 2.关于 x 与 y 有如下数据：x24568y3040605070有如下的两个线性模型：(1)y6.5x17.5；(2)y7x17.试比较哪一个拟合效果更好解析：由(1)可得 yiyi 与 yi y的关系如下表：yiyi0.53.5106.50.5yi y201010020i15(yiyi)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155，i15(yi y)2(20)2(10)2102022021 000.R211i15yiyi2i15yi y21 1551 0000.845.由(2)可得 yiyi 与 yi y的关系如下表：yiyi
14、15893yi y201010020i15(yiyi)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，i15(yi y)2(20)2(10)2102022021 000.R221i15yiyi2i15yi y21 1801 0000.82.由于 R210.845，R220.82,0.8450.82，R21R22.(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果探究三 非线性回归模型阅读教材 P86 例 2一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关现收集了 7 组观测数据列于下表中，试建立 y 关于 x 的回归方程.温度 x/21232527293235产卵数 y/个711212466115325题型：非线性回
15、归模型方法步骤：(1)画出散点图(2)写出非线性回归方程：yc1ec2x.(3)通过某种变换令 zln y，得出线性回归直线 zbxa.(4)用线性回归方程来建立 y 与 x 间的非线性回归方程例 3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响对近 8 年的年宣传费xi 和年销售量 yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值xywi18(xi x)2 i18(wiw)2 i18(xi x)(yi y)i18(wiw)(yi y)46.65636.8289.81.61 46910
16、8.8表中 wi xi，w18i18wi.(1)根据散点图判断，yabx 与 ycd x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx，根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i1nui uvi vi1nui u2，
17、v u.解析(1)由散点图可以判断，ycd x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程由于di18wiwyi yi18wiw2108.81.6 68，c yd w563686.8100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为y100.668w，因此 y 关于 x 的回归方程为y100.668 x.(3)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值y100.668 49576.6，年利润 z 的预报值z576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值z0.2(100.668 x)xx13.6 x2
18、0.12.所以当 x13.62 6.8，即 x46.24 时，z取得最大值故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大方法技巧 求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程跟踪探究 3.在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立 y 与 x 之间的回归方程解析：由数值表可作散点图如图，根据散点图可知 y 与 x
19、近似地呈反比例函数关系，设ykx，令 t1x，则ykt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系，列表如下：itiyitiyit2i1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.062 57.753694.2521.312 5所以 t1.55，y7.2.所以bi15tiyi5 t yi15t2i5 t24.134 4，a yb t0.8.所以y4.134 4t0.8.所以 y 与 x 之间的回归方程是y4.134 4x0.8.课后小结回归分析的步骤：确定研究对象，明确
20、哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程ybxa)；按一定规则估算回归方程中的参数；得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等素养培优求回归直线方程的方法和技巧某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年 份 20072009201120132015需求量/万吨 236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ybxa；
21、(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2020 年的粮食需求量教你审题：分别计算 x，y，b，a，把 2020 代入所求回归直线方程中解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：年份201142024需求量257211101929对处理的数据，容易算得 x0，y3.2.b421211219429503.24222224250226040 6.5，a yb x3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y2576.5(x2 011)3.2，即y6.5(x2 011)260.2.(2)利用所求得的回归直线方程，可预测 2020 年的粮食需求量为 6.5(20202 011)260.2318.7(万吨)方法点睛 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力若本题用一般方法去解，计算比较繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决.04课时 跟踪训练