1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 平面向量应用举例基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题，A级要求；2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab(b0).(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0(a，b均为非零向量)abx1y2x2y10 x1x2y1y20 基础诊断考点突破课堂总结(3)求夹角
2、问题，利用夹角公式cos(为a与b的夹角)ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22基础诊断考点突破课堂总结2向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识3向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若ABAC
3、，则 A，B，C 三点共线()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算()(4)在ABC 中，若ABBC0，则ABC 为钝角三角形()基础诊断考点突破课堂总结2(2015东北三省三校联考)已知在ABC 中，|BC|10，ABAC16，D 为边 BC 的中点，则|AD|_.答案 3解析在ABC 中，由余弦定理可得 AB2AC22ABACcos ABC2，又ABACABACcos A16，所以 AB2AC232100，AB2AC268.又 D 为边 BC 的中点，所以ABAC2AD，两
4、边平方得 4|AD|2683236，解得|AD|3.基础诊断考点突破课堂总结3平面上有三个点 A(2，y)，B0，y2，C(x，y)，若ABBC，则动点 C 的轨迹方程为_答案 y28x(x0)解析 由题意得AB2，y2，BCx，y2，又ABBC，ABBC0，即2，y2 x，y2 0，化简得 y28x(x0)基础诊断考点突破课堂总结4(2014镇江调研)若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足5AM AB3AC，则ABM 与ABC 的面积比为_解析 设 AB 的中点为 D，由 5AM AB3AC，得 3AM 3AC2AD 2AM，即 3CM 2MD.基础诊断考点突破课堂总结如图所示，故 C
5、，M，D 三点共线，且MD 35CD，也就是ABM与ABC 对于边 AB 的两高之比为35，则ABM 与ABC 的面积比为35.答案 35基础诊断考点突破课堂总结5(2015南京、盐城模拟)在ABC 中，BC2，A23，则ABAC的最小值为_解析 依题意得 a2b2c22bccos A，即 b2c2bc43bc，bc43，ABACbccos A12bc23，当且仅当 bc43时取等号，因此ABAC的最小值是23.答案 23基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】(1)(2015苏北四市调研)在平面四边形 ABCD 中，已知AB3，DC2，点 E，F 分别在边 AD，
6、BC 上，且AD 3 AE，BC 3BF.若向量AB 与DC 的夹角为 60，则AB EF 的值为_(2)(2014天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为EFEAABBF，EFED DC CF 2EADC 2 BF，2得 3 EF2 ABDC，所以EF23AB13DC.所以ABEFAB23AB13DC 23|AB|213ABDC 61332cos 607.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 如图，AEABBEAB13BC，AFAD DF AD 1DC B
7、C 1AB，所以AEAF AB13BC BC1AB 1 13ABBC1AB 213BC 21 13 22cos 1204431，解得2.基础诊断考点突破课堂总结法二 如图建立平面直角坐标系由题意知：A(0,1)，C(0，1)，B(3，0)，D(3，0)由 BC3BE，DCDF，可求点 E，F 的坐标分别为 E(2 33，13)，F311，1，AEAF2 33，43 311，11211 4311 1，解得 2.基础诊断考点突破课堂总结答案(1)7(2)2规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理
8、和平面向量基本定理起主导作用基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_心(2)(2014杭州质检)在边长为1的菱形 ABCD 中，BAD60，E 是 BC 的中点，则ACAE_.解析(1)由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC 的中线 AD(D为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心基础诊断考点突破课堂总结(2)建立如图平面直角坐标系，则A 32，
9、0，C32，0，B0，12.E 点坐标为34，14，AC(3，0)，AE3 34，14，ACAE 33 34 014 94.答案(1)重(2)94基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面向量在三角函数中的应用【例 2】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 msin A2，cos A2，ncos A2，cos A2，且 2mn|m|22，ABAC1.(1)求角 A 的大小；(2)求ABC 的面积 S.基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为 2mn2sin A2cos A22cos2A2sin A(cos A1)2sin(A4)1，又|m|1，所以 2mn|m|2sinA4
10、 22，即 sin(A4)12.因为 0A，所以4A434，所以 A46，即 A512.基础诊断考点突破课堂总结(2)cos Acos 512cos64cos 6cos 4sin 6sin 4 6 24，因为ABACbccos A1，所以 bc 6 2.又 sin Asin 512sin64 6 24，所以ABC 的面积 S12bcsin A12(6 2)6 242 32.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式
11、外，还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理等知识基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2015无锡模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos C 310.(1)若CBCA92，求 c 的最小值；(2)设向量 x(2sin B，3)，ycos 2B，12sin2 B2，且 xy，求 sin(BA)的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)CBCA92，abcos C92，ab15.c2a2b22abcos C2ab2ab 31021(当且仅当 ab 时取等号)c0，c 21，c 的最小值为 21.(2)xy，2sin B12sin2B2 3cos 2B0，2sin Bcos B
12、3cos 2B0，即 sin 2B 3cos 2B0，tan 2B 3，2B23 或53，B3或56.基础诊断考点突破课堂总结cos C 310 32，C6，B56(舍去)，B3.sin(BA)sinB(BC)sinC3 sin Ccos3cos Csin3 9110 12 310 32 913 320.基础诊断考点突破课堂总结 考点三 向量在解析几何中的应用【例 3】(2015南京模拟)如图，已知椭圆 E 的中心为 O，长轴的两个端点为 A，B，右焦点为 F，且AF7 FB，椭圆 E 的右准线 l 的方程为 x163.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若 N 为准线 l 上一点(在 x 轴
13、上方)，AN 与椭圆交于点 M，且ANMF 0，记AM MN，求.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意，设椭圆方程为x2a2y2b21，半焦距为 c，由AF7 FB得 ac7(ac)，得 3a4c.由准线方程得a2c 163.解得 a4，c3，b2a2c27.所求椭圆 E 的标准方程为x216y271.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 M 坐标为(x，y)，由ANMF 0，即AM MF 0 得(x4)(3x)y20，y2x2x12.又点 M 满足x216y271，消去 y 得 9x216x800，解得 x209 或 x4(舍去)将 A，M，N 的横坐标代入AM MN，得209 4163 20
14、9，2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足为 Q，且PC12PQ PC12PQ0.(1)求动点 P 的
15、轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N：x2(y1)21 的任一条直径，求PEPF的最值基础诊断考点突破课堂总结解(1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由(PC12PQ)(PC12PQ)0，得|PC|214|PQ|20，即(x2)2y214(x8)20，化简得x216y2121.所以点 P 在椭圆上，其方程为x216y2121.基础诊断考点突破课堂总结(2)因PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NP 2NF 2NP 21，P 是椭圆x216y2121 上的任一点，设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x20164y203，又 N(0,1)，所以NP 2x20(
16、y01)213y202y01713(y03)220.基础诊断考点突破课堂总结因 y02 3，2 3，所以当 y03 时，NP 2 取得最大值 20，故PEPF的最大值为 19；当 y02 3时，NP 2 取得最小值为 134 3(此时 x00)，故PEPF的最小值为 124 3.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法基础诊断考点突破课堂总结3向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等2注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价3注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和ab0不等价