1、专题六 导数讲义6.2利用导数求函数的单调性知识梳理.利用导数求函数的单调性函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减题型一. 求函数的单调区间1函数f（x）（x2）ex的单调递增区间为（）A（1，+）B（2，+）C（0，2）D（1，2）【解答】解：函数f（x）（x2）ex，则f（x）（x1）ex，令f（x）0，解得x1，故函数f（x）（x2）ex的单调递增区间为（1，+），故选：A2函数yx+3x+2lnx的单调递减区间是（）A（3，1）B（0，1）C（1，3）D（0，3）【解答】解：函数
2、的定义域是（0，+），y13x2+2x=(x+3)(x1)x2，令y（x）0，解得：0x1，故函数在（0，1）递减，故选：B3确定函数f（x）cos2x+4cosx，x（0，2）的单调区间【解答】解：函数的导数f（x）2sin2x4sinx4sinx（cosx+1），令f（x）0，sinx0，又x（0，2），所以x2；令f（x）0，sinx0，又x（0，2），所以0x故f（x）的单调增区间为（，2），单调减区间为（0，）题型二.讨论函数的单调性大题第一问考点1.导后一次型1已知函数f（x）exkx（1）讨论函数yf（x）的单调区间；【解答】解：（1）f（x）exk，当k0时，f（x）0恒成立，
3、则yf（x）在R上单调递增，当k0时，xlnk时，f（x）0，yf（x）的递增区间是（lnk，+），xlnk时，f（x）0，yf（x）的递减区间是（，lnk）；综上：当k0时，f（x）在R上单调递增，当k0时，f（x）的递增区间是（lnk，+），f（x）的递减区间是（，lnk）2已知函数f（x）axln（x+1）（2）求f（x）的单调区间；【解答】解：（2）由（1）可得f（x）11x+1=xx+1，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0，故f（x）的单调递减区间为（1，0），单调递增区间为（0，+）考点2.导后二次型1（2017全国1）已知函数f（x）ae2x+（a2）exx（1）讨论f
4、（x）的单调性；【解答】解：（1）由f（x）ae2x+（a2）exx，求导f（x）2ae2x+（a2）ex1，e2x0，ex0当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减，当a0时，f（x）（2ex+1）（aex1）2a（ex+12）（ex1a），令f（x）0，解得：xln1a，当f（x）0，解得：xln1a，当f（x）0，解得：xln1a，x（，ln1a）时，f（x）单调递减，x（ln1a，+）单调递增；综上可知：当a0时，f（x）在R单调减函数，当a0时，f（x）在（，ln1a）是减函数，在（ln1a，+）是增函数；2已知函数f(x)=12x2+(2a2)x4alnx，讨论函数f（x）的单
5、调性【解答】解：f(x)=12x2+(2a2)x4alnx，x（0，+）f（x）x+（2a2）4ax=(x+2a)(x2)x对a分类讨论：a0时，函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增2a2，即a1时，f（x）=(x2)2x0，函数f（x）在（0，+）上单调递增2a2，即a1时，函数f（x）在（0，2），（2a，+）上单调递增，在（2，2a）上单调递减02a2，即1a0时，函数f（x）在（0，2a），（2，+）上单调递增，在（2a，2）上单调递减5已知函数f(x)=lnx+12ax2+x，aR（1）求函数f（x）的单调区间；【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+）
6、，f（x）=1x+ax+1=ax2+x+1x当a0时，f（x）=1+xx，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0得ax2+x+10，14a（）当0，即a14时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，（）当0，即a14时，方程ax2+x+10的两个实根分别为 x1=114a2a，x2=1+14a2a若0a14，则x10，x20，此时，当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增若a0，则x10，x20，此时，当x（0，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（x1，+）时，f（x）0f（x）单调递减，综上，当a0时，函数f（x）的单调递增
7、区间为(0，114a2a)，单调递减区间为(114a2a，+)；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），考点3.导后求导型二阶导数1已知函数f(x)=lnx+1ex，（其中e2.71828是自然对数的底数）（）求f（x）的单调区间；【解答】解：（）f（x）=1xex（1xxlnx），x（0，+），2令h（x）1xxlnx，x（0，+），当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0又ex0，所以x（0，1）时，f（x）0；x（1，+）时，f（x）04因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）6题型三.已知单调性求参1若f（x）=12x2+bln（x+
8、2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是（）A1，+）B（1，+）C（，1D（，1）【解答】解：由题意可知f(x)=x+bx+20，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，由于yx（x+2）在（1，+）上是增函数且y（1）1，所以b1，故选：C2函数f（x）=13x3ax23a2x4在（3，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca3或a1D3a1【解答】解：y=13x3ax23a2x4，yx22ax3a2，函数y=13x3ax23a2x4在（3，+）上是增函数，yx22ax3a20在（3，+）上恒成立，yx22ax3a2（xa）24a2，对称轴为xa
9、3，y0，不成立；当a3，4a20，无解；当a3，y在（3，+）单调递增，y322a33a296a3a20，3a1，实数a的取值范围是3，1，故选：D3已知函数f（x）lnx+（xb）2（bR）在区间12，2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A(，32)B(，94)C（，3）D(，2)【解答】解：函数f（x）在区间12，2上存在单调增区间，函数f（x）在区间12，2上存在子区间使得不等式f（x）0成立f(x)=1x+2(xb)=2x22bx+1x，设h（x）2x22bx+1，则h（2）0或(12)0，即84b+10或12b+10，得b94故选：B题型四.函数单调性的应用比较大小1已知
10、奇函数f（x）是R上增函数，g（x）xf（x）则（）Ag(log314)g(232)g(223)Bg(log314)g(223)g(232)Cg(232)g(223)g(log314)Dg(223)g(232)g(log314)【解答】解：由奇函数f（x）是R上增函数可得当x0时，f（x）0，又g（x）xf（x），则g（x）xf（x）xf（x）g（x），即g（x）为偶函数，且当x0时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为g（log314）g（log34），g（223）g（134），g（232）g（24），所以为g（log314）g（223）g
11、（232）故选：B2已知函数f（x）3x1+3x+12cos（x1），则（）Af(log29)f(log312)f(0.50.5)Bf(0.50.5)f(log29)f(log312)Cf(0.50.5)f(log312)f(log29)Df(log29)f(0.50.5)f(log312)【解答】解：由已知得，f（x）关于直线x1对称，且f（x）在（1，+）单调递增log293，0.50.5=2，2log312=2+log32(2，3)，log292log3120.50.51，f(log29)f(2log312)f(0.50.5)，又f（x）关于直线x1对称，f(log312)=f(2log
12、312)，f(log29)f(log312)f(0.50.5)，故选：A3已知a=2e，b=ln(3e)3，c=ln5+15，则（）AabcBcbaCacbDbac【解答】解：设f(x)=lnx+1x，则f(x)=lnxx2，令f（x）0，则x1，所以当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减由题意可知af（e），bf（3），cf（5），因为e35，所以f（e）f（3）f（5），即abc故选：A题型五.构造函数利用函数单调性解不等式1（2011辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解
13、集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）【解答】解：设F（x）f（x）（2x+4），则F（1）f（1）（2+4）220，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故选：B2（2015全国2）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【解答】解：设g（x）=f(x)x，则g（x）的导数为：g（x）=xf(x)f
14、(x)x2，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=f(x)x为减函数，又g（x）=f(x)x=f(x)x=f(x)x=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=f(1)1=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0x0g(x)0或x0g(x)0，0x1或x1故选：A3设函数F（x）=f(x)ex是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）Af（2）e2f（0），f（2 017e2017f（0）Bf（2）e2f（0），f（2 017）e2017f（0
15、）Cf（2）e2f（0），f（2 017）e2017f（0）Df（2）e2f（0），f（2 017）e2017f（0）【解答】解：F（x）f(x)ex=f(x)exf(x)ex(ex)2=f(x)f(x)ex，因为f（x）f（x），所以F（x）0，所以F（x）为减函数，因为20，20170，所以F（2）F（0），F（2017）F（0），即f(2)e2f(0)e0，所以f（2）e2f（0）；f(2017)e2017f(0)e0，即f（2017）e2017f（0）；故选：D4设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）xDf（x）x【解答】解：2f（x）+xf（x）x2，令x0，则f（x）0，故可排除B，D如果 f（x）x2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x2成立，但f（x）x 未必成立，所以C也是错的，故选 A故选：A
