1、第4讲 算法、推理与证明、计数原理 考情分析 总纲目录 考点一 程序框图（渗透数学文化）考点二 合情推理 考点三 排列与组合 考点四 二项式定理（高频考点）考点一 程序框图(渗透数学文化)两种循环结构的特点直到型循环结构:在执行了一次循环体后,对条件进行判断,如果条件不满足,就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环.当型循环结构:在每次执行循环体前,对条件进行判断,当条件满足时,执行循环体,否则终止循环.典型例题 (1)(2017课标全国,8,5分)下面程序框图是为了求出满足3n-2n1 000的最小偶数n,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入()A.A1 000和n=n+1 B.A1 00
2、0和n=n+2C.A1 000和n=n+1 D.A1 000和n=n+2(2)(2015课标全国)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0 B.2 C.4 D.14解析(1)本题求解的是满足3n-2n1 000的最小偶数n,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为A1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此 中语句应为n=n+2,故选D.(2)开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4;第二次循环:a=10,b=4;第三次循
3、环:a=6,b=4;第四次循环:a=2,b=4;第五次循环:a=2,b=2.此时,a=b,退出循环,输出a=2.答案(1)D(2)B方法归纳1.解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构,在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构.(2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结束循环;弄清循环体和输入条件、输出结果.(3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律.2.程序框图与古代数学名著九章算术结合命题是高考的热点,本例(2)的程序框图的算法
4、思路源于九章算术中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”.跟踪集训 1.(2017课标全国,7,5分)执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.2答案D 要求的是最小值,观察选项,发现选项中最小的为2,不妨将2代入检验.当输入的N为2时,第一次循环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t=3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.2.(2017太原模拟试题)执行如图的程序框图,已知输出的s0,4.若输入的t0,m,则实数m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D 由程序框图得s=的图象如
5、图所示.由图象得,若输入的t0,m,输出的s0,4,则m的最大值为4,故选D.23,1,4,1t tttt3.(2017云南第一次统一检测)公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率.他从圆内接正六边形算起,令边数一倍一倍地增加,即12,24,48,192,逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形,正一百九十二边形的面积,这些数值逐步地逼近圆的面积,刘徽一直计算到正一百九十二边形,得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.
6、刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限来逼近无限.这种思想极其重要,对后世产生了巨大影响.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n的值为()(参考数据:1.732,sin 150.258 8,sin 7.50.130 5)A.48 B.36 C.30 D.243答案D 第一次循环:S=3.10,n=12;第二次循环:S=33.10,退出循环,输出的n=24.故选D.3 32考点二 合情推理 两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程:试验、观察概括、推广猜测一般结论(2)类比推理的思维过程:试验、观察联想、类推猜测新的结论典
7、型例题(2017新疆第二次适应性检测)当x1且x0时,数列nxn-1的前n项和Sn=1+2x+3x2+nxn-1(nN*)可以用数列求和的“错位相减法”求得,也可以由x+x2+x3+xn(nN*)按等比数列的求和公式,先求得x+x2+x3+xn=,两边都是关于x的函数,两边同时求导,得(x+x2+x3+xn)=,从而得到Sn=1+2x+3x2+nxn-1=,按照同样的方法,请从二项展开式(1+x)n=1+x+x2+xn出发,可以求得Sn=12+23+34+n(n+1)(n4)的值为 .(请填写最简结果)11nxxx11nxxx121(1)(1)nnnxnxx1Cn2CnCnn1Cn2Cn3Cn
8、Cnn解析 依题意,对(1+x)n=1+x+x2+x3+xn两边同时求导,得n(1+x)n-1=+2 x+3 x2+n xn-1,取x=1,得+2+3+n=n2n-1,2得,2+22+23+2n=n2n,再对式两边同时求导,得n(n-1)(1+x)n-2=12+23 x+n(n-1)xn-2,取x=1,得12+23+n(n-1)=n(n-1)2n-2,+得12+23+34+n(n+1)=n2n+n(n-1)2n-2=n(n+3)2n-2.1Cn2Cn3CnCnn1Cn2Cn3CnCnn1Cn2Cn3CnCnn1Cn2Cn3CnCnn2Cn3CnCnn2Cn3CnCnn1Cn2Cn3CnCnn答
9、案n(n+3)2n-2方法归纳合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时,要先把已知的部分个体适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质.(3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.跟踪集训 观察下列等式;1-=,1-+-=+,1-+-+-=+,据此规律,第n个等式可为 .121212131413141213141516141516解析 规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-+-+-;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,2
10、n,分子为1,即为+,所以第n个等式可为1-+-+-=+.121314121n 12n11n 12n 12n121314121n 12n11n 12n 12n答案 1-+-+-=+121314121n 12n11n 12n 12n考点三 排列与组合 名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素,元素无重复不同点排列与顺序有关;两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关;两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同典型例题 (1)(2017课标全国,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.
11、12种 B.18种 C.24种 D.36种(2)(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)答案(1)D(2)1 080解析(1)第一步:将4项工作分成3组,共有 种分法.第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 种分配方法,故共有 =36种安排方式,故选D.(2)有一个数字是偶数的四位数有 =960个;没有偶数的四位数有=120个.故这样的四位数一共有960+120=1 080个.24C33A24C33A14C35C44A45A方法归纳求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明确;
12、有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.解排列、组合的应用题,通常有以下途径:(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.跟踪集训 1.(2017郑州第二次质量预测)将数“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A.72 B.120 C.192 D.240答案D 将数“124467”重新排列后为偶数,则末位数字应为偶数.(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有=60种情况;(2)若末位数字为6,同理有=60种情况;(3)若末位数字
13、为4,因为有两个相同数字4,所以共有54321=120种情况.综上,共有60+60+120=240种情况.5 4 3 2 12 5 4 3 2 12 2.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A.35种 B.24种 C.18种 D.9种答案C 若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有 =12种情况;若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有 =6种情况.根据分类
14、加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).22A23A22A23C考点四 二项式定理(高频考点)命题点1.利用通项求展开式的特定项.2.利用通项求展开式中项的系数.3.由已知条件求参数的值.1.通项与二项式系数Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,n),其中 叫做二项式系数.【注意】Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项.CknCkn2.各二项式系数之和(1)+=2n.(2)+=+=2n-1.0Cn1Cn2CnCnn1Cn3Cn0Cn2Cn典型例题(1)(2017课标全国,6,5分)(1+x)6的展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35
15、(2)(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案(1)C(2)16;4211x解析(1)对于(1+x)6,若要得到x2项,可以在 中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数为;当在 中选取 时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为,所以,展开式中x2项的系数为+=30,故选C.(2)设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,则a4=b2c2+b3c1=1222+13 2=16,a5=b3c2=1322=4.211x211x26C211x21x46C2
16、6C46C23C12C方法归纳1.在应用通项Tk+1=an-kbk时,要注意以下几点:(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与k确定,该项就随之确定;(2)Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项;(3)公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置;(4)对二项式(a-b)n展开式的通项要特别注意符号问题.Ckn2.在二项式定理的应用中,“赋值法”是处理系数问题的常用方法.跟踪集训 1.(2017郑州第一次质量预测)设a=sin xdx,则 的展开式中常数项是()A.-160 B.160 C.-20 D.20061a xx答案A 依题意得,a=-cos x=-(cos-cos 0)=2
17、,=的展开式的通项Tr+1=(2)6-r=26-r(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3.因此 的展开式中的常数项为 23(-1)3=-160,故选A.0|61a xx612 xx6Crx1rx6Cr61a xx36C2.(2017合肥第一次教学质量检测)已知(ax+b)6的展开式中含x4项的系数与含x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为()A.-1 B.1 C.32 D.64答案D 由二项展开式的通项公式可知含x4项的系数为 a4b2,含x5项的系数为 a5b,则由题意可得 解得a+b=2,故(ax+b)6的展开式中所有项的系数之和为(a+b)6=6
18、4,故选D.26C16C2426156C135,C18,a ba b 3.(2017郑州第二次质量预测)已知幂函数y=xa的图象过点(3,9),则 的展开式中x的系数为 .8axx答案 112解析 因为3a=9,所以a=2,所以 的展开式的通项Tk+1=(-)k=(-1)k28-k,令 k-8=1,得k=6,所以 的展开式中x的系数为(-1)628-6=112.8axx8Ck82kxx8Ck382kx328axx68C1.(2017郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,依次类推,凸十三边形的对角线条数为()A.42 B.65 C.143 D.169随堂检测答案B
19、 根据题设条件可以通过列表归纳分析得到:所以凸n边形有2+3+4+(n-2)=条对角线,所以凸十三边形的对角线条数为=65,故选B.凸多边形四五六七八对角线条数 22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+6(3)2n n 13(133)22.(2017郑州第二次质量预测)要计算1+的结果,下面程序框图中的判断框内可以填()A.n2 017 D.n2 017121312 017答案B 题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环,累加变量初始值为0,计数变量初始值为1,要计算S=0+1+的值,共需要计算2 017次,故选B.121312 0173.(2017沈阳教学质量检测(一)中国古代数学著
20、作孙子算经中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(mod m),例如11=2(mod 3).现将该问题以程序框图的形式给出,执行该程序框图,则输出的n等于()A.21 B.22 C.23 D.24答案C 该程序框图的作用是求被3除后的余数为2、被5除后的余数为3的数,在所给的选项中,满足被3除后的余数为2、被5除后的余数为3的数只有23,故选C.4.若(nN*)的展开式中第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为()A.84 B.-252 C.252 D.-8419
21、3nxx答案A 由题意可得=36,n=9,=的展开式的通项为Tr+1=99-r ,令9-=0,得r=6,展开式中的常数项为 93=84.2Cn193nxx9193xx9Cr13r392rx32r69C6135.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案 4解析(1+3x)n的展开式的通项Tr+1=3rxr,含有x2项的系数为 32=54,n=4.Crn2Cn6.(2017东北四市高考模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,若甲、乙分得的电影票连号,则共有 种不同的分法.(用数字作答)答案 48解析 甲、乙分得的电影票连号只有4种情况,则甲、乙2人在这4种情况中选一种,共 种选法,2张票分给甲、乙,共有 种分法,其余3张票分给其他3个人,共有 种分法,根据分步乘法计数原理,可得共有 =48种分法.14C22A33A14C22A33A
