1、2.2.2 事件的相互独立性内 容 标 准学 科 素 养1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.利用数据分析提升数学建模及数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点 相互独立事件的概念及性质知识梳理 1.相互独立事件的概率设 A，B 为两个事件，若 P(AB)，则称事件 A 与事件 B 相互独立2相互独立事件的性质如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立P(A)P(B)自我检测1坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球
2、用 A1 表示第 1 次摸得白球，A2 表示第 2 次摸得白球则 A1 与 A2 是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件D不相互独立事件答案：D2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A.1425B.1225C.34D.35答案：A探究一 相互独立事件的判断阅读教材 P55 练习 1分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币，设“第 1 枚为正面”为事件 A，“第 2 枚为正面”为事件 B，“2 枚结果相同”为事件 C，A，B，C 中哪两个相互独立？解析：P(A)12，P(B)12，P(C)141412.P(AB)14P(A)
3、P(B)，A 与 B 相互独立；P(AC)14P(A)P(C)，A 与 C 相互独立；P(BC)14P(B)P(C)，B 与 C 相互独立例 1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”解析(1)“从甲组中选
4、出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件(3)记 A：出现偶数点，B：出现 3 点或 6 点，则 A2,4,6，B3,6，AB6，所以 P(A)3612，P(B)2613，P(AB)16，所以 P(AB)P(A)P(B)，所以事件 A 与 B
5、相互独立方法技巧 三种方法判断两事件是否具有独立性(1)直接法：直接判定两个事件发生是否相互影响；(2)定义法：检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立；(3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断跟踪探究 1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A：“甲击中目标”，事件 B：“乙击中目标”，则事件 A 与事件 B()A相互独立但不互斥 B互斥但不相互独立C相互独立且互斥D既不相互独立也不互斥解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件 A 与 B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B可能同时发生，所
6、以事件 A 与 B 不是互斥事件答案：A2从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，记事件 A 为“抽得 K”，记事件 B 为“抽得红牌”，记事件 C 为“抽得 J”判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A 与 B.(2)C 与 A.解析：P(A)452 113，P(B)265212.事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)252 126，从而有 P(A)P(B)P(AB)，因此事件 A 与 B相互独立(2)事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立事件探究二 求相互独立事件的概率阅读教材 P55 练习 3天气预报，在
7、元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率解析：设“甲地降雨”为事件 A，“乙地降雨”为事件 B.则 P(A)0.2，P(B)0.3.(1)甲、乙两地都降雨为事件 AB，P(AB)P(A)P(B)0.20.30.06.(2)甲乙两地都不降雨为事件 AB，P(AB)P(A)P(B)0.80.70.56.(3)甲、乙两地至少一个地方降雨为事件(AB)(A B)(A B)，P(AB)(A B)(A B)P(AB)P(A B)P(
8、A B)0.060.20.70.80.30.44.例 2 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率解析 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以 P(A)0.2，P(B)0.3，P(C)0.1.(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1P(A BC)P(A B C)P(AB C)P(A)P(B)P(C)P(
9、A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P21P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.20.30.10.994.方法技巧 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么：(1)A，B 中至少有一个发生为事件 AB.(2)A，B 都发生为事件 AB.(3)A，B 都不发生为事件 AB.(4)A，B 恰有一个发生为事件 A B A B.(5)A，B
10、中至多有一个发生为事件 A B A B AB.延伸探究(1)在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率(2)若一列火车正点到达记 10 分，用 表示三列火车的总得分，求 P(20)解析：(1)恰有一列火车正点到达的概率为P3P(A BC)P(A B C)P(AB C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.(2)事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以 P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.跟踪探究 3.甲、乙两
11、人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率；(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率解析：记事件 A 为“甲独立地破译出密码”，事件 B 为“乙独立地破译出密码”(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)P(A)P(B)1314 112.(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即 A B A B，P(A B A B)P(A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)13114 113 14 512.(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为 1P(AB)
12、1 1121112.探究三 相互独立事件的综合应用阅读教材 P54 例 3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码题型：相互独立事件的综合应用方法步骤：(1)设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A.“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件 B.(2)分析所求事件与 A、B 的关系，并用 A、B 及相关事件表示出所求事件(3)由概率的计算公式求出所求事件的概率
13、例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率(3)用 X 表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求 X 的分布列解析(1)记“甲获得合格证书”为事件 A，“乙获得合格证书”为事件 B，
14、“丙获得合格证书”为事件 C，则P(A)451225，P(B)342312，P(C)235659，因为 P(C)P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，则P(D)P(AB C)P(A B C)P(A BC)2512492512593512591130.(3)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0)351249 215，P(X2)P(D)1130，P(X3)25125919，P(X1)1P(X0)P(X2)P(X3)1 215113019 718.所以 X 的分布列为：X0123P215718113019方法技巧 求较
15、复杂事件概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率跟踪探究 4.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响已知学生小张只选甲的概率为 0.08，只选甲和乙的概率为 0.12，至少选一门课的概率为0.88，用 表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数 f(x)x2x 为 R
16、 上的偶函数”为事件 A，求事件 A 的概率；(3)求 的分布列解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为 x，y，z，则x1y1z0.08，xy1z0.12，1x1y1z0.12，解得x0.4，y0.6，z0.5.所以学生小张选修甲的概率为 0.4.(2)若函数 f(x)x2x 为 R 上的偶函数，则 0.当 0 时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以 P(A)P(0)xyz(1x)(1y)(1z)0.40.60.5(10.4)(10.6)(10.5)0.24，即事件 A 的概率为 0.24.(3)根据题意，知 可能的取值为 0,2，P(0)0.24.根据分布列的性质，知 P(2)
17、1P(0)0.76.所以 的分布列为：02P0.240.76课后小结(1)相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即 AB概率公式A 与 B 相互独立等价于 P(AB)P(A)P(B)若 A 与 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，反之不成立(2)相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积素养培优因混淆独立事件和互斥事件而致错设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概率和只有 B 发生的概率都是14，求事件 A 和事件 B 同时发生的概率易错分析：独立事件是指两事件发生不互相影响，而互斥事件是指两事件不可能同时发生，若混淆则会致误考查直观想象、数学建模的学科素养自我纠正：在相互独立事件 A 和 B 中，只有 A 发生即事件 A B 发生，只有 B 发生即事件 A B 发生A 和 B 相互独立，A 与 B，A 和 B 也相互独立P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B)14，P(A B)P(A)P(B)1P(A)P(B)14.得 P(A)P(B)联立可解得 P(A)P(B)12.P(AB)P(A)P(B)121214.04课时 跟踪训练