1、第2讲 平面向量、复数 考情分析 总纲目录 考点一 复数 考点二 平面向量的概念及线性运算 考点三 平面向量的数量积（高频考点）考点一 复数 1.复数的除法复数的除法一般是将分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数,再进一步化简.2.复数运算中常见的结论(1)(1i)2=2i,=i,=-i;(2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*);(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).1 i1 i1 i1 i典型例题 (1)(2017课标全国,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()
2、A.B.C.D.2(2)(2017天津,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .答案(1)C(2)-212222i2ia 解析(1)(1+i)z=2i,z=1+i.|z|=.(2)因为=为实数,所以-=0,解得a=-2.2i1 i2i(1 i)(1 i)(1 i)2(1i)222112i2ia(i)(2i)(2i)(2i)a 21(2)i5aa 25a 方法归纳复数的概念及运算问题的解题技巧(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题,可设为mi(mR且m0),利用复数相等求解.(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题,可设z=a+bi(a,bR),利用待定系数法求解.跟踪集
3、训 1.(2017石家庄第一次模拟)若z是复数,z=,则z=()A.B.C.1 D.12i1iz1025252答案D 因为z=-i,所以=-+i,所以z=,故选D.12i1i(12i)(1 i)(1 i)(1 i)1232z1232z13 i2213 i22522.(2017福建普通高中质量检查)已知复数z=,则|z|=.13i2i答案 2解析 因为z=1+i,所以|z|=|1+i|=.13i2i(13i)(2i)(2i)(2i)55i52考点二 平面向量的概念及线性运算 1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时要保证“首
4、尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点.典型例题 (1)(2017广东五校协作体第一次诊断考试)设D是ABC所在平面内一点,=2,则()A.=-B.=-C.=-D.=-(2)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)(2b-a),则k=.ABDCBDAC32 ABBD32 ACABBD12 ACABBDAC12 AB解析(1)=+=-=-=-,选A.(2)因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2
5、(3+4k)-(-5)(2+k)=0,所以k=-.方法归纳平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运算条件.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(3)=+(,为实数),若A、B、C三点共线,则+=1.BDBCCDBCDCACAB12 ABAC32 AB1613OAOBOC答案(1)A(2)-1613跟踪集训 1.已知a、b是不共线的向量,=a+b,=a+b(,R),当A、B、C三点共线时,的取值不可能为()A.1 B.0 C.-1 D.2ABAC答案B 因为=a+b,=a+b(,R
6、)及A、B、C三点共线,所以存在实数t,使=t,所以a+b=t(a+b)=ta+tb,即 所以=1,故0.ABACABAC,1,tt 2.设P是ABC所在平面内的一点,且=2,则PAB与PBC的面积的比值是()A.B.C.D.CPPA13122334答案B =2,=且A,P,C三点共线,PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等,=.CPPA|CPPA21PABPBCSS|PACP12考点三 平面向量的数量积(高频考点)命题点1.平面向量数量积的运算.2.求向量的夹角及模.3.由条件求参数的值或范围.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则|a|=.(2)若A(x1,y1),B(x2,
7、y2),则|=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角,则cos=.a a22xyAB222121()()xxyy|a ba b121222221122x xy yxyxy典型例题 (1)(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2 B.-C.-D.-1(2)(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是 .答案(1)B(2)PAPBPC3243333解析(1)以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A
8、(-1,0),B(1,0),C(0,),3设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2 =2(-1-x,-y)=2=2.13,22PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.(2)由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60=,所以-=,解得=.1434PAPBPC3432332(3,1)(1,)2 1232 11232133方法归纳求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最
9、值.(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.跟踪集训 1.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于()A.-B.-C.D.72123252答案Da+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,m=-,所以ab=-1+21=.1212522.(2017东北四市高考模拟)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m0,n0),若m+n=1,则|的最小值为()A.B.C.D.OAOBOCOAOBOC52102510答案C 由=(3,1),=(-1,3),得
10、=m-n=(3m+n,m-3n),因为m+n=1(m0,n0),所以n=1-m且0m1,所以=(1+2m,4m-3),则|=(0m1),所以当m=时,|最小,|min=.OAOBOCOAOBOCOC22(12)(43)mm2202010mm212052m12OCOC53.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且 =-4,则的值为 .BDDCAEACABADAE答案 311解析 如图,由=2 得=+,所以 =(-)=-+-,又 =32cos 60=3,=9,=4,所以 =-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13 AB23 ACADAE1
11、233ABACACAB13ABAC132AB232AC23 ABACABAC2AB2ACADAE831133111.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)随堂检测答案B 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,a-1.故选B.10,10,aa 2.已知平面向量a,b的夹角为,且a(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于()A.B.2 C.3 D.42333答案D 因为a(a-b)=8,所以aa-ab=8,即|a|2-|a|b|cos
12、=8,所以4+2|b|=8,解得|b|=4.故选D.123.(2017云南第一次统一检测)设复数z满足z(2+i)=5i,则|z-1|=()A.1 B.2 C.D.53答案B 由题意得z=1+2i,所以|z-1|=|2i|=2,故选B.5i2i5i(2i)(2i)(2i)224.(2017石家庄教学质量检测(一)已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)c,则实数m=()A.-B.-C.D.310110110310答案D 因为2a-5b=2(2,1)-5(1,m)=(-1,2-5m),又(2a-5b)c,所以(2a-5b)c=0,即(-1,2-5m)(2,4)=-
13、2+4(2-5m)=0,解得m=,故选D.3105.A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若=+(R,R),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,D.(-1,0)OCOAOB2答案B 由题意可得=k=k+k(0k1,即+的取值范围是(1,+),故选B.ODOCOAOB1k6.如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别为边AB,AC上的动点,且满足=m,=n,其中m,n(0,1),m+n=1,M,N分别是EF,BC的中点,则|的最小值为()A.B.C.D.AEABAFACMN24333453答案C 连接MB,MC,因为N是BC的中点,M是EF的中点,所以=(+)=(+)=(+).因为=m,=n,所以=(1-m),=(1-n),即=(1-m)+(1-n)=(1-m)+m=(+m),设Q为BC上的一点,且满足=m,则=,易知当m=时,|最小,此时|也最小,且最小值为.MN12MBMC12 MEEBMFFC12 EBFCAEABAFACEBABFCACMN12ABAC12ABAC12 ABBCBQBCMN12AQ12AQMN34