1、23 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值内 容 标 准学 科 素 养1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值2.掌握离散型随机变量的均值的性质、两点分布与二项分布的均值3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.利用数据分析提升数学建模提高数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 离散型随机变量的均值预习教材P6061，思考并完成以下问题对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随
2、机变量的某些数字特征例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分，那么如何求离散型随机变量的均值呢？已知某射手射击所得环数 X 的分布列为：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在 n 次射击之前，根据分布列估计 n 次射击的平均环数根据射手射击所得环数 X 的分布列，我们可以估计在 n 次射击中，预计 n 次射击的平均环数是多少？提示：P(X4)n0.02n 次得 4 环，P(X5)n0.04n 次得 5 环，P(X6)n0.06n 次得 6，环P(X7)n0.09n 次得 7 环，P(X8)n0.28n 次得 8 环，P(X9)n
3、0.29n 次得 9 环，P(X10)n0.22n 次得 10 环故在 n 次射击中总环数大约为：40.02n50.04n60.06n70.09n80.28n 90.29n 100.22n (40.02 50.04 60.06 70.09 80.2890.29100.22)n，从而预计 n 次射击的平均环数约为 40.0250.04100.228.32.知识梳理 离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 E(X)为随机变量 X 的均值或数学期望(2)意义：离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的x1
4、p1x2p2x3p3xnpn平均水平(3)性质：若 X 为离散型随机变量，则 YaXb(其中 a，b 为常数)也是随机变量，且 E(Y)E(aXb).证明如下：如果 YaXb，其中 a，b 为常数，X 是随机变量，那么 Y 也是随机变量因此 P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以 Y 的分布列为：Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pipn于是有 E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即 E(aXb)aE(X)b.aE(X)b知识点二 两点分布与二项分布的均值知识梳
5、理 1.若 X 服从两点分布，则 E(X)；2若 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X).pnp自我检测1已知一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8，则每射击 3 次中靶次数 X 的均值为()A0.8 B0.83C3 D2.4答案：D2已知随机变量 X 的分布列如下：X0123P1316a14则 E(X)_，E(2X1)_.答案：1712 116探究一 求离散型随机变量的均值阅读教材 P68 习题 2.3A 组 4 题现要发行 10 000 张彩票，其中中奖金额为 2 元的彩票1 000 张，10 元的彩票 300 张，50 元的彩票 100 张，100 元的彩票 50 张，1 0
6、00 元的彩票 5 张，1 张彩票可能中奖金额的均值是多少元？解析：1 张彩票可能中奖金额 X 的取值为 0,2,10,50,100,1 000P(X0)0.854 5，P(X2)0.1，P(X10)0.03，P(X50)0.01，P(X100)0.005，P(X1 000)0.000 5.中奖金额 X 的分布列为：X0210501001 000P0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 51 张彩票中奖金额的均值为 00.854 520.1100.03500.011000.0051 0000.000 52.例 1 从装有 2 个红球，2 个白球和 1 个黑球的袋中逐
7、一取球，已知每个球被取到的可能性相同若取后不放回，设取完红球所需的次数为 X，求 X 的分布列及均值解析 由题意知 X 的可能取值为 2,3,4,5.当 X2 时，表示前 2 次取的都是红球，P(X2)A22A25 110；当 X3 时，表示前 2 次中取得 1 个红球，1 个白球或黑球，第 3 次取红球，P(X3)C12C13A22A3515；当 X4 时，表示前 3 次中取得 1 个红球，2 个不是红球，第 4 次取得红球，P(X4)C12C23A33A45 310；当 X5 时，表示前 4 次中取得 1 个红球，3 个不是红球，第 5 次取得红球，P(X5)C12C33A44A5525.
8、X 的分布列为：X2345P1101531025E(X)2 1103154 3105254.方法技巧 求离散型随机变量 X 的均值的步骤(1)根据 X 的实际意义，写出 X 的全部取值；(2)求出 X 取每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)利用定义求出均值跟踪探究 1.袋中有 4 个红球，3 个白球，从袋中随机取出 4 个球设取出一个红球得2 分，取出一个白球得 1 分，试求得分 X 的均值解析：X 的所有可能取值为 5,6,7,8.X5 时，表示取出 1 个红球 3 个白球，此时 P(X5)C14C33C47 435；X6 时，表示取出 2 个红球 2 个白球，此时 P(X6)C2
9、4C23C47 1835；X7 时，表示取出 3 个红球 1 个白球，此时 P(X7)C34C13C47 1235；X8 时，表示取出 4 个红球，此时 P(X8)C44C47 135.所以 X 的分布列为：X5678P43518351235135所以 E(X)5 43561835712358 135447.探究二 离散型随机变量均值的性质阅读教材 P68 习题 2.3A 组 1 题已知随机变量 X 的分布列为X213P0.160.440.40求 E(X)，E(2X5)解析：由题意得 E(X)20.1610.4430.401.32，E(2X5)2E(X)57.64.例 2 已知随机变量 X 的
10、分布列如下：X21012P141315m120(1)求 m 的值；(2)求 E(X)；(3)若 Y2X3，求 E(Y)解析(1)由随机变量分布列的性质，得141315m 1201，解得 m16.(2)E(X)(2)14(1)130151162 1201730.(3)法一：由公式 E(aXb)aE(X)b，得 E(Y)E(2X3)2E(X)321730 36215.法二：因为 Y2X3，所以 Y 的分布列如下：X75311P14131516120所以 E(Y)(7)14(5)13(3)15(1)161 1206215.方法技巧 若给出的随机变量 Y 与 X 的关系为 YaXb(其中 a，b 为常
11、数)，一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aXb)aE(X)b 求 E(Y)跟踪探究 2.已知随机变量 X 的分布列为：X123P121316由 YaX3，若 E(Y)2，求 a 的值解析：由 X 的分布列得 E(X)11221316312353.YaX3，E(Y)E(aX3)aE(X)353a32，53a5，解得 a3.探究三 两点分布、二项分布的均值阅读教材 P61 例 1、例 2(1)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是多少？(2)一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4
12、个选项其中仅有一个选项正确每题选对得 5 分，不选或选错不得分，满分 100 分学生甲选对任意一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值题型：两点分布、二项分布的均值方法步骤：(1)根据题意，确定随机变量 X 服从两点分布或二项分布(2)由两点分布及二项分布均值的计算公式得出随机变量的均值例 3 某运动员的投篮命中率为 p0.6.(1)求投篮一次时命中次数 X 的均值；(2)求重复投篮 5 次时，命中次数 Y 的均值解析(1)投篮一次，命中次数 X 的分布列为X01P0.40.6，则 E(X)p0.6.(2)由题意，重复 5
13、 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)则 E(Y)np50.63.方法技巧 1.若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p(p 为成功概率)2若随机变量 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np，直接代入求解，从而避免了烦杂的计算过程跟踪探究 3.春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用 表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量 的分布列；(2)随机变量 的均值解析：(1)这是 4 次独立重复试验，故 B4，13，即有 P(k)Ck413k234k，k0,1,2,3,4.(2)
14、E()41343.探究四 离散型随机变量均值的应用阅读教材 P63 例 3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇到小洪水时要损失 10 000 元为保护设备，有以下 3 种方案方案 1：运走设备，搬运费为 3 800 元方案 2：建保护围墙，建设费为 2 000 元，但围墙只能防小洪水方案 3：不采取措施试比较哪一种方案好题型：离散型随机变量的均值的应用方法步骤：(1)方案 1 无论有无洪水都损失 3 800 元，求出方案 2 和方案 3 的损失费用 X 的分布列(2)分别求出三种方
15、案损失费用的均值，比较三个均值的大小，确定哪个方案好例 4 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润(单位：万元)为 X.(1)求 X 的分布列；(2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%.若此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？解析(1)X 的所有可能取值有 6,2
16、,1，2.P(X6)1262000.63，P(X2)502000.25，P(X1)202000.1，P(X2)42000.02.故 X 的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后的三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0 x0.29)，依题意，E(X)4.73，即 4.76x4.73，解得 x0.03，所以三等品率最多为 3%.方法技巧 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各
17、事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应概率跟踪探究 4.某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助令 表示该公司的资助总额(1)写出 的分布列；(2)求 E()解析：(1)的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.P(0)164，P(5)332，P(10)1564，P(15)516，P(20)1564，P(25)332，P(30)164.故 的分布列为：0
18、51015202530P16433215645161564332164(2)E()0 1645 33210156415 51620156425 33230 16415.课后小结(1)求离散型随机变量均值的步骤：确定离散型随机变量 X 的取值；写出分布列，并检查分布列的正确与否；根据公式求出均值(2)若 X，Y 是两个随机变量，且 YaXb，则 E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值素养培优在求离散型随机变量的均值时因审题不清而致错某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行每位选手最
19、多有 5 次选题答题的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3 题者则被淘汰已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为 X，试写出 X 的分布列，并求 X 的均值易错分析：选手进入决赛有多种形式，要分清楚累计答对三题可分答了 3 题、4题或 5 题三种情况若不能审清题意，则可能致错考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正：(1)选手甲答 3 题进入决赛的概率为233 827，选手甲答 4 题进入决赛的概率为 C232321323 827，选手甲答 5 题进入决赛的概率为 C24232132231681.所以选手甲可进入决赛的概率为 827 82716816481.(2)依题意，X 的可能取值为 3,4,5，则有 P(X3)23313313，P(X4)C232321323C2313223131027，P(X5)C2423213223C2423213213 827，因此，有X345P131027827E(X)313410275 82710727.04课时 跟踪训练