1、专题一 化曲为直法、类平抛运动及临界问题01课堂探究评价 课堂任务 曲线运动的分析方法化曲为直法物体实际的运动是合运动，所参与的运动是分运动，有时合运动不好解决就把运动进行分解，先求出分运动再找合运动，比如平抛运动的位移和速度。合运动既可以是直线，也可以是曲线，如果是曲线，解决办法就是“化曲为直”。例 1(多选)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，某人从高出水平地面 h 的坡上水平击出一个质量为 m 的高尔夫球，由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为 L 的 A 穴。则()A球被击出后做平抛运动B该球从被击出到落入 A 穴所用的时间为2
2、hgC球被击出时的初速度大小为 L2ghD球被击出后受到的水平风力的大小为mghL规范解答 球在竖直方向只受重力，做自由落体运动，由 h12gt2，得球从被击出到落入 A 穴所用的时间为 t2hg，B 正确；球受到恒定的水平风力的作用，且竖直地落入 A 穴，可知球在水平方向做匀减速直线运动，水平末速度为零，由 Lv0t2 得球被击出时的初速度大小为 v0L2gh，A 错误，C 正确；由 v0at 得球水平方向加速度大小 agLh，球被击出后受到的水平风力的大小为 FmamgLh，D 错误。完美答案 BC答案 把复杂的曲线运动化为简单的直线运动，这是解决曲线运动的办法。两个分运动彼此独立、时间相
3、同，只要解决了分运动的问题，物体的运动合运动也就迎刃而解。变式训练1 一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的 x 方向和 y方向上的两个分运动的速度时间图象如图甲、乙所示。求：(1)物体的初速度大小；(2)物体在前 3 s 内的位移大小。答案(1)50 m/s(2)30 13 m提示 解析(1)由图可看出，物体沿 x 方向的分运动为匀速直线运动，沿 y 方向的分运动为匀变速直线运动。x 方向的初速度 vx030 m/s，y 方向的初速度 vy040 m/s；则物体的初速度大小为 v0 v2x0v2y050 m/s。(2)在前 3 s 内，x 方向的分位移大小x3vxt303 m90 my 方
4、向的分位移大小 y3|vy0|2 t402 3 m60 m故物体在前 3 s 内的位移大小为s x23y23 902602 m30 13 m。解析 课堂任务 类平抛运动1类平抛运动与平抛运动的联系与区别：物体的受力情况与平抛运动类似，只是所受合力并非重力，方向也不一定是竖直方向。2类平抛运动的受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。3类平抛运动的运动特点：在初速度 v0 方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 aF合m。4类平抛运动的求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀
5、加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度 a 分解为 ax、ay，初速度 v0 分解为 vx0、vy0，然后分别在 x、y方向列方程求解。例 2 如图所示的光滑斜面长为 l，宽为 b，倾角为，一物块(可看成质点)在斜面左上方顶点 P 水平射入，恰好从底端 Q 点离开斜面，试求：(1)物块由 P 运动到 Q 所用的时间 t；(2)物块由 P 点水平射入时的初速度 v0；(3)物块离开 Q 点时速度的大小 v。规范解答(1)物块沿斜面做类平抛运动，由 mgsinma 可知，物块加速度 agsin，
6、由 l12at2 可得，物块由 P 运动到 Q 所用的时间 t2lgsin。(2)物块沿 v0 方向的位移为 b，由 bv0t 可得物块水平射入时的初速度 v0bgsin2l。(3)由 vyat，v v20v2y可得 vb24l2gsin2l。完美答案(1)2lgsin(2)bgsin2l(3)b24l2gsin2l答案 类平抛运动的特点及处理方法(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力是恒力，且与初速度方向垂直。初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度 g。(2)类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合运动。处
7、理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。变式训练2 如图所示，质量为 m 的飞机以水平速度 v0 飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为 l 时，它上升的高度为 h。求：(1)飞机受到的升力大小；(2)在高度 h 处飞机的速度大小。答案(1)mg12hv20gl2 (2)v014h2l2答案 解析(1)飞机在水平方向做匀速直线运动，lv0t，竖直方向加速度恒定 h12at2，联立得 a2hv20l2，由牛顿第二定律：Fmgma，得 Fmgma
8、mg12hv20gl2。(2)在高度 h 处，飞机竖直方向的速度 vyat2hv0l则速度大小：v v20v2yv014h2l2。解析 课堂任务 临界问题当物体运动从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态。出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。临界问题是一个从量变到质变飞跃的节点，它可能导致某些物理量发生变化，甚至物理规律发生变化。它往往会有一个标志性的东西，或物理量或情景，具体问题要进行具体分析。下面详细讨论平抛运动的临界问题和水平面内匀速圆周运动的临界问题，而竖直面内圆周运动的临界情况已在第七节课堂任务 4 中学习，这里就不列出了。1
9、平抛运动的临界问题例 3 排球场总长 18 m，网高 2 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在 3 m 线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，可以认为排球被击回时做平抛运动，g 取 10 m/s2。若击球的高度h2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不能出底线或压线，则球被击回的水平速度应在什么范围内？规范解答 如图所示，设球刚好触网，此过程球水平射程 x13 m，球下落高度 hhh1(2.52)m0.5 m，竖直方向：h12gt21，所以球飞行时间 t12hg 1010 s，水平方向：x1v1t1，得 v1x1t13 10 m/s；答案 设球恰
10、好落在底线上，此过程水平射程 x212 m，竖直方向：h12gt22，球飞行时间 t22hg 22.510 s 22 s，水平方向：x2v2t，得 v2x2t212 2 m/s，欲使球既不触网也不出底线或压线，则球被击回时的水平速度应满足：3 10 m/sv012 2 m/s。完美答案 3 10 m/sv012 2 m/s答案 解决平抛运动的临界问题，关键有三点：(1)确定运动性质平抛运动；(2)确定临界位置；(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图。变式训练3(多选)某次网球比赛中，某选手将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在场中(不计空气阻力)，已知网球比赛场地相关数据如图所示，下列说
11、法中正确的是()A击球高度 h1 与球网高度 h2 之间的关系为 h11.8h2B若保持击球高度不变，球的初速度 v0 只要不大于 xh1 2gh1，一定落在对方界内C任意降低击球高度(仍大于 h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内D任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内答案 AD答案 解析 根据平抛运动的规律有x2h1h2g 1.5x2h1g，解得 h11.8h2，A正确；若保持击球高度不变，当球的初速度 v0 足够小时，球会落在自己界内，B 错误；设击球高度为 h(仍大于 h2)时球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有 2x2hgx2hh2g，解得 h4
12、3h2，即击球高度低于此值时，球不能落在对方界内，C 错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内，D 正确。解析 2水平面内匀速圆周运动的临界问题例 4 如图所示，叠放在水平转台上的小物体 A、B、C 能随转台一起以角速度 匀速转动，A、B、C 的质量分别为 3m、2m、m，A 与 B、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为，B、C 离转台中心的距离分别为 r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是()AB 对 A 的摩擦力一定为 3mgBC 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力C转台的角速度一定满足：2g3rD转台的角速度一定满足：g3r规范
13、解答 对 A 受力分析，受重力、支持力以及 B 对 A 的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当 A 要相对于 B 滑动时 B 对 A 的摩擦力才为3mg，故 A 错误。A 与 C 转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对 A 有 FfA3m2r，对 C 有 FfCm21.5r，由此可知 C 与转台间的摩擦力小于 A 与 B 间的摩擦力，故 B 错误。当 C 刚要滑动时：mgm2C1.5r，解得 C2g3r；对 A、B 整体刚要滑动时：(2m3m)g(2m3m)2ABr，解得 ABgr；当 A 刚要相对于 B 滑动时：3mg3m2Ar，解得：A答案 gr；由以上可知要想三个物体均不滑动，角
14、速度应满足：2g3r，故C 正确，D 错误。完美答案 C答案 水平面内匀速圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。通常有下面三种情况：,1与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度或线速度。,2与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度或线速度。,3因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度或线速度。变式训练4如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为
15、30，一条长为 L 的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点 O 处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体(物体可看做质点)，物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。(1)当 v116gL时，求绳对物体的拉力大小；(2)当 v232gL时，求绳对物体的拉力大小。答案(1)3 316mg(2)2mg答案 解析 当物体在圆锥体表面运动时，分析物体受力情况：物体受重力 mg、绳的拉力 T、支持力 N，进行正交分解。水平方向：TsinNcosm v2Lsin竖直方向：TcosNsinmg联立解得 Nmgsinmv2cosLsin。由上式可看出当、L、m 一定时，线速度 v 越大，支持力 N 越
16、小，设 vv0 时，N0，此时锥面与物体间恰好无相互作用力，解析 即 mgsinmv20cosLsin 0，解得 v0gLsin2cos。将 30代入上式得 v03gL6。(1)当 v116gLv0 时，物体已离开锥面，仍绕轴线做水平匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为()，物体仅受重力和拉力作用，这时T2sinm v22LsinT2cosmg联立解得 cos12由式得 T2 mgcos2mg。解析 03课后课时作业 1(多选)一质量为 2 kg 的质点在如图甲所示的 xOy 平面内运动，在 x方向的 v-t 图象和 y 方向的位移时间(y-t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知()At0 时
17、，质点的速度大小为 12 m/sB质点做加速度恒定的曲线运动C前 2 s，质点所受的合力大小为 10 NDt1 s 时，质点的速度大小为 7 m/s答案 BC答案 解析 由 v-t 图象可知，质点在 x 方向上做匀减速直线运动，初速度为12 m/s，而在 y 方向上，质点做速度为5 m/s 的匀速直线运动，故在前 2 s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，其大小：v0 12252 m/s13 m/s，故 A 错误，B 正确；由 v-t 图象可知，前 2 s，质点的加速度为：avt21220 m/s25 m/s2，根据牛顿第二定律，前 2 s 质点所受合外力为
18、Fma2(5)N10 N，其大小为 10 N，故 C 正确；t1 s 时，x 方向的速度为 7 m/s，而 y 方向的速度为5 m/s，因此质点的速度大小为 7252 m/s 74 m/s，故 D 错误。解析 2.如图所示，A、B 两质点从同一点 O 分别以相同的水平速度 v0 沿 x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为 P1；B 沿光滑斜面运动，落地点为 P2，P1 和 P2 在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是()AA、B 的运动时间相同BA、B 沿 x 轴方向的位移相同CA、B 运动过程中的加速度大小相同DA、B 落地时速度大小相同答案 D答案 解析 设 O 点与水平面
19、的高度差为 h，已知斜面的倾角为，由 h12gt21，hsin12gsint22可得：t12hg，t22hgsin2，故 t1t2，A 错误；由 x1v0t1，x2v0t2 可知，x1x2，B 错误；由 a1g，a2gsin 可知，a1a2，C 错误；A 落地时的速度大小 vA v20gt12 v202gh，B 落地时的速度大小 vBv20a2t22 v202gh，所以 vAvB，故 D 正确。解析 3.(多选)质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质细杆的 A 点和 B点，如图所示，a、b 两绳都张紧的状态下，绳 a 与水平方向成 角，绳 b 在水平方向上且长为 l，当轻杆绕轴
20、AB 以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()Aa 绳张力不可能为零Ba 绳的张力随角速度的增大而增大C若 b 绳突然被剪断，则 a 绳的弹力一定发生变化D当角速度 gltan时，b 绳将出现弹力答案 AD答案 解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以 a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知 a 绳的张力不可能为零，故 A 正确；当 b 绳张紧时，根据竖直方向上平衡得，Fasinmg，解得 Fa mgsin，可知角速度增大，a 绳的拉力不变，故 B 错误；由于b 绳可能没有弹力，故 b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能
21、不变，故 C 错误；当 b 绳拉力恰为零时，有 mgtanm2l，解得 gltan，可知当角速度 gltan时，b 绳将出现弹力，故 D 正确。解析 4.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为 32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2，则 的最大值是()A.5 rad/s B.3 rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s答案 C答案 解析 当物体运动到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二
22、定律得：mgcos30mgsin30m2r，则 gcos30sin30r1032 32 122.5 rad/s1.0 rad/s，故 C 正确。解析 5.如图所示，将质量为 m 的小球从倾角为 的光滑斜面上 A 点以速度v0 水平抛出(且 v0CD)，小球运动到 B 点，已知 A 点距 B 点的高度为 h，求：(1)小球到达 B 点时的速度大小；(2)小球到达 B 点的时间。答案(1)v202gh(2)1sin2hg答案 解析(1)设小球沿斜面方向的分速度为 vy，则：2a hsinv2y又由牛顿第二定律得：mgsinma则 B 点速度 vB v20v2y联立式得：vB v202gh(2)设小
23、球到达 B 点的时间为 t，则：hsin12at2联立式得：t 1sin2hg。解析 6.在光滑的水平面内，一质量 m1 kg 的质点以速度 v010 m/s 沿 x轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向的水平恒力 F15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成 37角，如图所示曲线为质点的轨迹图，已知 P 点为质点运动轨迹与直线 OA 的交点(g 取 10 m/s2，sin370.6，cos370.8)。求：(1)质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及 P 点的坐标；(2)质点经过 P 点的速度大小。答案(1)1 s(10 m,7.5 m)(2)5 13 m/s答案 解析(1)质点在 x
24、 轴方向上无外力作用做匀速直线运动，在 y 轴方向受恒力 F 作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得 aFm151 m/s215 m/s2设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t，P 点坐标为(xP，yP)，则 xPv0t，yP12at2，又 tanyPxP联立解得 t1 s，xP10 m，yP7.5 m，即 P 点坐标为(10 m,7.5 m)。解析(2)质点经过 P 点时沿 y 方向的速度 vyat15 m/s故 P 点的速度大小 vP v20v2y5 13 m/s。解析 7光滑水平面上，一个质量为 2 kg 的物体从静止开始运动，在前 5 s受到一个沿正东方向、大小为 4 N 的水平恒
25、力作用；从第 5 s 末开始改为受到正北方向、大小为 2 N 的水平恒力作用了 10 s，求：(1)物体在 15 s 内的位移；(2)物体在 15 s 末的速度。答案(1)135 m，方向为东偏北 角，满足 tan25(2)10 2 m/s，方向为东偏北 45角答案 解析(1)如图所示，物体在前 5 s 内由坐标原点起沿 x 轴正方向(正东方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为axF1m42 m/s22 m/s2。5 s 末物体沿 x 轴方向的位移x112axt2112252 m25 m，解析 设 5 s 末物体到达 P 点，5 s 末速度 vxaxt125 m/s10 m/s。从第5
26、 s末开始，物体参与两个分运动：一是沿x轴正方向做速度为10 m/s的匀速直线运动，经 10 s 其位移 x2vxt21010 m100 m；二是沿 y 轴正方向(正北方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 ayF2m22 m/s21 m/s2。经 10 s 沿 y 轴正方向的位移y12ayt22121102 m50 m解析 设 15 s 末物体到达 Q 点，则 OQ y2x1x22 502251002 m135 m，方向为东偏北 角，满足 tanyx1x225。(2)15 s 末沿 y 轴正方向的速度vyayt2110 m/s10 m/s15 s 末的速度为v1 v2xv2y 102
27、102 m/s10 2 m/s，设 v1 与 x 轴正方向夹角为，tanvyvx1，所以 45，即方向为东偏北 45角。解析 8.如图所示，水平转盘上放有质量为 m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为 r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度 0；(2)当角速度为3g2r 时，绳子对物体拉力的大小。答案(1)gr (2)12mg答案 解析(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，则 mgm20r，得 0gr。(2)当 3g2r 时，0，所以绳子的拉力 T 和最大静摩擦力共同提供向心力
28、，此时 Tmgm2r，即 Tmgm3g2r r，解得 T12mg。解析 9.如图所示，细绳的一端系着质量为 M2 kg 的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为 m0.5 kg 的物体，M 的中点与圆孔的距离为 0.5 m，并已知 M 与圆盘的最大静摩擦力为 4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度 在什么范围内可使 m 处于静止状态。(g 取 10 m/s2)答案 1 rad/s3 rad/s答案 解析 设当 取 1时，M 恰不向 O 点滑动，此时 M 所受最大静摩擦力背离圆心 O，对 M 有：mgfmaxM21r代入数据得：11 rad/s。设当 取 2 时，M 恰不背离
29、 O 点滑动，此时 M 所受最大静摩擦力指向圆心 O，对 M 有：mgfmaxM22r，代入数据得：23 rad/s。所以角速度的取值范围是：1 rad/s3 rad/s。解析 10.如图所示，两绳系一个质量为 m0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处，与 A 相连的绳长 L2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为 30和 45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？(g 取 10 m/s2)答案 2.40 rad/s3.16 rad/s答案 解析 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当 由 0 逐渐增大时，可能出现两个临界值。解析(1)BC 恰好拉直，但 T2 仍然为零，设此时的角速度为 1，则有FxT1sin30m21Lsin30FyT1cos30mg0联立解得 12.40 rad/s。(2)AC 由拉紧转为恰好拉直，则 T1 已为零，设此时的角速度为 2，则有FxT2sin45m22Lsin30FyT2cos45mg0联立解得 23.16 rad/s可见，要使两绳始终张紧，必须满足 2.40 rad/s3.16 rad/s。解析 本课结束