1、章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，B1,2，3,4，C1，D1, ， ，【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列【答案】C2已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，且4a1，a5，2a3成等差数列，则公比q等于()A.B1C2D2【解析】由已知，2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，所以q4q220，解得q21，因为q1，所以q1.【答案】B3某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小
2、时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A33个 B65个 C66个 D129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an则即2.an112n1 ，an2n11，a765.【答案】B4等比数列an的通项为an23n1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 bn，那么162是新数列bn的()A第5项 B第12项C第13项 D第6项【解析】162是数列an的第5项，则它是新数列bn的第5(51)213项【答案】C5已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差
3、数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】Snan1(a0)，an即an当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列【答案】C6等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是()A90 B100 C145 D190【解析】设公差为d，(1d)21(14d)，d0，d2，从而S10100.【答案】B7记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d()A2 B3 C6 D7【解析】S4S2a3a420416，a3a4S2(a3a1)(a4a2)4d16412，d3.【
4、答案】B8已知数列an满足a15，anan12n，则()A2 B4 C5 D.【解析】依题意得2，即2，数列a1，a3，a5，a7，是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此4.【答案】B9在数列an中，a12,2an12an1，则a101的值为()A49 B50 C51 D52【解析】2an12an1，an1an，数列an是首项a12，公差d的等差数列，a1012(1011)52.【答案】D10我们把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30【解析】法一a11，a23，a36，a410
5、，a515，a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，a6a56，a621，a7a67，a728.法二由图可知第n个三角形数为，a728.【答案】B11数列an满足递推公式an3an13n1(n2)，又a15，则使得为等差数列的实数()A2 B5 C D.【解析】a15，a223，a395，令bn，则b1，b2，b3，b1b32b2，.【答案】C12在等差数列an中，a100，且a11|a10|，则an的前n项和Sn中最大的负数为()AS17 BS18 CS19 DS20【解析】a100，且a11|a10|，a11a100.S2010(a11a10)0.S192a100且a9248d0，
6、d3.【答案】16已知公差不为零的正项等差数列an中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a510，则S5_.【解析】设an的公差为d，则d0.由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，得2lg a2lg a1lg a4，aa1a4，即(a1d)2a1(a13d)，d2a1d.又d0，故da1，a55a110，da12，S55a1d30.【答案】30三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和【解】设该数列的
7、公差为d，前n项和为Sn.由已知可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0或a11，d3，即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n项和Sn4n或Sn.18(本小题满分12分)(2016唐山模拟)设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列【解】(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a3
8、8.(2)证明：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12nanSn2Sn12，Sn2Sn120，即Sn2Sn12.Sn22(Sn12)S1240.Sn120，2.即Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列19(本小题满分12分)(2015北京高考)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？【解】(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d
9、10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2得n63，所以b6与数列an的第63项相等20(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)，满足anbn1an1bn2bn1bn0. 【导学号：05920083】(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.【解】(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以2，即cn1cn2.所以数列cn是以首项c11，公差d2的等差数列，故cn2n1
10、.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n.相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.21(本小题满分12分)(2015四川高考)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值【解】(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，所以q2.从而a22a
11、1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12.所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.由|Tn1|，得1 000.因为295121 0001 024210，所以n10.于是使|Tn1|成立的n的最小值为10.22(本小题满分12分)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.【解】(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn