1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时过关能力提升基础巩固14(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D2已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D解析:AD=AC+CD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3AB,故A,B,D三点共线.答案:A3已知,R,下面式子正确的是()A.a与a的方向相同B.0a=0C.(+)a=a+aD.若b=a,则|b|=|
2、a|答案:C4已知点C在线段AB上,且AC=27CB,则()A.AB=75BCB.AB=-75BCC.AB=97BCD.AB=-97BC解析:AB=AC+CB=27CB+CB=97CB=-97BC.答案:D5在ABC中,AB=c,AC=b.若BC边上一点D满足BD=2DC,则AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c解析:如图,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.答案:A6已知P,A,B,C是平面内四个不同的点,且PA+PB+PC=AC,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,P三点共线C.A,
3、C,P三点共线D.B,C,P三点共线解析:PA+PB+PC=AC,PA+PB+PC=PC-PA,PB=-2PA,A,B,P三点共线.答案:B7已知两个非零向量e1和e2不共线,且ke1+2e2和3e1+ke2共线,则实数k=.解析:ke1+2e2和3e1+ke2共线,存在实数,使得ke1+2e2=(3e1+ke2).ke1+2e2=3e1+ke2,k=3,2=k,解得k=6.答案:68如图,在ABC中,D,E分别在AB,AC上,且ADAB=AEAC=13,则DE=BC.解析:ADAB=AEAC=13,AD=13AB,AE=13AC,DE=AE-AD=13AC-13AB=13(AC-AB)=13
4、BC.答案:139如图,已知向量a,b,求作向量12a+2b.解步骤如下:作向量OA=12a,OB=2b,如图.以OA,OB为邻边作OACB,则向量OC就是所求作的向量.10如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE,BF的交点,若AB=a,AD=b,试用a,b表示DE,BF,CG.解DE=DC+CE=AB+12CB=AB-12AD=a-12b;BF=BC+CF=AD+12CD=AD-12AB=-12a+b.如图,连接BD,则G是BCD的重心,连接AC交BD于点O,则O是BD的中点,点G在AC上.故CG=23CO=2312CA=-13AC=-13(AB+AD)=-13
5、(a+b).能力提升1已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么()A.k=1,且c与d同向B.k=1,且c与d反向C.k=-1,且c与d同向D.k=-1,且c与d反向答案:D2已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数满足AB+AC=AP,则的值为()A.2B.32C.3D.6解析:AB+AC=PB-PA+PC-PA=PB+PC-2PA.又PA+PB+PC=0,即PB+PC=-PA,AB+AC=-3PA=AP=-PA,=3.答案:C3设点O在ABC内部,且OA+OB+2OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()A.3B.4C
6、.5D.6解析:如图,以OA和OB为邻边作平行四边形OADB,设OD与AB交于点E,则E分别是OD,AB的中点,OA+OB=OD=2OE,则2OE+2OC=0,所以OE=-OC.则O,E,C三点共线,所以O是中线CE的中点.又ABC,AEC,AOC有公共边AC,则SABC=2SAEC=2(2SAOC)=4SAOC.答案:B4在ABC中,点M为边AB的中点,若OPOM,且OP=xOA+yOB(x0),则yx=.解析:M为AB的中点,OM=12(OA+OB).又OPOM,存在实数,使OP=OM,OP=2(OA+OB)=2OA+2OB,x=y=2,yx=1.答案:15在平行四边形ABCD中,AB=a
7、,AC=b,NC=14AC,BM=12MC,则MN=(用a,b表示).答案:-23a+512b6下列各组向量中,a,b共线的是(填序号).a=-32e,b=2e(e为非零向量);a=e1-e2,b=-3e1+3e2(e1,e2为非零且不共线的向量);a=e1-e2,b=e1+2e2(e1,e2为非零且不共线的向量).解析:a=-34b,且e0,a与b共线;a=-13b,且e1,e2为非零且不共线的向量,a与b共线;e1,e2为非零且不共线的向量,不存在实数,使a=b,a与b不共线.答案:7已知非零向量a,b不共线.(1)如果AB=2a+3b,BC=6a+23b,CD=4a-8b,求证:A,B,
8、D三点共线;(2)已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a-b,若使A,B,D三点共线,试确定实数k的值.(1)证明因为BC=6a+23b,CD=4a-8b,所以BD=BC+CD=10a+15b.又AB=2a+3b,所以BD=5AB,即BDAB.因为有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)解DB=CB-CD=a+3b-2a+b=4b-a,AB=2a+kb.因为A,B,D三点共线,所以ABDB.设DB=AB,所以-1=2,4=k,解得k=-8.8已知O,A,M,B为平面上四点,且OM=OB+(1-)OA(R,0,且1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.(1)证明OM=OB+(1-)OA,OM=OB+OA-OA,OM-OA=OB-OA,AM=AB(R,0,且1).又AM与AB有公共点A,A,B,M三点共线.(2)解由(1)知AM=AB,若点B在线段AM上,则AM与AB同向,且|AM|AB|(如图).1.
