1、4 船有触礁的危险吗 5 测量物体的高度 1.能够将实际问题转化为数学问题,并能借助计算器进行三角函数的计算.(重点)2.会把实际问题转化为数学问题.(难点)方位角 如图,以O为观测点,则观测方向OA是指_,OB是指 _,OC是指_,OD是指_(西南 方向).北偏东60 南偏东30 北偏西70 南偏西45【归纳】在水平面上,过观测点O作一条水平线(向右为东方)和 一条铅垂线(向上为北方),则从O点出发的_与_ _的夹角叫做观测的方位角.视线 水平线或 铅垂线 (打“”或“”)(1)对于方位角,各观测点的南北方向线不一定平行.()(2)若从点A看点B在北偏东60方向,则从点B看点A在南偏西 30
2、方向.()(3)从不同位置观察同一物体,方位角一定不同.()(4)测量物体的高度时至少要知道三个数据.()知识点 1与方位角有关的问题 【例1】钓鱼岛及其附属岛屿是 中国固有领土,A,B,C分别是钓 鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图),点C在点A的北偏东47 方向,点B在点A的南偏东79方 向,且A,B两点的距离约为5.5km;同时,点B在点C的南偏西36方向.若一艘中国渔船以30km/h的 速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达?(结果保留小数点 后两位)(参考数据:sin540.81,cos 540.59,tan47 1.07,tan360.73,tan 110.19)【思路点拨】作BD
3、AC于点D,根据方位角分别求出CAB和ACB的度数,然后在RtABD和RtBCD中分别求出AD,CD的长,再根据时间=路程速度,即可求出需要的时间.【自主解答】作BDAC于D,CAB=180-47-79=54,ACB=47-3611.在直角三角形ABD中，BD=AB sin 54,AD=AB cos 54，在直角三角形BCD中,5.50.59+5.50.810.1926.69，26.69300.89(h).答：大约需要0.89 h到达.BDCDtan 11，BDACADDCAB cos 54tan 11AB sin 54AB cos 54tan 11【总结提升】运用三角函数解决实际问题“三步法
4、”知识点 2 测量物体的高度【例2】极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1 m的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22；再向前走63 m到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39(如图是他设计的平面示意图)已知平台的高度BH约为13 m，请你求出“八卦楼”的高度约是多少？(参考数据：)72164sin 22tan 22sin 39tan 39205255 ，【解题探究】1.如果设AG=x m，你能用含x的式子表示出CG及 EG的长吗？提示：在RtACG中，在RtAEG中，AG2tan 22CG5，55CGAGx
5、22AG455tan 39EGAGxEG544，2.你能找出等量关系，列出关于x的方程，并求出AG的长吗？提示：CG-EG=CE 3.你能求出AH的长吗？提示：GH=CD=1.1 m，AH=AG+HG=50.4+1.1=51.5(m).55xx63x50.4AG50.4 m24，4.根据以上探究可求出“八卦楼”的高度：AB=_=_=_(m)，即“八卦楼”的高度约 为_ m AH-BH 51.5-13 38.5 38.5【互动探究】本题中“八卦楼”的高度还可以怎样计算？提示：还可以先算出BG的长，再用AG-BG即可求出.【总结提升】与测量有关的常见图形与关系式 图 形 关 系 式 BD=CE,A
6、C=BCtan,AE=AC+CE BDBCDC11AC()tan tan AGACCGACBE，图 形 关 系 式 BC=DC-BD=AD(tan-tan)BCBDDC11AD()tantan图 形 关 系 式 AB=DE=AEtan,CD=CE+DE=AE(tan+tan)BCBEEFCFBEADCF11ADh()tantan题组一：与方位角有关的问题 1.如图，轮船从B处以每 小时50 n mile的速度沿 南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达 C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A 的距离是()A 25 3 n mileB
7、25 2 n mileC 50 n mileD 25 n mile【解析】选D.根据题意,1=2=30,ACD=60,ACB=30+60=90,CBA=75-30=45,ABC为等腰直角三角形,BC=500.5=25,AC=BC=25(n mile).2.已知儿童公园在小明家的正东方,超市在儿童公园的北偏西40方向上,儿童公园到超市与小明家到超市的距离相等,则超市在小明家的()A.南偏东50 B.南偏东40 C.北偏东50 D.北偏东40【解析】选D.如图所示,图中A,B,C分别为小明家、儿童公园、超市,可知C在A的北偏东40方向上,即超市在小明家的北偏东40方向.3.(2013潍坊中考)一渔
8、船在海岛A南偏东20方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔 船将险情报告给位于A处的救援船 后,沿北偏西80方向向海岛C靠 近.同时,从A处出发的救援船沿南 偏西10方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为()【解析】选D.ABC=80-20=60，CAB=20+10=30，C=90.在RtACB中，(海里)，救援船的速度为 (海里/小时).A.10 3/B.30/C.20 3/D.30 3/海里 小时海里 小时海里 小时海里 小时3ACABcos 302010 32 110 330 334.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的
9、北偏东60方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距_m.【解析】由题干图,易求得C=30,且BAC=30,所以 BC=AB=200m.答案:200【变式备选】如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A 处观测到灯塔M在北偏东60方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30方向上,那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.【解析】作MNAB于N.由题意知MAB=30,MBN=60,BMA=BAM=30.设该船的速度为x,则BM=AB=0.5x.RtBMN中,MBN=60,故该船需
10、要继续航行的时间为0.25xx=0.25(h)=15(min).答案:15 1BNBM0.25x.25.(2013黄石中考)高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周 围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西 15方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间,消防 队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75方向的F点处 突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播 半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防 车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由.(取1.732)3【解析】作ABCF,垂足为B，由题意知ACF=75-15=60,在R
11、tABC中，=108.25(米),108.25100,消防车不需要改道行驶.AB31.732sin ACB,AB125 sin 60125125AC22 题组二：测量物体的高度 1.(2013绵阳中考)如图，在两建筑物 之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗 杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角 为60，又从A点测得D点的俯 角 为30，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A.20米 B.米 C.米 D.米 10 315 35 6【解析】选A.过D作DE垂直于AE，如图.因为ABBC,GFBC,GB=GC,GF=15米,所以AB=CE=30米.在RtGFC中,FCG=60，GF
12、=15米,所以 (米),所以 米.在RtADE中,(米)，所以CD=CE-DE=20(米).GCGF tan 305 3 BC10 33DEAE tan 3010 3103 2.数学实践探究课中，老师布置同学 们测量学校旗杆的高度小民所在的 学习小组在距离旗杆底部10 m的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60，则旗杆的高度是_m【解析】设旗杆高度为x m，所以 解得 答案：xtan 6010，x10 3.10 3【名师点拨】解决实际问题列方程时常用的等量关系 利用三角函数解决实际问题时，常要列方程求解,列方程时常用的等量关系有：勾股定理.相似三角形的性质.三角函数的定义等.3.周末，小强在广
13、场放风筝，如图，小强为了计算风筝离地的高度，他 测得风筝的仰角为60，已知风筝 线BC的长为10 m，小强的身高AB为 1.55 m，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的 高度(结果精确到1 m，参考 )21.41,31.73【解析】如图，过点C作CEAB，交地面于点E，过点B作 BDCE，垂足为D，则CDB90，CBD60，DEAB1.55 m，在RtBCD中，风筝离地面的高度CECD+DE=+1.5551.73+1.5510(m).答：风筝离地面的高度约为10 m 3CDsin 60 BC105 3 m2，5 34.(2013乐山中考)如图,山顶有一铁塔AB的高度为20米,为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60和45,求山的高度BC.(结果保留根号)【解析】C=90，BDC=45，则CD=CB,又CDA=60，整理得：解得：米.答：山的高度BC为 米.ACABBCtan CDA3,CDBC20BC3BC，BC(10 310)(10 310)【想一想错在哪？】如图，甲楼AB的高度为20 m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为30，测得乙楼 底部D处的俯角为45，求乙楼CD的高度.(结果精确到0.1 m，)31.732提示：仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不 是C.