1、21 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量内 容 标 准学 科 素 养1.会分析随机变量的意义，知道随机变量与函数的区别与联系2.能区分离散型与非离散型随机变量，能举出离散型随机变量的例子3.能理解随机变量所表示的试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.利用数学抽象提升数学建模01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 随机变量预习教材P44，思考并完成以下问题(1)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1,2,3,4,5,6 来表示那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？(2)在一块地里种 10 棵树苗，成活的棵数为 x，则 x 可
2、取哪些数字？提示：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果虽然这个随机试验的结果不是数字，但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上提示：x 可取 0,1,2,3，10.知识梳理 1.随机变量的定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的表示，随着试验结果的变化而变化，像这种随着变化而变化的变量称为随机变量2随机变量常用字母表示数学数字试验结果X，Y，3随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种一一对应关系区别随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于
3、函数的值域知识点二 离散型随机变量知识梳理 1.定义：所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量2特征：(1)可用数字表示(2)试验之前可以判断其出现的所有值(3)在试验之前不能确定取何值(4)试验结果能一一列出一一列出自我检测1.已知 6 件同类产品中有 2 件次品，4 件正品，从中任取 1 件，则可以作为随机变量的是()A取到的产品个数B取到的正品个数C取到正品的概率D取到次品的概率答案：B2一个口袋内装有除颜色外其他都相同的 3 个红球，2 个蓝球，从中任取 3 个，用 X 表示所取球中红球的个数，则 X 的所有可能取值为_答案：1,2,3探究一 随机变量的概念阅读教材 P45 练习 1
4、改编下列随机试验的结果能否用随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在 5 次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶某种标有 2 500 ml 的饮料，其实际量与规定量之差解析：(1)能用随机变量表示，可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.(2)能用随机变量表示，可能取值为 0,1,2,3,4,5.(3)能用随机变量表示，可能取值为2 500 x2 500.例 1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)北京国际机场候机厅中某天的旅客数量；(2)2019 年 5 月 1 日到 10 月 1
5、 日期间所查酒驾的人数；(3)2018 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长解析(1)旅客人数可能是 0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)所查酒驾的人数可能是 0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(3)动车到达的时间是在某一区间内的任意一值，是随机的，因此是随机变量(4)当球的体积为 1 000 cm3 时，半径为定值，不是随机变量方法技巧 1.随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；2随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机事件；3有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它；4
6、对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个跟踪探究 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)任意掷一枚均匀硬币 5 次，出现正面向上的次数；(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的变化；(4)在标准状况下，水在 0 时结冰解析：(1)任意掷一枚硬币 1 次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷 5次硬币，出现正面向上的次数可能是 0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随
7、机变量(2)投一颗骰子出现的结果是 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量(3)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量(4)标准状况下，在 0 时水结冰是必然事件，不是随机变量探究二 离散型随机变量的判定阅读教材 P49 习题 2.1 A 组 1 题下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)从学校回家要经过 5 个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；(2)在优、良、中、及格、不及格 5 个等级的测试中，某同学可能取得的成绩解析：(1)能用离散型随机变量表示
8、设能遇到的红灯个数为 X，它可能取值为 0,1,2,3,4,5.事件x0表示 5 个路口遇到的都不是红灯事件x1表示 5 个路口其中 1 个路口遇到红灯其余 4 个路口都不是红灯事件x2表示 5 个路口，其中 2 个路口遇到红灯，其余 3 个路口都不是红灯事件x3表示 5 个路口，其中 3 个路口遇到红灯，其余 2 个路口都不是红灯事件x4表示 5 个路口，其中 4 个路口遇到红灯，其余 1 个路口不是红灯事件x5表示 5 个路口全部遇到红灯(2)能用离散型随机变量表示X 1，成绩不及格2，成绩及格3，成绩中4，成绩良5，成绩优则 X 是一个离散型随机变量，可能的值为 1,2,3,4,5.事件
9、x1表示该同学取得的成绩为不及格事件x2表示该同学取得的成绩为及格事件x3表示该同学取得的成绩为中事件x4表示该同学取得的成绩为良事件x5表示该同学取得的成绩为优例 2 下面给出四个随机变量：某高速公路上某收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 是一个随机变量；一个沿直线 yx 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置 Y 是一个随机变量；某网站未来 1 小时内的点击量；一天内的温度.其中是离散型随机变量的为()A BCD解析 收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 有限且可一一列出，是离散型随机变量；同理也是；而都是不可一一列出的连续变化的数，不符合离散型随机变量的定义答案 C方法技巧“三
10、步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量(2)由条件求解随机变量的值域(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量跟踪探究 2.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：(1)从 10 张已编好号码的卡片(从 1 号到 10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数；(3)某林场中的树木最高达 30 m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差解析：(1)是离散型随机变量因为只要取出一张，便有一个
11、号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义(2)是离散型随机变量因为从 10 个球中取 3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球；2 个白球和 1 个黑球；1 个白球和 2 个黑球；3 个黑球所以所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义(3)不是离散型随机变量因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值，无法一一列出，所以不是离散型随机变量(4)不是离散型随机变量因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，所以不是离散型随机变量探究三 用随机变量表示随机试验的结果例 3 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1
12、)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)一个袋中装有 8 个红球，3 个白球，从中任取 5 个球，其中所含白球的个数为X.解析(1)设所需的取球次数为 X，则 X1,2,3,4，10,11，Xi 表示前(i1)次取到的均是红球，第 i 次取到白球，这里 i1,2,3,4，11.(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3.X0 表示取 5 个球全是红球；X1 表示取 1 个白球，4 个红球；X2 表示取 2 个白球，3 个红球；X3 表示取 3 个白球，2 个红球方法技巧 解答此类问题的关键在于明确随机
13、变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果跟踪探究 3.写出下列随机变量 X 可能取的值，并说明随机变量 X4 所表示的随机试验的结果(1)从 10 张已编号的卡片(编号从 1 号到 10 号)中任取 2 张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为 X；(2)某足球队在点球大战中 5 次点球射进的球数为 X.解析：(1)X 的所有可能取值为 2,3,4，10.其中 X4 表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大编号为 4”基本事件有如下三种：取出的两张卡片上的编号分别为 1 和 4,2 和 4,3 和
14、 4.(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.其中 X4 表示的试验结果为“5 次点球射进 4个球”课后小结(1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：可用数来表示；试验之前可以判断其可能出现的所有值；在试验之前不能确定取值素养培优随机变量中因忽略题目中的条件而致错小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、第二关各有两个必答题如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功每过一关可一次性获得价值分别为 1 000 元，3
15、 000 元，6 000 元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否互不影响，用 X 表示小王所获奖品的价值，写出 X 的可能取值易错分析(1)对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的(2)忽略题目中的条件：不重复得奖，最高奖不会超过 6 000 元自我纠正：X 的可能取值为 0,1 000,3 000,6 000.X0 表示“第一关就没有通过”；X1 000 表示“第一关通过而第二关没有通过”；X3 000 表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；X6 000 表示“三关都通过”04课时 跟踪训练