1、 变式题库【原卷 1 题】知识点 复数的相等,复数的加减,共轭复数 【正确答案】C【试题解析】1-1【巩固】若(1 i)(23i)iab(,a bR，i 是虚数单位)，则 ab 等于（）A.5 B.1 C.0 D.3 【正确答案】B 1-2【基础】复数 23i 的共轭复数是（）A.23i B.23i C.32i D.32i 【正确答案】B 1-3【基础】若 z-3+5i=8-2i，则 z 等于（）A.8-7i B.5-3i C.11-7i D.8+7i【正确答案】C 1-4【提升】若1 iz ，则2z zz （）A.0 B.1 C.2 D.2 【正确答案】D 1-5【巩固】复数 z 满足2i4
2、zz，则 z （）A.3i B.3 i C.1 i D.1 i 【正确答案】B 1-6【巩固】已知复数2zi ，则 zz（）A.-4 B.-2 C.2i D.0本次考试小 AI 帮您挑出 23 道原题的变式题目，为了提高试卷讲评课的有效性，每题为您提供了基础、巩固、提升，三个层次的内容，由于题量过大，建议您删减、整理后再使用。高三2021 年高考理科数学乙卷【正确答案】A 【原卷 2 题】知识点 包含关系,交集 【正确答案】C【试题解析】2-1【巩固】已知集合1|,24kPx xkz，1|,22kQx xkz，则（）A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ 【正确答案】D 2-2【巩固】已知集合
3、1Ax x，11Bxx，则（）A.AB B.AB C.BA D.AB 【正确答案】C 2-3【基础】设集合210Ax x，则（）A.A B.A C.1A D.11A，【正确答案】C 2-4【基础】已知集合1,0,1P ，1,0Q ，则（）A.PQ B.QP C.PQ D.QP【正确答案】B 2-5【提升】集合|11Ax axa，|15Bxx，若 AB，则实数 a 取值范围（）A.06a B.2a 或4a C.0a 或6a D.24a【正确答案】C 2-6【提升】设集合2,Mx xxR，24,x xxNN，则（）A.MN=B.MN C.MN D.MN 【正确答案】C 2-7【巩固】设集合4,Mx
4、 xn nZ，2,Nx xn nZ，则（）A.MN B.NM C.MN D.NM【正确答案】A 【原卷 3 题】知识点 且,全称量词与全称命题,存在量词与特称命题,正弦函数的定义域、值域和最值 【正确答案】A【试题解析】3-1【基础】函数sin1yax 的最大值是 3，则它的最小值是（）A.0 B.1 C.1 D.与a 有关【正确答案】C 3-2【巩固】若命题 p：2000,10,Rxxx，命题 q：0 x，|0 x，则下列命题中是真命题的是（）A.pq B.pq C.pq D.pq 【正确答案】C 3-3【巩固】已知命题0:pxR，0sin1x；命题:q 当0,2t 时，函数 231g xx
5、tx 在0,4 上存在最小值.则下列命题中的真命题是（）A.pq B.pq C.pq D.pq【正确答案】A 3-4【提升】命题 p：若sinsin，则2k；命题q：函数 eexf xx有且仅有一个零点，则下列为真命题的是（）A.pq B.pq C.pq D.pq 【正确答案】A 3-5【巩固】下列四个命题中，正确的是 A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【正确答案】C 【原卷 4 题】知识点 函数的奇偶性 【正确答案】B【试题解析】4-1【基础】下列函数中，是奇函数的是（）A.2()f xx B.()f xx C.()4f x D.1()f xx【正确答案】D 4-2【基础】下列函
6、数中，是偶函数的是（）A.sinyx B.lnyx C.1yx D.ln|yx【正确答案】D 4-3【巩固】设函数 2211xf xx，则下列函数中为偶函数的是（）A.21fx B.21fx C.21fx D.11f x 【正确答案】B 4-4【巩固】设函数 f x 在(,)内有定义，下列函数必为奇函数的是（）A.()yf x B.2yxf x C.()yfx D.()()yf xfx【正确答案】B 4-5【巩固】若定义在 R 上的函数 f x 不是偶函数，则下列命题正确的是（）A.,0 xR f xfx B.,0 xR f xfx C.,xR f xfx D.,xR f xfx 【正确答案】
7、C 4-6【提升】已知非常数函数 f x 满足 1fx f x xR，则下列函数中，不是奇函数的为（）A.11fxfx B.11fxfx C.1f xf x D.1f xf x【正确答案】D 【原卷 5 题】知识点 异面直线所成的角 【正确答案】D【试题解析】5-1【提升】在底面为正方形的四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，45PDA，则异面直线 PB 与 AC 所成的角为（）A.90 B.60 C.45 D.30 【正确答案】B 5-2【巩固】已知正四棱锥 SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AESD，所成的角的余弦值为 A.13 B.23 C.33 D.2
8、3【正确答案】C 5-3【巩固】在长方体1111ABCDABC D中，11,3ABBCAA，则异面直线1AD 与 BD 所成角的余弦值为（）A.63 B.34 C.24 D.22【正确答案】C 5-4【提升】已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 A.16 B.36 C.13 D.33【正确答案】B 5-5【基础】正方体1111ABCDABC D中，,E F 分别是11,DD BD 中点，则直线1AD 与 EF 所成角的余弦值是（）A.12 B.63 C.32 D.62【正确答案】A 5-6【巩固】已知直三棱柱111ABCABC，若1,A
9、BBCBB,ABBC D是棱1CC 中点，则直线 AC 与直线1B D 所成角的余弦值为（）A.155 B.105 C.2 23 D.33【正确答案】B 5-7【基础】如图的正方体1111ABCDABC D中，异面直线1A B 与1BC 所成的角是（）A.30 B.45 C.60 D.90 【正确答案】C 【原卷 6 题】知识点 排列组合综合 【正确答案】C【试题解析】6-1【基础】医院分级管理办法将医院按其功能任务不同划分为三个等级：一级医院二级医院三级医院.某地有 9 个医院，其中 3 个一级医院，4 个二级医院，2 个三级医院，现在要从中抽出 4 个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有
10、 2 个一级医院的抽法有（）A.81 种 B.80 种 C.51 种 D.41 种【正确答案】C 6-2【巩固】甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，则不同的安排方法共有（）A.40 种 B.30 种 C.20 种 D.60 种【正确答案】D 6-3【基础】从 1，2，3，4 中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（）A.2 B.4 C.12 D.24【正确答案】C 6-4【巩固】为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分
11、配方案共有（）种 A.36 B.48 C.60 D.16【正确答案】A 6-5【巩固】为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从 4 名男党员干部和 3 名女党员干部中选取3 人参加西部扶贫，若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（）A.60 种 B.34 种 C.31 种 D.30 种【正确答案】D 6-6【提升】现有 5 种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.420 种 B.780 种 C.540 种 D.480 种【正确答案】B 【原卷 7 题】知识点 三角函数的图象
12、变换 【正确答案】B【试题解析】7-1【提升】将函数sin 2yx的图象经过以下变换后可得函数cos2xy 的图象，其中不正确的是（）A.向左平移 34 B.向右平移 4 C.向左平移 4，再作关于 x 轴对称 D.向左平移 4，再作关于 y 轴对称【正确答案】D 7-2【提升】将函数sincosyaxbx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 12，然后将所得图象向左平移 6 个单位，可得函数2cos 26yx的图象，则 ab（）A.2 B.0 C.31 D.13【正确答案】C 7-3【基础】为了得到函数sin 26yx的图象，可以将函数sin 2yx的图象（）A.向左平移 6 个单位
13、B.向右平移 6 个单位 C.向左平移12 个单位 D.向右平移12 个单位【正确答案】D 7-4【巩固】把函数 yf x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 6个的长度单位，得到函数sin 24yx的图象，则 f x（）A.7sin12x B.sin12x C.7sin 412x D.sin 412x【正确答案】C 7-5【巩固】将函数()sin6f xx 图像上各点的横坐标缩短到原来的 12（纵坐标不变），然后向左平移了 6 单位长度，所得函数为（）A.sin 26yx B.sin 26yx C.sin 2yx D.1sin 26yx【正确答案】A 7
14、-6【基础】要得到函数()sin 2f xx，xR 的图象，只需将函数()sing xx，xR 的图象（）A.纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 B.纵坐标缩短到原来的 12，横坐标不变 C.横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变 D.横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变【正确答案】C 7-7【巩固】将曲线sinyx上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移116 个单位长度，得到曲线 yf x，则 0ff （）A.34 B.34 C.14 D.14【正确答案】D 【原卷 8 题】知识点 几何概型计算公式 【正确答案】B【试题解析】8-1【巩固】已知实数 x，y
15、 满足221,xy，则 yx的概率为（）A.12 B.1 C.2 D.12【正确答案】A 8-2【基础】2021 年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选为了测算如图所示的直径为 4 的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100 个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（）A.32 B.3 C.6 D.12 【正确答案】B 8-3【巩固】七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正
16、方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（）A.2332 B.1116 C.58 D.916【正确答案】C 8-4【巩固】往正方形内随机放入 n 个点，恰有 m 个点落入正方形的内切圆内，则 的近似值为（）A.4mn B.4mn C.2mn D.2mn【正确答案】A 8-5【基础】在区间1,8 任取一个实数 x，则满足ln1x 的概率为（）A.34 B.14 C.8e7 D.e17【正确答案】C 8-6【提升】在可行域内任取一点,x y，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对,x y 的概率是 A.8 B.4 C.6 D.2 【正确答案】B 8-7【提升】小明家订了一份报纸，
17、送报人可能在早上6:30 至7:30 之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上7:00至8:00 之间，则小明父亲在离开家前能看得到报纸的概率为（）A.89 B.78 C.23 D.12 【正确答案】B 8-8【巩固】从区间0,4 上任取两个实数 m，n，则满足221mn条件的概率为（）A.12 B.14 C.132 D.164【正确答案】D 【原卷 9 题】知识点 正、余弦定理的实际应用,图形的形式 【正确答案】A【试题解析】9-1【基础】雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像雕像由像体 AD 和底座CD
18、两部分组成如图，在 Rt ABC 中，70.5ABC，在 Rt DBC中，45DBC，且2.3CD 米，求像体 AD 的高度（）（最后结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824）A.4.0 米 B.4.2 米 C.4.3 米 D.4.4 米【正确答案】B 9-2【提升】如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD的高为（
19、）A.30 m B.60 m C.30 3 m D.40 3 m【正确答案】B 9-3【提升】为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若 MA 平面 ABC，NB 平面ABC，60mAC，70 3mBC，3tan4MCA，14cos15NCB，150MCN，则塔尖 MN 之间的距离为（）A.75 10m B.75 7m C.150m D.75 2m【正确答案】B 9-4【巩固】如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75，从 C 点测得MCA60，已知山高 B
20、C100 m，则山高 MN（）A.150m B.180m C.120m D.160m【正确答案】A 9-5【巩固】江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元 653 年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作滕王阁序而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线 DF，将自制测量仪器分别放置于 D，E 两处进行测量.如图，测量仪器高2AD m，点 P 与滕王阁顶部平齐，并测得260CBPCAP ，64AB m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据 31.73
21、2）（）A.50m B.55.5mC.57.4m D.60m【正确答案】C 9-6【巩固】如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度 BC 等于（）A.24031 m B.18021 m C.12031 m D.3021 m【正确答案】C 9-7【基础】如图 1，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1 丈=10 尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.A.5.45 B.4.55 C.4.2 D.5.8 【正
22、确答案】B 【原卷 10 题】知识点 利用导数研究函数的极值 【正确答案】D【试题解析】10-1【巩固】已知函数 sin3 cos0fxxx在0,1 内恰有3 个极值点，则实数 的取值范围是（）A.17 13,63 B.10 13,33 C.10 23,36 D.17 23,66【正确答案】D 10-2【巩固】已函 2324413xafxxxexax，若 f x 在2x 处取得极小值，则 a 的取值范围是（）A.,0 B.20,e C.,1 D.2,e【正确答案】D 10-3【基础】设 a b,函数2()()yxax b的图象可能是A.B.C.D.【正确答案】C 10-4【基础】函数 sinx
23、f xaex在0 x 处有极值,则 a 的值为A.1 B.0 C.1 D.e 【正确答案】C 10-5【巩固】函数 321213 xafxxx 在(1,2)x内存在极值点，则()A.1122a B.1122a C.12a 或12a D.12a 或12a 【正确答案】A 10-6【提升】已知函数 32213210f xxaxaxaa，若 f x 有极值，且 f x 与 fx（fx为 f x 的导函数）的所有极值之和不小于263，则实数 a 的取值范围是（）A.0,3 B.1,3 C.1,3 D.3,【正确答案】B 【原卷 11 题】知识点 二次函数的性质与图象,椭圆的离心率 【正确答案】C【试题
24、解析】11-1【提升】已知1F，2F 分别是椭圆2222:100 xyCabab，的两个焦点，若在椭圆上存在点 P 满足12122 PFPFF F，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.50,5 B.2 50,5 C.5,15 D.2 5,15【正确答案】D 11-2【巩固】已知椭圆22122:10 xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C 上存在点 P，使得过点 P 所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A.1,12 B.23,22 C.2,12 D.3,12【正确答案】C 11-3【巩固】焦点在 x 轴上的椭圆的方程为222141xyaa(0a)，则
25、它的离心率 e 的取值范围为（）A.10 4，B.10 2，C.20,2 D.1 14 2，【正确答案】C 11-4【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆22221(0)xyabab上存在点 P，使得213PFPF，其中1F 2F 分别为椭圆的左右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（）A.1,14 B.1,14 C.1,12 D.1,12【正确答案】D 11-5【基础】若椭圆C：22221xyab（0ab）满足 2bac，则该椭圆的离心率e （）A.55 B.35 C.104 D.152【正确答案】B 11-6【巩固】已知 F 是椭圆2222:10 xyEabab的左焦点，椭圆 E 上一点
26、2,1P关于原点的对称点为Q，若PQF的周长为4 22 5则离心率 e （）A.32 B.22 C.33 D.23【正确答案】A 11-7【基础】已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，点 P 在椭圆上，且1230PFF，2160PF F，则椭圆的离心率 e 等于（）A.21 B.31 C.32 D.53【正确答案】B 【原卷 12 题】知识点 对数函数的单调性,导数在函数中的其他应用 【正确答案】B【试题解析】12-1【巩固】已知5a 且5e5e,4aab且44,3bbeec且3e3ecc，则（）A.cba B.bca C.acb D.abc【
27、正确答案】D 12-2【提升】已知 a 52 3ln36，b 22e，c 1 ln 2，则（）A.abc B.bca C.bac D.cba【正确答案】B 12-3【基础】已知对数函数 f x 的图象经过点21,9A与点81,Bt，0.1logat，0.2tb，0.1ct，则（）A.cab B.cba C.bac D.abc【正确答案】D 12-4【巩固】23(2ln3)1ln3,3abcee，则 a，b，c 的大小顺序为（）A.acb B.cab C.abc D.bac【正确答案】A 12-5【提升】已知2ln34a，72ln11 12b，4ln213 1c ，则 a，b，c 的大小关系是（
28、）A.abc B.acb C.cba D.bca【正确答案】C 12-6【基础】已知函数()yf x对任意的(0,)x满足 cos()sinfxxf xx（其中 fx为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A.363ff B.363ff C.363ff D.363ff【正确答案】D 12-7【巩固】已知 a，20,eb，且22e lnaa，33e lnbb，则（）A.1eba B.1eab C.2eeab D.21eeba【正确答案】A 【原卷 13 题】知识点 双曲线的焦点、焦距,双曲线的渐近线 【正确答案】4【试题解析】13-1【提升】已知双曲线22:0C xy 的一个焦点为
29、 F，O 为坐标原点，在双曲线C 的渐近线上取一点 P，使得PFPO，且 POF 的面积为 1，则 _【正确答案】2 13-2【提升】已知点 F 为双曲线2221(0)yExbb：的右焦点，MN，两点在双曲线上，且 MN，关于原点对称，若MFNF，设MNF，且,12 6，则该双曲线 E 的焦距的取值范围是_.【正确答案】2 2,2 32 13-3【基础】双曲线2226xy的焦距为_.【正确答案】6 13-4【巩固】已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab的两个焦点分别为12,F F，若以坐标原点 O 为圆心，b 为半径的圆与双曲线 C 交于点 P（点 P 在第一象限），且2OPPF，则双
30、曲线 C 的渐近线方程为_【正确答案】22yx 13-5【基础】已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线的倾斜角为 45，且过点3,1，则双曲线的焦距等于_.【正确答案】8 13-6【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线2213yx 有公共的渐近线，且经过点 P(2，3)，则双曲线 C 的焦距为_【正确答案】4 3 13-7【巩固】已知焦点在 y 轴上的双曲线221xyab的一条渐近线方程为2xy，点1,0P关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则a_【正确答案】115-【原卷 14 题】知识点 平面向量的数量积,向量垂直的坐标表示,平面向量的基本定理及坐标
31、表示,平面向量线性运算的坐标表示,数量积的坐标表示 【正确答案】【试题解析】14-1【巩固】已知向量3,2ak 与(2,2)b，若(2)bab，则实数 k 的值为_.【正确答案】12 14-2【提升】已知向量1,ax，1,1bx，2aba，则 ab _.【正确答案】5 14-3【巩固】已知向量,a b 的夹角为 120，2,1ab，若(3)(2)abab，则实数=_.【正确答案】1 14-4【巩固】已知向量(2,3),(1,3),(1,)cab，若(2)abc，则 _.【正确答案】49 14-5【基础】已知向量2,5a ，2,bm，若 ab，则 m _【正确答案】45 14-6【巩固】已知(1
32、,)ax，(,4)bx，若()(2)abab，则 x 的值是_【正确答案】7 或 2 【原卷 15 题】知识点 三角形面积公式,余弦定理 【正确答案】【试题解析】15-1【基础】在ABC 中，已知8BC，5AC，三角形面积为12，则sinC _【正确答案】3#0.65 15-2【基础】在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且60A，7a，5c，则 ABC 的面积等于_【正确答案】10 3 15-3【提升】如图，平面凹四边形 ABCD，其中5AB，8BC，60ABC，120ADC，则四边形 ABCD 面积的最小值为_ 【正确答案】71 312 15-4【巩固】已知ABC 的面积
33、为3，3,3ACABC，则ABC 的周长等于_【正确答案】153 15-5【巩固】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若3b，2ac，3B，则 ABC 的面积为_【正确答案】32 15-6【提升】锐角ABC 中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，若222,2bcabc b，则 ABC 的面积的取值范围是_【正确答案】3,2 32 15-7【巩固】在ABC 中，角,A B C 所对的边分别是,a b c，若三角形的面积2221()4Sabc，则C 的度数是_.【正确答案】4 15-8【巩固】已知ABC 的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且22()4,60
34、abcC，则 ABC 的面积为_.【正确答案】33 【原卷 16 题】知识点 三视图 【正确答案】（答案不唯一）【试题解析】16-1【提升】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_.【正确答案】32 16-2【巩固】如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为_.【正确答案】33 16-3【巩固】某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内在图中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为_（写出符合要求的一组答案即可）【正确答案】（或）16-4【巩固】已知一正四面
35、体的俯视图如图所示，它是边长为 2cm 的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为_2cm 【正确答案】2 2 16-5【基础】如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是上底面1111DCBA内一动点，则三棱锥 PABC的主视图与左视图的面积的比值为_ 【正确答案】1 16-6【巩固】如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为3 与 1，俯视图为边长为 1 的正方形，则该几何体最长边长为_.【正确答案】5 16-7【基础】（文）已知正三棱柱的底面边长为 1，高为 2，若其主视图平行于一个侧面，则左视图的面积为_【正确答案】3 【原卷 17 题】知识点
36、 平均数,极差、方差、标准差 【正确答案】【试题解析】17-1【基础】已知甲、乙两组数可分别用图（1）（2）表示，分别比较这两组数的平均数的相对大小，以及方差的相对大小.（1）（2）【正确答案】甲、乙两组数的平均数相等，甲组数的方差小于乙组数的方差 17-2【巩固】某工厂 36 名工人的年龄数据如下表 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6
37、 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s2；(3)36 名工人中年龄在 xs与 xs之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?【正确答案】（1）见解析；（2）210040,9xS；（3）63.89%17-3【巩固】以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩
38、.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 a 表示.（1）当2a 时，分别求出甲、乙两组同学数学成绩的平均数以及乙组的方差；（2）若甲组的数学平均成绩高于乙组的数学平均成绩，求 a 的值.【正确答案】（1）甲的平均数 2723，乙的平均数91，乙的方差 23；（2）0a.17-4【基础】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中环数如下：甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出两组数据的方差；根据数据计算结果，估计一下谁的射击水平较稳定【正确答案】解：（1
39、）7，7；（2）甲：3，乙：1.2，乙 17-5【巩固】机床生产一批参考尺寸为6.00.3mmmm的零件，从中随机抽取10 个，量得其尺寸如下表(单位：mm)：序号 12345678910尺寸 6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1（1）求样本零件尺寸的平均值 x 与标准差 s；（2）估计这批零件尺寸位于,xs xs的百分比.参考数据：取 3.21.79.【正确答案】（1）6x，0.179s；（2）40%.17-6【提升】随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019 年 6 月 25 日，生活
40、垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用某市环卫局在 A、B 两个小区分别随机抽取 6 户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7 天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号 123456A 小区（分钟）220180210220200230B 小区（分钟）200190240230220210（1）分别计算 A、B 小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照 1000 户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
41、A 小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每 200 位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照 3000 元（按照 28 天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？B 小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于 4 位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作 8 小时）月工资按照 4000 元（按照 28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？【正确答案】（1）210 分钟，215 分钟
42、；8003，8753；（2）15 元；64 元.【原卷 18 题】知识点 空间角的向量求法 【正确答案】【试题解析】18-1【基础】如图，四棱锥 PABCD的底面是矩形，PD 底面 ABCD，1PDDC，2BC，M 为 BC 的中点 （1）求证：PBAM；（2）求平面 PAM 与平面 PDC 所成的角的余弦值【正确答案】（1）证明见解析；（2）147 18-2【巩固】如图，长方体1111ABCDABC D的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱1AA 上，1BEEB（1）证明：1BEEC；（2）若14AEA E，求二面角1BECC的正弦值 【正确答案】（1）证明见解析；（2）155.18-3【
43、基础】如图所示，AE平面 ABCD，四边形 AEFB 为矩形，/BCAD，BAAD，224AEADABBC （1）求证：/CF平面 ADE；（2）求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值【正确答案】（1）见解析（2）23 18-4【巩固】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点 （1）证明：平面 AMD 平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值【正确答案】（1）详见解析；（2）2 55.18-5【巩固】如图，在四棱锥 PABCD，/AD BC，ABAP，PD 平面
44、 ABCD，22APBCABAD.（1）证明：PBAC；（2）求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）1010.18-6【提升】已知正方形的边长为 4，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 EF 为棱将正方形 ABCD 折成如图所示的 60的二面角，点 M 在线段 AB 上.（1）若 M 为 AB 的中点，且直线 MF 与由 A，D，E 三点所确定平面的交点为 O，试确定点 O 的位置，并证明直线 OD平面 EMC；（2）是否存在点 M，使得直线 DE 与平面 EMC 所成的角为 60；若存在，求此时二面角 MECF 的余弦值，若不存在，说明理由.【
45、正确答案】（1）点 O 在 EA 的延长线上，且 AO=2，证明见解析；（2）存在，1cos4 或 14.18-7【提升】如图，在三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC，90.BAC 点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M是线段 AD 的中点，4PAAC，2AB.（1）求证：/MN平面 BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值；（3）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为77，求线段 AH 的长.【正确答案】（1）证明见解析；（2）10521；（3）4 【原卷 19 题】知识点 数列的通项公式,等差数列及其通项公式,利用 an 与 sn 关系求通
46、项或项 【正确答案】【试题解析】19-1【基础】已知数列 na满足*143nnnaanNa，且14a，证明：数列12na是等差数列；【正确答案】证明见解析 19-2【基础】已知数列 na的前 n 项和为nS，且21nnSa.（1）求数列 na的通项公式na；（2）若127nS ，求 n.【正确答案】（1）12nna；（2）7n.19-3【提升】记数列na的前 n 项和为nS，已知1113,2332nnnnaS SSSn （1）求数列na的通项公式；（2）求使18na 成立的 n 的最大值.【正确答案】（1）3,1,6,2.(21)(23)nnannn.（2）4 19-4【提升】设数列 na的前
47、 n 项和为nS，已知11a，3213632nnnaSnnn，其中nN.（1）求2a 的值；（2）求 na的通项公式；（3）求证：对于一切正整数 n，都有1211153naaa.【正确答案】（1）24a；（2）2nan；（3）证明见解析 19-5【巩固】若na的前 n 项和为nS，点(,)nn S均在函数 y23122xx的图像上.（1）求数列na的通项公式；（2）13nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.【正确答案】（1）32nan（2）331nn 19-6【巩固】已知数列 na满足11a，*121nnaan N.求数列 na的通项公式；若数列 nb满足31231112144441
48、nnbnbbbna，求数列 nb的通项公式.【正确答案】（1）21nna （2）112nbn 19-7【巩固】已知数列 na满足11a，112nnnnaaa a（2n 且nN）（1）求证：数列1na是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2nnnba，求数列 nb的前 n 项和nS 【正确答案】（1）证明过程详见解析，121nan；（2）1(23)26nnSn 【原卷 20 题】知识点 利用导数研究函数的极值,利用导数证明不等式 【正确答案】(1)a=1；(2)证明见详解【试题解析】20-1【提升】已知函数 xxf xeeaxa有两个极值点12,x x （1）求 a 的取值
49、范围；（2）求证：1 2122x xxx【正确答案】（1）(2e，)；（2）证明见解析 20-2【巩固】已知函数()()lnf xxax（1）若()f x 存在极值，求 a 的取值范围（2）当2a 时，证明：9()20f x 【正确答案】（1）2e,；（2）证明见解析 20-3【巩固】已知 2131 ln22fxaxaxa.（1）若 f x 有极大值或极小值，求 a 的取值范围；（2）若0a，求证：1x 时 121f xax.【正确答案】（1）0,1；（2）证明见解析.20-4【基础】已知函数 3f xaxbx在1x 处有极值 2（1）求 a，b 的值；（2）求函数 f x 在区间12,2上的
50、最值【正确答案】（1）1a ，3b；（2）最小值是-2，最大值是 2 20-5【基础】已知函数 2lnf xaxbxx在1x 处的切线方程620 xy（1）求 a，b 的值；（2）求 f x 的单调区间与极小值【正确答案】（1）13ab ；（2）f x 在10,3单调递减，在 1,3单调递增，f x 的极小值为 2ln 33 20-6【巩固】已知2()sinsinxxf xx exexaxax.（1）当()f x 有两个零点时，求 a 的取值范围；（2）当1a，0 x 时，设()()sinf xg xxx，求证：()lng xxx.【正确答案】（1）1ae 或0a；（2）证明见解析.【原卷 2
51、1 题】知识点 导数的几何意义,圆的几何性质,直线与抛物线的位置关系,抛物线的弦长 【正确答案】【试题解析】21-1【巩固】过直线 y=1 上动点 M，作抛物线22(0)xpy p的切线 MAMB，AB 为切点，AMB=90.（1）求抛物线方程；（2）若 MAB 面积为 32，求直线 AB 的斜率.【正确答案】（1）24xy；（2）3.21-2【巩固】已知抛物线2:20C xpy p的焦点为 F，过 F 的直线l 与C 相交于 A，B 两点，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点.当/ABx 轴时，2AB.（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：2PFAFFB.【正确答案】（1）22xy；
52、（2）证明见解析.21-3【基础】己知过点(1,2)的抛物线方程为22(0)ypx p，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|5AB.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求 AB 所在的直线方程.【正确答案】(1)抛物线的方程为24yx，焦点(1,0)F，准线方程为1x ；(2)220 xy或220 xy.21-4【提升】已知：抛物线21:2Cyx，曲线222:104xCyx，过2C 上一点 P 作1C 的两条切线，切点分别为 A （1）若2,0P，求两条切线的方程；（2）求PAB面积的取值范围 【正确答案】（1）122yx；（2）1,8.21-5【巩固】已知抛物线
53、C：22xy，过点(11)Q,的动直线与抛物线C 交于不同的两点,A B，分别以,A B 为切点作抛物线的切线 1l、2l，直线 1l、2l 交于点 P.（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）求PAB面积的最小值，并求出此时直线 AB 的方程.【正确答案】（1）10 xy；（2）1，yx.21-6【基础】抛物线24yx截直线2yxk所得弦长为3 5 （1）求 k 的值；（2）以此弦为底边，以 x 轴上点 P 为顶点的三角形面积为9，求点 P 坐标【正确答案】（1）4k ；（2）1,0或5,0.【原卷 22 题】知识点 直线与圆的位置关系,极坐标与直角坐标的互化,圆的参数方程 【正确答案】【试题解
54、析】22-1【提升】在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1 cossinxy（为参数），以坐标原点 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 为曲线1C 上的动点，点 B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB，点 B 轨迹为2C.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为 2,2，求 ABC 面积的最小值.【正确答案】（1）2cos，cos4；（2）2.22-2【提升】在平面直角坐标系 xoy 中，曲线1C 的方程为4coscos3sinsinxy(R，为参数).（1）求曲线1C 的普通方程并说明曲线1C 的形状.（2）以O 为极点，x 轴的非负
55、半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin04，求曲线1C 的对称中心到曲线2C 的距离的最大值.【正确答案】（1）曲线1C 的普通方程为224cos3sin1xy，曲线1C 是以4cos,3sin 为圆心，1 为半径的圆；（2）5 22.22-3【基础】已知曲线1C 的参数方程为1cos:1 sinxly （为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1（1）把1C 的参数方程式化为普通方程，2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标,(0,02)【正确答案】(1)1C 的普通方程为22111xy,2C 的直
56、角坐标方程为221xy;(2)1C 与2C 交点的直角坐标为(1,0),(0,1)极坐标分别为1,0,1,2.22-4【巩固】在极坐标系中，直线l：cos26，圆C：2sin以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy （1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点 P 在圆C 上，点 P 到直线l 和 x 轴的距离分别为12,d d，求12dd的最大值【正确答案】（1）直线l 的直角坐标方程为34yx，圆C 的参数方程为cos1 sinxy（为参数）；（2）72 22-5【基础】在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
57、直线 l 的极坐标方程为3cossin203，半圆 C 的极坐标方程为1(0,)（1）求直线 l 的直角坐标方程及 C 的参数方程；（2）若直线l 平行于 l，且与 C 相切于点 D，求点 D 的直角坐标【正确答案】（1）3203xy；cossinxtyt（t 为参数，0 t）；（2）13,22.22-6【巩固】在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos4sinxy（为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为2cossin1，曲线 E 与 x，y 轴的交点分别为 A，B.（1）求曲线C 的普通方程及曲线 E 的直角坐标方程；（2）M 为曲线C
58、上一点，求MAB的面积的最大值.【正确答案】（1）2216xy，210 xy；（2）154.22-7【巩固】已知直线 l 的参数方程为24xmtyt（m 为常数，t 为参数），曲线 C 的参数方程为5 cos5sinxy（为参数）（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求实数 m 的取值范围【正确答案】（1）直线l 的普通方程为 220 xym；曲线C 的普通方程为225xy；（2）5 52 2，.【原卷 23 题】知识点 绝对值三角不等式,含绝对值不等式的解法 【正确答案】【试题解析】23-1【巩固】已知 212f xxx.（1）解关于 x 的不等式
59、 23f xx；（2）若 222f xxaa对任意Rx恒成立，求实数 a 的取值范围.【正确答案】（1）1,6；（2）1,3.23-2【巩固】已知函数()|2|23|f xxax.（1）当2a 时，求不等式 0f x 的解集；（2）若()2f x，求 a 的取值范围.【正确答案】（1）5,4；（2）(1,5).23-3【巩固】已知函数 21f xxx.（1）解不等式 f xx ；（2）若关于 x 的不等式 22f xaa的解集为 R，求实数 a 的取值范围.【正确答案】（1）313xxx 或；（2）,13,.23-4【基础】（1）解不等式：2314xx；（2）求函数 2122f xxxxx 的
60、值域.【正确答案】（1）02xx；（2）0,.23-5【提升】已知函数 222f xxaxb（0a，0b）.（1）当4a，1b 时，解不等式 10f x；（2）若 f x 的最小值为6，求 112ab的最小值.【正确答案】（1）7 3,2 2；（2）最小值为1.23-6【巩固】已知函数()|2|f xxxa.（1）当 a=3 时，求 f(x)6 的解集；（2）若 f(x)2a 恒成立，求实数 a 的取值范围.【正确答案】（1）57,22；（2）,2 答案解析 共性错题精讲 1-1【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:根据复数相等的条件，求得,a b 的值，即可求解.详解:因为(1i)(23i
61、)iab，即 32 iiab，所以3,2ab，所以1ab.故选：B.1-2【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:根据共轭复数的定义判断 详解:复数 23i 的共轭复数是 23i 故选：B 1-3【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:根据复数的减法运算可解得结果.详解:82i35i11 7iz .故选：C.1-4【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:本题首先根据共轭复数的性质得出1 iz ，然后通过复数的运算法则得出22iz zz，最后通过复数的模的求法即可得出结果.详解:因为1 iz ，所以1 iz ，则221 i1 i2 1 i1 i22i2iz zz ，2222z zz，故选：D.1
62、-5【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:设i,zaba bR，则izab，根据复数的乘法运算及复数相等的条件即可得出答案.详解:设i,zaba bR，则izab，则2i2ii22izababab，因为2i4zz，即22i=4iababab，所以 242abaabb ，解得31ab ，所以3iz ，3 iz .故选：B.1-6【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:由已知的复数 z 可求出其共轭复数 z，根据复数运算法则进行运算即可.详解:因为2zi ，所以2zi ，所以(2)(2)4zzii ，故选:A 2-1【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:化简得到集合21|,4kPx xkz，2
63、+2|,4kQx xkz，结合 21k 为奇数，22k 为偶数，即可求解.详解:由121,244kkxkz和2+2,4kxkz，可得集合21|,4kPx xkz，2+2|,4kQx xkz，因为 21k 为奇数，22k 为偶数，所以 PQ .故选：D.2-2【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:根据子集定义，即可判断.详解:由子集定义，可知 BA.故选：C 2-3【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:由题得 1,1A ,A.集合和集合之间不能用“”连接，所以选项 A 错误；B.A，所以选项 B 错误；C.1A，所以选项 C 正确；D.集合和集合之间不能用“”连接，所以11A，错误.详解:由
64、题得 1,1A ,A.A错误，集合和集合之间不能用“”连接，所以选项 A 错误；B.A，所以选项 B 错误；C.1A，所以选项 C 正确；D.集合和集合之间不能用“”连接，所以11A，错误，应该为11A，.故选：C 2-4【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:根据集合包含关系的定义可得出结论.详解:因为1,0,1P ，1,0Q ，故QP.故选：B.2-5【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:根据 AB，可得15a 或1 1a ，从而可得答案.详解:解：因为 AB，所以15a 或1 1a ，所以0a 或6a.故选：C.2-6【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:分别求解两个集合中的不等式，
65、结合选项分析即可.详解:由题意，2,22Mx xxRxx，24,0,1,2x xxNN，于是 MN.故选：C 2-7【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:根据集合 M 和 N 中的元素的特征，结合集合间的关系，即可得解.详解:对集合 M，其集合中的元素为4 的整数倍，对集合 N，其集合中的元素为2 的整数倍，4 的整数倍必为2 的整数倍，反之则不成立，即 M 中的元素必为 N 中的元素，而 N 中的元素不一定为 M中的元素，故 M 为 N 的真子集，故选：A 3-1【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:设sin 1,1xt ，转化为1yat 在 1,1上的最大值是 3,分a 的符号进行分类
66、讨论，先求出 a 的值，再求其最小值.详解:设sin 1,1xt ，当0a 时，不满足条件.当0a 时,1yat 当1t 时，y 有最大值 3，即13a ，则2a，则当1t 时，y 有最小值-1，当0a 时,1yat 当1t 时，y 有最大值 3，即13a ，则2a ，则当1t 时，y 有最小值-1，综上sin1yax 的最小值是-1.故选：C.点睛:本题考查正弦函数的最值，还可以由函数sin1yax 的最大值是 3，得到|2a，函数的最小值为1-|a，从而得到函数的最小值，属于基础题.3-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.详解:
67、A：命题为存在量词命题，当12x 时，2104xx，故为真命题；B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；C：命题为存在量词命题，xR，2220 xx，故为假命题；D：命题为存在量词命题，当1x 时，310 x ，故为真命题.故选：C 3-3【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:先判断命题 p 和 q 的真假，再由或且非命题的真值表判断选项得解.详解:因为30 ，所以x R，210 xx，故命题 p 是假命题；命题 q：0 x ，|0 x，q 是真命题，所以 pq 是真命题.故选：C 3-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:判断出命题 p 的真假，利用二次函数的基本性质可判断命题q的真
68、假，再利用复合命题的真假可得出结论.详解:因为当22xkkZ时,sin1x，所以命题 p 为真命题；2223931124g xxtxxtt ，因为0,2t，所以30,32 t，则30,42t，所以当32xt时，g x 取得最小值，故命题q 为真命题.所以 pq为真命题，pq，pq，pq均为假命题.故选：A.3-5【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:根据正弦函数可知命题 p 为假；令exy，可知eyx是其切线方程，从而知命题q 为真，即可判断结果 详解:若sinsin，2k或,2kkZ，故命题 p 为假；令exy，则exy 当1x 时，ey，所以exy 在1,e 处的切线方程为eyx 所以e
69、e0 xx只有一个实根，故函数 eexf xx有且仅有一个零点，命题q 为真；所以pq 为真命题，pq，pq，pq 均为假命题 故选：A 3-6【巩固】【正确答案】C【试题解析】详解:试 题 分 析：因 为，当，故 B、D 均错误.若，则，故 A 错误，C 正确，故选 C.考点：1、全称量词与存在量词；2、三角函数的有界性及二倍角的正弦公式.4-1【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:利用函数的奇偶性定义判断.详解:A.定义域为R，关于原点对称，又22()()fxxxf x，所以函数是偶函数，故错误；B.定义域为0,)，不关于原点对称，所以函数即不是奇函数也不是偶函数，故错误；C.定义域为
70、R，关于原点对称，又()()4fxf x，所以函数是偶函数，故错误；D.定义域为|0 x x，关于原点对称，又11()()fxf xxx ，所以函数是奇函数，故正确，故选：D 4-2【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:根据函数奇偶性的定义判断即可.详解:sinyx的定义域为 R,sin()sinxx 故函数为奇函数；lnyx的定义域为(0,)，故函数为非奇非偶函数；1yx的定义域为(,0)(0,)，且 11 xx，故函数为奇函数；ln|yx的定义域(,0)(0,)，且ln|ln|xx，故函数为偶函数.故选：D 4-3【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:化简各选项中的函数解析式，利用函数
71、奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.详解:由题意可得 2211xf xx，对于 A，22221214421442121xxxfxxxx，设 121fxfx，对任意的 xR，21210 x，函数 1fx 的定义域为 R，101f，1415f，1111ff，函数 1fx 不是偶函数；对于 B，22221 482111414xxfxxx ，设 221fxfx，对任意的 xR，21 40 x，函数 2fx 的定义域为 R，222222881 41 4xxfxfxxx，函数 2fx 为偶函数；对于 C，22221214421442121xxxfxxxx，设 321fxfx，对任意的 xR，21210 x
72、，函数 3fx 的定义域为 R，3415f，310f，3311ff，函数 3fx 不是偶函数；对于 D，2222221122421111222211xxxxxf xxxxxx ，设 411fxf x，对任意的 xR，2110 x，410f，4815f，则 4411ff，函数 4fx不是偶函数.故选：B.4-4【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:根据奇偶性的定义依次判断即可.详解:对 A，()yf x 中，()fx与()f x不一定相等，故不一定为奇函数，故 A 错误；对 B，2yxf x中，22xfxf x，所以函数为奇函数，故 B 正确；对 C，()yfx 中，()f x与()fx不一定
73、相等，故不一定为奇函数，故 C 错误；对 D，()()yf xfx为偶函数，故 D 错误.故选：B.4-5【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:由偶函数的定义判断 详解:A 错，()()0f xfx，函数为奇函数，如32()f xxx，(1)(1)0ff；B 错，若1,0()2,0 xf xx，它不是偶函数，不存在 xR，使得()()0f xfx；C 正确，如果不存在 xR，使得()()f xfx，说明对任意 xR，()()f xfx，函数为偶函数，不可能，因此 C 正确；D 错，如32()f xxx，它不是偶函数，但存在0 x 使得(0)(0)ff 故选：C 4-6【提升】【正确答案】D【
74、试题解析】分析:根据奇函数的定义判断 详解:因为 1fx f x xR，所以()1()()1f xg xf x，则11()11()()()()1()11()1()fxf xf xgxg xfxf xf x，()g x是奇函数，同理 1()1fxh xfx也是奇函数，1()()()()()p xf xf xfxf x，则()()()()pxfxf xp x，是奇函数，1()()()()()q xf xf xfxf x，()()()()qxfxf xq x为偶函数，故选：D 5-1【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:由已知 PA=AD，可把四棱锥 PABCD扩充为正方体，再正方体上作出异面直线
75、 PB 与 AC 所成的角，并求角的大小.详解:因 为 四 棱 锥 PABCD中，PA 底 面 A B C D，45PDA，所以 PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥 PABCD可扩充为正方体，如图示：连结 PE、BE，则 PEAC，所以EPB（或其补角）为异面直线 PB 与 AC 所成的角.而EPB 为正三角形，所以EPB=60.故选：B.点睛:思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；(3
76、)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角 5-2【巩固】【正确答案】C【试题解析】详解:试题分析：设 ACBD、的交点为O，连接 EO，则AEO为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为 a，则312,222AEa EOa OAa，所以222cos2AEOAEOAEOAE OA 222312()()()32223312()()22aaaaa，故 C 为正确答案 考点：异面直线所成的角 5-3【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:根据长方体的性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即
77、可.详解:在长方体1111ABCDABC D中，11/BDB D，所以异面直线1AD 与 BD 所成角为11AD B（或其补角），因为11,3ABBCAA，所以由勾股定理可知：2211113 12ADAAA D，221111111 12B DB AA D，22111 32ABABBB，由余弦定理可知：2221111111114242cos242 22ADD BABAD BAD D B，故选：C 5-4【提升】【正确答案】B【试题解析】详解:试题分析：如图，取 AD 中点 F，连接,EF CF，因为 E 是 AB中点，则/EFBD，CEF或其补角就是异面直线,CE BD所成的角，设正四面体棱长为
78、 1，则32CE CF，12EF，11322cos632CEF故选 B 考点：异面直线所成的角 名师点睛:求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段 5-5【基础】【正确答案】A【试题解析】分析:正方体 AC1中，连接 BD，B1D1，AB1，证明 EF/B1D1，判断11AB D的形状即可作答.详解:正方体1111ABCDABC D中，连接 BD，B1D1，AB1，如图：因,E F 分别是11,
79、DD BD 中点，则/EFBD，而正方体 AC1的对角面 BDD1B1是矩形，于是有11/B DBDEF，则直线1AD 与 EF 所成角是11AD B或其补角，又11112ADABB DAB，即11AB D 是正三角形，1160AD B，111coscos602AD B 直线1AD 与 EF 所成角的余弦值是 12.故选：A 5-6【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:取1AA 的中点 E，连 ED、1B E，取 ED 的中点 F，连1B F，根 据/EDAC 可 得 直 线 AC 与 直 线1B D 所 成 的 角 为1B DE（或其补角），设1ABBCBBa，在直角三角形1B DF 中通
80、过计算可得结果.详解:如图：取1AA 的中点 E，连 ED、1B E，取 ED 的中点 F，连1B F，则/EDAC，所以直线 AC 与直线1B D 所成的角为1B DE（或其补角），设1ABBCBBa，则2EDACa，22111542EBDBaaa 又因为 F 为 ED 的中点，所以1B FED，因为22FDa，152DBa，所以1122cos52aFDB DFDBa105.所以直线 AC 与直线1B D 所成角的余弦值为105.故选：B 点睛:思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移
81、异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角 5-7【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:连接1A D，BD，根据11/ADBC，则1DAB是异面直线1A B与1BC 所成的角求解.详解:如图所示：连接1A D，BD，在正方体中，11/ADBC 所以1DA B是异面直线1A B 与1BC 所成的角或其补角，因为三角形1A BD 为等边三角形，所以160DA B 故1A B 与1BC 所成角为60
82、 故选：C 6-1【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:分恰有 2 个一级医院与恰有 3 个一级医院两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得；详解:解：恰有 2 个一级医院，有2236C C45种抽法；恰有 3 个一级医院，有3136C C6种抽法.所以抽出的医院中至少有 2 个一级医院的抽法有 45651（种）.故选:C.6-2【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:根据题意，分析可得，先取后排的原则，有计算可得答案 详解:根据题意，周一至周五 5 天中选 3 天，安排甲、乙、丙 3 位志愿者共有335360CA种安排方法，故选：D 点睛:本题考查排列、组合的综合问题，在解决此类问题，一
83、般采用先组合后排列的方法，属于基础题.6-3【基础】【正确答案】C【试题解析】6-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.详解:根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有244 362C种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有 23436 3 2 1=36CA 种方式.故选：A 点睛:本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.6-5【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:根据题意，分“选出的 3 人为 2 男 1 女”和“选出的 3 人为 1男 2 女”2 种情况
84、讨论，求出每种情况的选法数目，相加即可得答案 详解:解：根据题意，要求选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部，分 2 种情况讨论：选出的 3 人为 2 男 1 女，有214318C C 种安排方法，选出的 3 人为 1 男 2 女，有124312C C 种安排方法，则有18 1230种选法，故选：D 6-6【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:讨论使用 5 种，4 种，或 3 种颜色来完成涂色任务，逐一计算并求和即可.详解:依题意可知，完成涂色任务可以使用 5 种，4 种，或 3 种颜色，将区域标号如图.若用 5 种颜色完成涂色，则55120A 种方法；若用 4 种颜色完成涂色，颜色有
85、45C 种选法，需要 2，4 同色，或者 3，5 同色，或者 1，3 同色，或者 1，4 同色，故有44544480CA 种；若用 3 种颜色完成涂色，颜色有35C 种选法，需要 2，4 同色且 3，5 同色，或者 1，4 同色且 3，5 同色，或者 1，3 同色且 2，4 同色，故有33533180CA 种.所以不同的着色方法共有120480 180780种.故选：B.7-1【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:利用三角函数平移的知识逐一判断即可.详解:函 数s i n 2yx的 图 象 向 左 平 移 34 得 到 的 是 函 数33sin 2sin 2sin 2cos242yxxxx
86、的图象，故 A 正确；函数sin 2yx的图象向右平移 4 得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos242yxxxx 的图象，故 B 正确；函数sin 2yx的图象向左平移 4 得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos242yxxxx的图象，然后再关于 x 轴对称后得到的是cos2xy 的图象，故 C 正确；函数sin 2yx的图象向左平移 4 得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos242yxxxx的图象，然后再关于 y 轴对称后得到的是cos2yx的图象，故 D 不正确；故选：D 点睛:本题考查的是三角函数图象的变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.7-2【
87、提升】【正确答案】C【试题解析】分析:逆用三角恒等变换，由2cos 26yx的图象变换得到sincosyaxbx，即可得到,a b.详解:先 将2 c o s26yx向 右 移6个 单 位 得2cos 22cos 2666yxx，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得312cos2cossinsin3 cos622yxxxxx，故1a，313bab.故选：C 7-3【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:根据函数sin()yAx的图象变换规律，可得结论 详解:解：sin(2)sin2()612yxx，故将函数sin 2yx的图象向右平移12 个单位，可得sin(2)6yx的图象，故选：D 7
88、-4【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:从函数sin 24yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法即可得到 yf x的解析式.详解:由已知的函数sin 24yx逆向变换，第一步：向右平移 6个单位长度，得到7sin 2sin 26412yxx的图象，第二步：图象上所有点的横坐标缩短到到原来的 12，纵坐标不变，得到7sin 412yx的图象，即为 yf x的图象，所以 7sin 412fxx，故选：C.7-5【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式即可；详解:解：将函数()sin6f xx 图像上各点的横坐标缩短到原来的 12（纵 坐 标 不
89、 变）得 到sin 26yx，再 将s i n26yx向 左 平 移 了 6单 位 长 度 得 到s i n2s i n2666yxx 故变换之后的函数解析式为sin 26yx 故选：A 7-6【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.详解:将()sing xx在横坐标方向上缩短到原来的 12，即可得(2)sin 2gxx，()2gf xx.故选：C 7-7【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:由图象变换可得 111sin 212f xx，代入自变量求值即可.详解:由题意，得：111sin 212f xx，则 111111111111110s
90、in0sinsincossin2122121212264ff 故选：D 8-1【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:作出221xy，yx的图象，由图象结合几何概型求解.详解:作出221xy，yx的图象，如图，由图象可知 yx的概率12p，故选：A 8-2【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:求出点落在牛形图案上的频率，从而可得点落在牛形图案上的概率，再由概率等于面积比可求得答案 详解:设牛形图案的面积为S，则由题意可得 2752100S，解得3S，故选：B 8-3【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:由七巧板的构造，设小正方形的边长为 1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之
91、和，从而得出落入黑色部分的概率，再由对立事件得出落入白色部分的概率 详解:设小正方形的边长为 1，可得黑色平行四边形的底为2，高为22；黑色等腰直角三角形的直角边为 2，斜边为 22，大正方形的边长为 22，所以落入黑色部分2122 232282 22 2P，所以落入白色部分的概率为518P 故选：C 8-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:令正方形边长为 2，利用几何概型中的面积型列式即可得解.详解:令正方形边长为 2，其内切圆半径为 1，则正方形面积224S，圆面积为21S，由几何概型的面积型得：4mSnS，解得4mn，所以 的近似值为 4mn.故选：A 8-5【基础】【正确答案】C
92、【试题解析】分析:解对数不等式求出满足条件的变量范围，再结合几何概型的长度比即可求得结果.详解:解：由题意，在区间1,8 上任取一个实数 x，满足ln1x，所以ex，所以所求概率8e8e8 17P 故选 C 8-6【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:作 出 条 件11,11,xyxy 所 表 示 的 正 方 形 区 域，和 圆2212xy，再利用几何概型计算概率，即可得答案.详解:如图所示：分别作出条件11,11,xyxy 所表示的正方形区域、圆2212xy，由程序框图的程序得：当输出数对,x y 的概率是2124(2).故选：B.点睛:本题考查程序框图与几何概型，考查数形结合思想和运算求
93、解能力，属于基础题.8-7【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:设送报人到达时间为 x，小明父亲离开家的时间为 y，,x y可以看成是平面中的点，列出关于,x y 的不等式组，利用线性规划求出,x y 构成的面积，以及小明父亲在离开家前能得到报纸的,x y 构成的面积，利用几何概型概率公式求解即可.详解:设送报人到达时间为 x，小明父亲离开家的时间为 y，,x y可以看成是平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为|6.57.5,78xyxy，这是一个矩形区域，面积1S 设小明父亲在离开家前能看得到报纸为事件 A.则事件 A 所构成的区域为|6.57.5,78,xyxyyx，111712228
94、AS 由几何概型概率公式可得，78ASPS 小明父亲在离开家前能得到报纸的概率是 78.故选：B.8-8【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:由题意转化为几何概型概率的求解，分别求出全部区域与满足要求的区域的面积，利用几何概型概率公式即可得解.详解:设点,m n，由题意 0404mn，表示的区域为边长为 4 的正方形（包含边界），如图所示：该正方体的面积116S,221mn表示以0,0 为圆心，半径为 1 的圆的外部（包含边界），如图阴影部分所示，阴影部分的面积21164S，故所求概率21116164164SPS=-=-.故选：D.点睛:本题考查了几何概型概率公式的应用，考查了运算求解能力与
95、转化化归思想，解题的关键是把所求概率转化为面积的比，属于基础题.9-1【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:在 Rt BCD 和 Rt ABC 中，利用正切值可求得 AC，进而求得 AD.详解:在 Rt BCD 中，2.3tanCDBCDBC（米），在 Rt ABC 中，tan2.3 2.8246.5ACBCABC（米），6.52.34.2ADACCD（米）.故选：B.点睛:本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.9-2【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:在ABM 中，求得 AM；过 A 作 ANCD，求得ACM；在AMC 中，由正弦定理，求得 MC；再在CMD 中，即
96、可求得结果.详解:在 RtABM 中，AM sinABAMB 30 10 3sin1530 10 362420 6（m）过点 A 作 ANCD 于点 N，如图所示 易知MANAMB15，所以MAC301545 又AMC1801560105，所以ACM30 在AMC 中，由正弦定理得 sin 45MC 20 6sin30，解得 MC40 3（m）在 RtCMD 中，CD40 3 sin6060（m），故通信塔 CD 的高为 60 m 故选：B.点睛:本题考查利用正余弦定理求高度，属综合基础题.9-3【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:先在 Rt MAC 中求得 CM，Rt BCN 中求得 C
97、N，再在MNC 中利用余弦定理求 MN 即可.详解:依题意，在 Rt MAC 中，60mAC，3tan4MCA，则4cos5MCA，4c7565os0MCACCMA；在 Rt BCN 中，70 3mBC，14cos15NCB，则70 375 314cos15BCCNNCB;又 MNC 中，150MCN，则222cosMNCMCNCM CNMCN227575 32 75 75 3cos15075 7 .故塔尖 MN 之间的距离为75 7m.故选：B.9-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:根据 C 点的仰角CAB45，山高 BC100 m，可求出 AC，正弦定理求出 AM，在三角形 MAN
98、 中即可解出山高.详解:由题意CAB45，BC100 m，三角形 ABC 为直角三角形，可得100 2AC，在MCA中，MAC75，MCA60，则AMC45 由正弦定理有：sinsinAMAMCACMCA 即sin45sin60AMAC 故100 3AM 在直角三角形 MAN 中，60MAN 可得100 3 sin60150MN 故选：A 点睛:解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的
99、有关单位问题、近似计算的要求等.9-5【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:先判断出 BPAB=，解直角三角形求得 PC，由此求得滕王阁的高.详解:在 Rt APC 中，30CAP，则3A CP C，在R tB P C中，60PBC，则BPAB=，sin6064 0.86655.4PCBP，故 滕 王 阁 的 高 度PF 为57.4m.故选：C 9-6【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:根据题目所给俯角，求出ABC 内角，利用正弦定理求解即可.详解:从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为75，30，气球的高度是60m，所以105,30,45ABCACBCAB 所以2
100、60120AC，由正弦定理可得，60sin 75AB，sin 30sin 45ABBC，所以sin 45602120(3 1)sin30sin(3045)ABBC.故选：C 9-7【基础】【正确答案】B【试题解析】详解:如图，已知10ACAB，3BC，2229ABACBC ()()9ABACABAC，解得0.9ABAC，100.9ABACABAC，解得5.454.55ABAC.折断后的竹干高为 4.55 尺 故选 B.10-1【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:利用辅助角公式将函数化为 2sin3fxx，再根据函数 sin3 cos0fxxx在0,1 内恰有3 个极值点，可得 57232，
101、从而可得出答案.详解:解：sin3 cos2sin3fxxxx，因为0,1x，所以,333x，又因为函数 sin3 cos0fxxx在0,1内恰有3 个极值点，所以 57232，解得172366，所以实数 的取值范围是 17 23,66.故选：D.10-2【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:根据 f x 在2x 处取得极小值，对 a 分情况讨论，通过探究 fx的零点得 f x 的单调性，从而得到结果 详解:因 为 2324413xafxxxexa x，所 以 22xfxxxea，当0a 时，0 xea，所以 f x 在0,2 上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当01a时，在0,x 上
102、0 xea，所以 f x 在0,2 上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当21ae时，f x 在ln,2a上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当2ae时，f x 在0,上单调递增，不满足题意；当2ae时，f x 在0,2 上单调递增，在2,ln a 上单调递减，不满足题意故 a 的取值范围为2,e，故选：D 点睛:关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值解题关键是掌握极值的定义0()0f x且在00(,)xxx（0）时，()0fx，在00(,)xx x时(0），()0fx，0 x 才是()f x 的极小值点仅仅有0()f x不能得出0 x 是极小值点，甚至不能得出是极值点 10-3【基
103、础】【正确答案】C【试题解析】详解:/()(32)yxaxa b，由/0y 得2,3abxa x，当 xa时，y 取极大值 0，当23abx时 y 取极小值且极小值为负故选 C 10-4【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:根据导数与极值的关系可知 00f，解方程求得结果.详解:由题意得：cosxfxaex f x 在0 x 处有极值 0cos010faa，解得：1a 经检验满足题意，本题正确选项：C 点睛:本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.10-5【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:求函数 321213 xafxxx 在(1,2)x内存在极值点的的a的取值范围转化为求函数 32
104、1213 xafxxx 在(1,2)x无极值点时的 a 的取值范围，然后求其补集，即可求解.详解:由题意，所求a的取值范围为函数 321213 xafxxx 在(1,2)x无极值点时的 a 的取值范围在 R 上的补集，若函数 321213 xafxxx 在(1,2)x无极值点，则2()220f xxax 或2()220f xxax 在(1,2)x恒成立，当2()220f xxax 在(1,2)x恒成立时，即22axx 在(1,2)x时恒成立，不妨令2()g xxx ，易知在(1,2)上单调递减，故 2(1)1ag，即12a；当2()220f xxax 在(1,2)x恒成立时，即22axx 在(
105、1,2)x时恒成立，故 2(2)1ag ，即12a 综上所述，函数 321213 xafxxx 在(1,2)x无极值点时，a 的取值范围11(,)22 ，其在 R 上的补集为1 1(,)2 2，故函数 321213 xafxxx 在(1,2)x时有极值点时，a 的取值范围为1 1(,)2 2.故选:A 10-6【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:由 0fx有2 个不等实根，可得0，可得 a 的取值范围，设函数 f x 的极值点为1x，2x，由根与系数的关系可得 120f xf x，则 f x与 fx的所有极值之和 2121263f xf xfaaa ，由单调性可得 a 的范围，即可求解.详
106、解:由题意得 221362fxxaxaa0a，因为 f x 有极值，所以 2213620fxxaxaa有2 个不等实根，即2221164 32120aaaaa ，即310aa，因为0a，解得1a 令 2213620h xfxxaxaaa，由 660h xxa得 xa ，设 f x 的极值点为1x，2x，则1x，2x 为方程 2213620fxxaxaa的根，则122xxa，2122133ax xa，因为3223221211122211321321f xf xxaxaxxaxaxaa 3221212121212121336220 xxxxx xa xxax xaxxa，所以 2121263f x
107、f xfaaa ，令 211g aaaa，易得 g a 在1,上单调递减，且 2633g，所以13a?故选：B.点睛:关键点点睛：本题解题的关键点是判断出 0fx有 2 个不等实根1x，2x，计算 12f xf x的值，对 fx求导可得 fx的极值，利用函数的单调性解不等式.11-1【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.详解:由 OP为12PF F的 边12FF的 中 线，可 得1212POPFPF，由在椭圆上存在点 P 满足12122 PFPFF F，可得42POc.当椭圆的焦点在横轴上时，POb，可得 24cb，即22
108、22222244454cbcbcacca，则2 55cea，所以 2 515e.当椭圆的焦点在纵轴上时，POa，可得 24ca，即2222222244454cacacbccb，则2 55ceb，所以 2 515e.故选：D 点睛:关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到1212POPFPF是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.11-2【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:若长轴端点 P，由椭圆性质：过 P 的两条切线互相垂直可得45AP O ，结合sinba 求椭圆离心率的范围.详解:在椭圆1C 的长轴端点 P 处向圆2C 引两条切线 P A，P B，若椭圆1C 上存在点 P，使过
109、P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B，即45AP O ，2sinsin 452ba ，得222ac，212e，又01e，212e，即2,12e 故选：C 11-3【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:先根据焦点在在 x 轴上，得 2323a，再结合22211114beaaa ，求其范围，即得结果.详解:椭圆222141xyaa(0a)焦点在 x 轴上，故241aa，即2410aa，解得 2323a，又222222221cabbeaaa，01e，故221111144aeaaa ，其中对勾函数1()aaa在 23,1 上递减，1,23 上递增，故min()(1)2a，max()23234a
110、，故210 2e，则202e，.故选：C.点睛:求椭圆离心率（或取值范围）常见方法：（1）直接法：由 a，b，c 的值或者关系，直接计算离心率cea；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于 a，b，c 的方程和不等式，利用222bac和cea转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.11-4【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:由题意及椭圆的定义可得2PF 的值，再由 P 在椭圆上满足2PF 的范围，求出 a,c 的关系，进而求出离心率的范围即可 详解:解：因为213PFPF，而122PFPFa，所以可得22aPF，因为 P 在椭圆上，所以2
111、PFac，所以 2aac，可得12cea，又因为0,1e，所以1,12e 故选：D 11-5【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:由题意构建齐次式即可得到结果.详解:由题意知 2bac，又222abc，2224 acac 25230ee，即35e 或1e （舍），故选:B 11-6【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:得 出 点Q的 坐 标，可 得 PQ，再 由 已 知 可 得4 2PFQF，设椭圆的右焦点为 M，则由椭圆的性质可得 PFQM，得24 2QMQFa，求得 a，然后代入点 P 的坐标求出 b 的值，最后即可求得椭圆的离心率 详解:解：P 与 Q 关于原点对称，则 Q(-2，-
112、1)，222 122 5PQ，又三角形 PQF 的周长为4 22 5QPPFQF，设圆的右焦点为 M，则由椭圆的性质可得 PFQM，24 2QMQFa，得2 2a，将点 P 代入椭园方程可得：24118b，解得2b，226cab，则离心率6322 2cea，故选 A 点睛:关键点点睛：根据椭圆性质得得出 PFQM和2QMQFa是解出本题的关键本题考查了椭圆的方程以及性质，涉及到椭圆的定义，考查了学生的运算能力，属于中档题 11-7【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:在12PF F中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率 详解:由题设知12F PF是直角三角形，1230PFF，
113、2160PF F，122F Fc，2PFc，13PFc 又由椭圆的定义，得122PFPFa，32cca，故23131cea 故选：B 12-1【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:令,0 xef xxx，利用导数研究其单调性后可得,a b c 的大小.详解:因为5e5e,5aaa，故0a，同理0,0bc，令,0 xef xxx，则 21xexfxx，当01x时，0fx，当1x 时，0fx，故 f x 在0,1 为减函数，在1,为增函数，因为5e5e,5aaa，故5ee5aa，即 5ff a，而05a，故01a，同理01b，01c，4ff b，3ff c 因为 543fff，故 f af bf
114、 c，所以01abc.故选：D 点睛:思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键 12-2【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:构造新函数，结合导数可得12 31ln 126，进而可得52 3ln31 ln 206，即可得 ca，通过放缩可证明310bc，即可得解.详解:令 2345ln 1,02345xxxxf xxxx，则 523411011xfxxxxxxx，所以 f x 单调递减，00f xf，所以2345ln 12345xxxxxx，所以23451111113912 312222ln 12223459606
115、，所以52 32 313ln31 ln 2ln0662，即ca；因为2.718e，所以22310eb，又77102.72e，所以7102e，7ln 210，所以bc；所以bca.故选：B.点睛:关键点点睛：解决本题的关键是构造新函数对代数式进行合理放缩.12-3【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:求出对数函数 f x 的解析式，可求出t 的值，再利用中间值法可得出 a、b、c 三个数的大小关系.详解:设 logmf xx（其 中0m 且1m），则11log299mf ，解得3m，则 3logf xx，所以，3log 814t，所以，0.10.10.1loglog4log 10at，400.
116、20.20.21tb 且0b，即01b，0.10441c，因此，cba.故选：D.12-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:构造函数ln()xf xx，应用导数研究其单调性，进而比较2()3eaf，()bf e，(3)cf的大小，若ln xtx有两个 解12,x x，则121xex，1(0,)te，构 造2(1)()l n(1)1xgxxxx，利用导数确定()0g x，进而得到212121lnln2xxxxxx，即可判断 a、c 的大小，即可知正确选项.详解:令ln()xf xx，则222ln 3()33eeafe，ln()ebf ee，ln3(3)3cf，而21 ln()xfxx且0
117、x，即0 xe时()f x 单调增，xe时()f x 单调减，又2133ee，bc，ba.若ln xtx有两个解12,x x，则121xex，1(0,)te，即2121lnlnxxtxx，1212ln x xxxt，令2(1)()ln(1)1xg xxxx，则22(1)()0(1)xg xx x，即()g x 在(1,)上递增，()(1)0g xg，即在(1,)上，2(1)ln1xxx，若21xxx即212121lnln2xxxxxx，故122lnttx x，有212x xe 当23x 时，213eex，故21()()(3)3eff xf，综上：bca.故选：A 点睛:关键点点睛：利用函数与方
118、程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a，b，c 的大小.12-5【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:观察 a,b,c 的结构，进而变形为2ln33 4 3 1a ，772ln43 122b ，2ln44 4 3 1c ，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.详解:由题意，2ln34 3 3 1a ，772ln43 122b ，2ln44 3 3 1c ，构造函数 2ln4313fxxxx，则 224324343xxfxxxxx2134322043434343xxxxxxxxxxxx，所以函数 f x 在3,)上单调递减，所以 7342fff，即
119、abc.故选：C.点睛:比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察 a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决.12-6【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:令()()cosg xf xx，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可 详解:解：令()()cosg xf xx，(0,)x 故()()cos()sin0g xfxxf xx，故()g x 在(0,)递增，所以()()36gg，可得13()()2336ff，即363ff，所以 D 正确；故选：D 12-7【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:由题设22lneaa，33lnebb，构
120、造()xxf xe利用导数研究单 调 性 可 得(1)(2)(3)(0)ffff，再 构 造ln()xg xx有2(e)(e)()()(1)ggg ag bg，利用导数研究其单调性即可判断参数的大小关系.详解:由题设，22lneaa，33lnebb，令()xxf xe，则1()xxfxe且ln(2)afa，ln(3)bfb，当01x时，()0fx即()f x 递增；当1x 时，()0fx即()f x 递减；(1)(2)(3)(0)ffff，即2ln2lnln0eeeabab，对于ln()xg xx有21ln()xg xx且2(e)(e)()()(1)ggg ag bg，1ex时，()0g x，
121、()g x 递增；2eex时，()0g x，()g x 递减；1eba.故选：A 13-1【提升】【正确答案】2【试题解析】分析:由题可得出双曲线的渐近线，求出点 P 坐标，即可根据 POF的面积求出 c，进而求出.详解:不妨设 F 为双曲线的右焦点，c 为双曲线的半焦距，由题意知 P 的横坐标为2c，双曲线的渐近线方程为 yx ，设点 P 在渐近线 yx上，则 P 的纵坐标为2c，所以 POF 的面积为214c ，得24c，由题意知22c，所以 24，解得2 故答案为：2.13-2【提升】【正确答案】2 2,2 32【试题解析】分析:设双曲线的左焦点为 F ，连接,MF NF，由于 MFNF
122、.所以四边形 F NFM为矩形，故|2MNFFc，由双曲线定义|2N FN FN FF Ma可得12cos4c，再求2 cos4y的值域即可.详解:如图，设双曲线的左焦点为 F ，连接,MF NF，由于 MFNF.所以四边形 F NFM为矩形，故|2MNFFc.在 RtFMN中|2 cos,|2 sinFNcFMc，由双曲线的定义可得 22|2 cos2 sin2 2 cos4aNFNFNFFMccc 12 cos4c 126，53412 3122 cos242 23 1 2 222 32cc，.故答案为：2 2,2 32 点睛:本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的
123、运算能力，是一道中档题.13-3【基础】【正确答案】6【试题解析】分析:将双曲线的方程化为标准方程，求得 a，b，c，可得焦距 2c 的值 详解:双曲线 2x2y26 即为22xy36 1，可得 a3，b6，c22ab 3，即焦距为 2c6故答案为 6 点睛:本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题 13-4【巩固】【正确答案】22yx 【试题解析】分析:根据双曲线的定义求得1PF，结合余弦定理求得3ca，由此求得2ba，从而求得双曲线的渐近线方程.详解:由已知得双曲线 C 的焦点在 y 轴上，如图所示，以坐标
124、原点 O 为圆心，b 为半径的圆与双曲线 C 交于第一象限的点 P，可知|OPb，又2|OFc，所以2|PFa，由双曲线的定义可得13PFa，在2RtOF P中，2cosaOF Pc?，在12F F P 中，由余弦定理可得222122(2)(3)coscos22acaaF F POF Pacc，化简得3ca，所以2ba，所以双曲线 C 的渐近线方程为22yx.故答案为：22yx 点睛:要求双曲线的渐近线，可通过求 ba的值来求解.求解双曲线问题的过程中，要注意结合双曲线的定义来思考.13-5【基础】【正确答案】8 【试题解析】分析:根据题意得出1ba，然后将点3,1 的坐标代入双曲线的标准方程
125、，可求出 a、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.详解:双曲线的渐近线方程为byxa，由题意可得1ba，ba，所以，双曲线的标准方程为22221xyaa，将点3,1 的坐标代入双曲线的标准方程得22911aa，得2 2ab，因此，双曲线的焦距为2222 48ab.故答案为：4.点睛:本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出 a、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.13-6【巩固】【正确答案】4 3 【试题解析】详解:2213yx 的渐近线方程为3yx 设双曲线C 的方程为22221xyab，代入23，224313abba，解得2239ab 则212c，2
126、3c，则双曲线C 的焦距为24 3c 13-7【巩固】【正确答案】115-【试题解析】分析:根据焦点在 y 轴上的双曲线方程的特征，结合双曲线渐近线方程特征、点关于点对称的性质进行求解即可.详解:由题意知0a，0b，则双曲线的渐近线方程为byxa，则12ba，得4ab由于双曲线及其渐近线均关于坐标轴对称，因此只需研究点1,0P关于渐近线2xy 的对称点即可，设对称点的坐标为00,xy，则0000011,2220 11,1 2yxyx 解得003,54,5xy则 191 16142525bb，解得1120b ，从而115a 故答案为：115-点睛:关键点睛：根据焦点在 y 轴上的双曲线方程的特征
127、，结合点对点对称的性质进行求解是解题的关键.14-1【巩固】【正确答案】12【试题解析】分析:首先算出 2ab的坐标，然后由2bab建立方程求解即可.详解:因为3,2ak，(2,2)b，所以222,1abk 因为2bab，所以 4420k，解得12k ，故答案为：12.14-2【提升】【正确答案】5 【试题解析】分析:根据向量垂直得到数量积为零，即可求出参数的值，再根据向量模的公式计算可得；详解:1,ax，1,1bx，且2aba，2220abaab a 2212 10 xxx 1x，所以1,1a r，1,0b，2,1ab 所以5ab.故答案为：5 点睛:本题考查向量的数量积及向量模的坐标表示，
128、属于基础题.14-3【巩固】【正确答案】1 【试题解析】分析:由(3)(2)abab，可得(3)(2)0abab，化简后结已知条件可求得答案 详解:解：因 为 向 量,a b 的 夹 角 为 120，2,1ab，且(3)(2)abab，所以(3)(2)0abab，即222(6)30aa bb，所以18(6)2 1302 ，解得1 ，故答案为：1 14-4【巩固】【正确答案】49【试题解析】分析:根据给定条件求出2ab的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.详解:因(2,3),(1,3)ab，则2(4,9)ab，又(1,)c，且(2)abc，于是得(2)0abc，即 490，解得49，所以49
129、.故答案为：49 14-5【基础】【正确答案】45【试题解析】分析:根据向量垂直的坐标表示运算即可.详解:ab，2,5a ，2,bm 4 50a bm ，解得45m，故答案为：45 14-6【巩固】【正确答案】7 或 2【试题解析】分析:转化()(2)abab为()(2)0abab，即得解 详解:已知(1,)ax，(,4)bx，若()(2)abab，则()(1abx，4)x，(2)(2abx，24)x，()(2)(1ababx，4)(2xx，24)(1)(2)(4)(24)xxxxx 25140 xx，7x ，或2x，故答案为：7 或 2 点睛:本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解
130、，数学运算能力，属于基础题 15-1【基础】【正确答案】3#0.65【试题解析】分析:在 ABC 中，由三角形的面积公式即可求解.详解:在 ABC 中，已知8BC，5AC，三角形面积为 12，所以11sin5 8 sin1222ABCSAC BCCC ，整理得：3sin5C，故答案为：35 15-2【基础】【正确答案】10 3 【试题解析】分析:首先通过余弦定理求出b 的值，再通过三角形面积公式即可得结果.详解:ABC 中，60A，7a，5c，则由余弦定理可得221725252bb，解得8b 或3b （舍去），则 ABC 的面积si12n10 3SbcA，故答案为：10 3.15-3【提升】【
131、正确答案】71 312【试题解析】分析:求出ABCS，在三角形 ABC 中，用余弦定理求出2AC，在三角 形 ADC 中，利 用 余 弦 定 理 和 不 等 式 知 识 求 出4 93A D D C，可得三角形 ADC 的面积的最大值，从而可得四边形 ABCD 面积的最小值.详解:113sin5 810 3222ABCSAB BCABC ，在三角形 ABC 中，由余弦定理得22212cos25642 5 8492ACABBCAB BCABC ，在三角形 ADC 中，由余弦定理得2222cosACADDCAD DCADC，所以2214922ADDCAD DC，所以22492AD DCADDCAD
132、 DC，所以493AD DC，当且仅当 ADDC时，等号成立，所以ADCS1349 3sin1202412AD DCAD DC，即三角形 ADC 的面积的最大值为 49 312.四边形 ABCD 面积的最小值为49 371 310 31212.故答案为：71 312 15-4【巩固】【正确答案】153【试题解析】分析:先由已知ABC 的面积为 3 求得关于 AB，BC 的式子，再利用余弦定理可得 AB，BC 的式子，从而可求得 ABBC，进而可求得三角形的周长 详解:因为ABC 的面积为 3，3,3ACABC，所以 113sin3222BC ABABCBC AB，得4BC AB，由余弦定理得2
133、222cosACABBCAB BCABC，即223ABBCAB BC，所以227ABBC，所以2227815ABBCAB BC,所以215ABBC，得15ABBC，所以153ABBCAC，即三角形周长为 153，故答案为：153 15-5【巩固】【正确答案】32【试题解析】分析:由余弦定理以及三角形面积公式即可求解.详解:由余弦定理得2222cos 3bacac，即222342ccc，解得1,2ca.则 ABC 的面积1133sin2 123222Sac .故答案为：32.15-6【提升】【正确答案】3,2 32【试题解析】分析:根据余弦定理，求得角 A，进而可得面积 S 表达式，当 BCAB
134、时，可得minc，当 BCAC时，可得maxc，结合条件，即可得答案.详解:由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc，因为(0,)A，所以3A，所以31sin22SbcAc，当 BCAB时，mincos1cbA，当 BCAC时，max4cosbcA，因为锐角 ABC，所以4()1,c，所以3,2 32S.故答案为：3,2 32 15-7【巩固】【正确答案】4 【试题解析】分析:首先由三角形面积公式结合余弦定理，化简求得 tan1C，再求角.详解:由2221()4Sabc得 11sin2cos24abCabCtan1C，4C.故答案为：4 15-8【巩固】【正确答案】33【试题解析】
135、分析:先由余弦定理得222cabab，然后结合22()4abc可求出 ab 的值，再利用三角形的面积公式可得结果 详解:解：因为60C，所以由余弦定理得222222coscababCabab，因为22()4abc，所以222)()(4ababab，化简得34ab，所以43ab，所以 ABC 的面积为 11433sin22323abC，故答案为：33 16-1【提升】【正确答案】32 【试题解析】分析:根据三视图作出原几何体的直观图，将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出外接球的半径，结合球体的表面积公式可得结果.详解:根据三视图作出原几何体的直观图如下图所示：由三视图可知，该几何
136、体为三棱锥1AABC，且1AA 底面ABC，由三视图中的数据可得2332 3AB，23 12BC，且4AC，所以，222ABBCAC，则 ABBC，将三棱锥1AABC补成长方体1111ABCDABC D，所以，三棱锥1AABC的外接球直径为2212444 2R ，可得2 2R，因此，该几何体的外接球的表面积为2432SR.故答案为：32.16-2【巩固】【正确答案】33【试题解析】分析:由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为 3，高为 4，母线长为 5 的圆锥，上半部分是半径为 3 的半球，由此能求出该几何体的表面积.详解:由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为 3，高
137、为 4，母线长为 5 的圆锥，上半部分是半径为 3 的半球，该几何体的表面积215343332S ，故答案为33.点睛:本题考查了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的面积公式进行求解，考查了空间想象能力注意“高平齐，长对正，宽相等”原则.16-3【巩固】【正确答案】（或）【试题解析】分析:先选俯视图，再由俯视图选主视图即可 详解:若俯视图为图，则主视图为图，若俯视图为图，则主视图为图，故答案为：（或）16-4【巩固】【正确答案】2 2 【试题解析】分析:根据俯视图还原几何体，再推测出主视图的形状，进而求解出主视图的面积.详解
138、:根据题意，正四面体的棱长可取为 2 2cm，且该正四面体的主视图是一个底边长为2 2cma，腰长为6cm 的等腰三角形 所以主视图的高为22622hcm 从而可得主视图的面积为 2112 222 222Sahcm 故答案为：2 2.16-5【基础】【正确答案】1【试题解析】分析:分析 P 点在不同位置时主视图和左视图的形状，由此可分析面积并计算出面积的比值.详解:无论点 P 在上底面的什么位置，三棱锥 PABC的主视图和左视图均为三角形，且三角形有一边相等，且该边上的高相等，故所求比值为1 故答案为：1.16-6【巩固】【正确答案】5 【试题解析】分析:由已知的三视图，可得该几何体是一个三棱
139、锥，底面为腰长为1 的等腰直角三角形，即可直接求出最长边长.详解:由三视图还原几何体如图所示：该几何体还原实物图为三棱锥，BDC为腰长为 1 的等腰三角形，AB 平面 BDC，ADDC则3AB，2AD.最长边为5AC 故答案为5.点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法：首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；画出整体，然后再根据三视图进行调整.16-7【基础】【正确答案】3 【试题解析】分析:已知正三棱柱的底面边长为 1、高为 2，若其主视图平行于一个侧面，则其左视图必为此侧面相对的侧棱与其在这个侧面上的投影及上下两个底面三角形的高所
140、组成的矩形，故求出底面三角形的高即可求出左视图的面积 详解:解：由题意得，正三棱柱、正视图、左视图，如下图所示：为此侧面相对的侧棱与其在侧面上的投影及上下两个底面三角形的高所组成的矩形的面积，由于底面是边长为 1 正三角形，故其高为32，又正三棱柱的高为 2，故此矩形的面积为 3，即其左视图的面积为 3.故答案为：3.点睛:本题考查简单空间图形的三视图，解题的关键是由棱柱的结构特征与三视图的作法推测出左视图的形状与度量来，再根据面积公式求出其面积，本题对空间想像能力要求较高，可以借助实物图形进行辅助判断 17-1【基础】【正确答案】甲、乙两组数的平均数相等，甲组数的方差小于乙组数的方差【试题解
141、析】分析:分别计算出两组数据的平均数和方差即可得出结论.详解:甲、乙两组数的平均数分别为 x 甲10 220 630 640 2252662 ，x 乙10 320 530 540 3253553 .甲、乙两组数的方差分别为 2s甲22221210256202563025240257516 2s乙222213102552025530253402510016 所以甲、乙两组数的平均数相等，甲组数的方差小于乙组数的方差.点睛:此题考查根据已知数据求平均数和方差，并进行比较大小，关键在于熟练掌握公式，准确计算.17-2【巩固】【正确答案】（1）见解析；（2）210040,9xS；（3）63.89%【试
142、题解析】详解:试题分析：（1）根据系统抽样的方法，求出样本的年龄数据即可；（2）根据平均数和方差的公式求出其平均数和方差即可；（3）求出 x s 和 x+s，从而求出其所占的百分比(1)36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以它在组中的编号为 2，所以所有样本数据的编号为 4n2(n1，2，9)，其年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由均值公式知：4440.3740.9x 由方差公式知：s2 19(4440)2(4040)2(3740)21009.(3)因为 s21009，s103，所以 36 名工人中年龄在 x s 和x s
143、之间的人数等于年龄在区间37，43上的人数，即 40，40，41，39，共 23 人，所以 36 名工人中年龄在 x s 和 xs 之间的人数所占的百分比为 2336100%63.89%.17-3【巩固】【正确答案】（1）甲的平均数 2723，乙的平均数91，乙的方差 23；（2）0a.【试题解析】分析:(1)由茎叶图可得甲、乙两组三个数据，再利用平均数、方差公式即可作答；(2)由给定条件列出平均数的不等式，再由 a 是不超过 9 的自然数得解.详解:（1）甲组的平均成绩是188929227233x，乙组的平均成绩是2909192913x，乙组的方差是22222909191 919291233
144、s；（2）因乙组的平均成绩是290919027133aax，而12xx，由(1)知 272271133aa，a 是不超过 9 的自然数，0a，所以 a 的值是 0.17-4【基础】【正确答案】解：（1）7，7；（2）甲：3，乙：1.2，乙【试题解析】详解:分析：（1）先算出总环数再除以射击次数即得平均值；（2）根据方差公式计算即可.详解：（1）X甲=1/10（8+6+7）=7（环）X乙=1/10（6+7+5）=7（环）（2）S2甲=1/10（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2=3（环 2），S2乙=1/10（6-7）2+（7-7）2+（5-7）2=1.2（环 2），（3）从平均数看甲乙两名
145、战士的成绩相同从看方差乙的方差较小，乙的射击成绩较稳定综上乙射击成绩较好 点睛：考查平均值、方差及方差的意义，方差越小越稳定.属于基础题.17-5【巩固】【正确答案】（1）6x，0.179s；（2）40%.【试题解析】分析:（1）由平均数和标准差计算公式可直接计算求得结果；（2）由（1）可求得区间为5.821,6.179，利用样本估计总体的思想可直接计算得到结果.详解:（1）由表格数据得：6.33 5.82 5.92 6.26.1 6.0106x ，222220.33 0.15 0.21 0100.032s ，3.20.0320.17910s；（2）由（1）可知：5.821xs，6.179xs
146、.这10 件样本中，尺寸在5.821,6.179 内的共有4 件，以样本估计总体，则这批零件尺寸位于5.821,6.179 的百分比约为100%41040%.17-6【提升】【正确答案】（1）210 分钟，215 分钟；8003，8753；（2）15 元；64 元.【试题解析】分析:(1)根据各小区的数据直接求平均数和方差即可；(2)分别算出两个小区进行垃圾分类所用的时间，再算出每户所承担的费用.详解:（1）1 220 1802102202002302106Ax（分钟），1 200 1902402302202102156Bx（分钟），222221220210180210210210220210
147、6As228002002102302103，2222212002151902152402152302156Bs228752202152102153；（2）按照 A 方案，A 小区一月至少需要5 名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是5 300015000元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为15000151000（元），由（1）知，B 小区平均每位住户每周需要 215 分钟进行垃圾分类，一月需要 215 4860（分钟），B 小区一月平均需要860 1000860000分钟的时间用于生活垃圾分类，一位专职工人一天的工作时间按照 8 小时作为计算标准，每月按照 28 天作为计算标准，
148、一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于 4 名普通居民对生活垃圾分类的效果，B 小区一月需要专职工作人员至少860000168 60 28 4（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为16 4000641000（元），18-1【基础】【正确答案】（1）证明见解析；（2）147【试题解析】分析:（1）以点 D 为原点，依次以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 0PB AM，利用数量积即可证明.（2）求出两平面 PAM 与平面 PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦 详解:解：（1）依题意，棱 DA，DC，DP 两两互相垂直.以点 D 为原点，依
149、次以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则(2,1,0)B，(0,0,1)P，(2,0,0)A，2,1,02M.可得(2,1,1)PB，2,1,02AM.所以221 002PB AM ，所以 PBAM （2）由（1）得到(2,0,0)A，2,1,02M，因此可得2,1,02AM，(2,0,1)AP .设平面 PAM 的一个法向量为1(,)nx y z，则由 110,0,nAMnAP得20,220,xyxz 令2 2z，解得1(2,2,2 2)n.同理，可求平面 PDC 的一个法向量2(1,0,0)n.所以，平面 PAM 与平面 PDC 所成的锐二面角 满足
150、：1212214cos714 1n nn n.即平面 PAM 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为147.18-2【巩固】【正确答案】（1）证明见解析；（2）155.【试题解析】分析:（1）根 据 长 方 体 的 性 质，应 用 勾 股 定 理 可 得22211ECEBBC，即可证1BEEC；（2）构建以 D 为原点，1,DA DC DD 为 x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，求面 BCE、面1ECC 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值即可.详解:（1）由1BEEB知：22211EBEBBB，又2221111BBBCBC，22221111EBEBBCB
151、C，又2221111EBBCEC，连接1BC，22211ECEBBC，即1BEEC，得证.（2）构建以 D 为原点，1,DA DC DD 为 x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，由222221111ABAEABAEBB，若22214421 45AEAEAB，则2AB，1(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(0,2,5)BCEC，则(0,2,4),(2,0,0)EBCB，11(2,2,1),(0,0,5)ECCC，若(,)mx y z是面 BCE 的一个法向量，则 24020yzx，若1z ，得(0,2,1)m，若(,)na b c是面1ECC 的一个法向量，则22050abcc，
152、若1a，得(1,1,0)n，210|cos,|5|52m nm nm n，则二面角1BECC的正弦值为155.18-3【基础】【正确答案】（1）见解析（2）23【试题解析】分析:（1）根据/BFAE，/BCAD，从而证明平面/BCF平面 ADE，从而/CF平面 ADE。（2）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。详解:（1）四边形 ABEF 为矩形/BFAE 又 BF 平面 ADE，AE 平面 ADE/BF平面 ADE 又/BCAD，同理可得：/BC平面 ADE 又 BFBCB，BF，BC 平面 BCF 平面/BCF平面 ADE 又 CF 平面
153、 BCF/CF平面 ADE（2）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则(2,2,0)C，(0,4,0)D，2,0,4F (0,4,0)AD,(2,2,0)CD ,(0,2,4)CF 设(,z)x yn是平面 CDF 的一个法向量，则 00n CDn CF 即020 xyyz 令2y，解得21xz(2,2,1)n 又 AD 是平面 AEFB 的一个法向量，2cos,3|n ADn ADnAD 平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值为 23.点睛:此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。18-4【巩固】【正确答案】（1）
154、详见解析；（2）2 55.【试题解析】分析:（1）先证 AD 平面 DCM，可得 ADMC，易得 DMMC，再证 MC 平面 ADM，最后由面面垂直的判定定理可证平面AMD 平面 BMC；（2）分析可得当 M 为圆弧的中点时，三棱锥的体积最大，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求解即可.详解:（1）易知，在半圆中，DMMC，由题正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在的平面垂直，交线为 CD，因为 AD CD，所以 AD 平面 DCM，又 MC 平面 DCM，则ADMC，DM，AD 平面 ADM，MC 平面 ADM，又MC 平面 ADM，平面 AMD 平面 BMC；（2）ABC
155、 的面积为定值，要使三棱锥 MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M 为圆弧的中点，以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，2,1,0A，2,1,0B，0,0,1M，1,0,0E，0,2,0AB，2,1,1AM ，则平面 MCD 的法向量1,0,0OE uuur，设平面 MAB 的法向量,nx y z，由00n ABn AM 得：2020yxyz，令1x，则0y，2z，所以1,0,2n，则15cos,511 4OE nOE nOE n，则平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值为252 5155.18-5【巩固】【正确答案】（1）证明见解析；（2）1010.【试题解析】分
156、析:（1）由 PD 平面 ABCD，得 PDAB，再根据 ABAP，可 得 AB 平 面 PAD，从 而 可 得 出 ABAD，再 根 据/AD BC，可得 ABBC，连接 BD，证得 ACBD，再根据 PDAC，即可证得 AC 平面 PBD，再根据线面垂直的性质即可得出结论；（2）由（1）知 PD 平面 ABCD，ABAD，以 D 为原点，以 DA 所在直线为 x 轴，过点 D 与 AB 平行的直线为 y 轴，DP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量法即可得出答案.详解:（1）证明：因为 PD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 PDAB
157、.又因为 ABAP，PDAPA，所以 AB 平面 PAD.因为 AD 平面 PAD，所以 ABAD.又因为/AD BC，所以 ABBC.连接 BD.因为22APBCABAD，所以2tan2ABDADAB，2tan2ABACBBC，得ABDACB，又2ACBCAB，所以2ABDCAB，即 ACBD.因为 PD 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以PDAC，又 PDBDD，所以 AC 平面 PBD，因为 PB 平面 PBD，所以PBAC.（2）解：由（1）知 PD 平面 ABCD，ABAD，以 D 为原点，以 DA 所在直线为 x 轴，过点 D 与 AB 平行的直线为 y轴，DP 所在直线为
158、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为22APBCABAD，设1AD，则0,0,0D，1,0,0A，1,2,0B，1,2,0C，0,0,3P，0,2,0AB，1,2,3BP ，2,0,0BC .设平面 PAB 的一个法向量为111,nx y z，则0,0,n ABn BP 得111120,230,yxyz 所以10y.令11z，得13x，所以3,0,1n.设平面 PBC 的一个法向量为222,mxyz，则0,0,m BCm BP得222220,230,xxyz 所以20 x，23y，得22z，所以0,3,2m.则2222210cos,103132n mn mnm 即平面 PAB 与平面
159、PBC 夹角的余弦值为1010.18-6【提升】【正确答案】（1）点 O 在 EA 的延长线上，且 AO=2，证明见解析；（2）存在，1cos4 或 14.【试题解析】分析:（1）判断出点 O 在平面 ABFE 与平面 ADE 的交线上，连接 DF交 EC 于 N，由 MN 为DOF 的中位线，得到 MNOD，即可判断直线 OD平面 EMC.（2）存在.先证明平面 ABFE平面 ADE，取 AE 的中点 H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解.详解:（1）证明:因为直线MF 平面 ABFE，故点 O 在平面 ABFE 内也在平面 ADE 内，所以点 O 在平面 ABFE 与
160、平面 ADE 的交线上(如图所示).因为 AOBF，M 为 AB 的中点，所以OAMFBM，所以 OM=MF，AO=BF，所以点 O 在 EA 的延长线上，且 AO=2.连接 DF 交 EC 于 N，因为四边形 CDEF 为矩形，所以 N 是 EC 的中点.连接 MN，所以 MN 为DOF 的中位线，所以 MNOD，又因为 MN 平面 EMC，所以直线 OD平面 EMC.（2）存在.由已知可得，EFAE，EFDE，所以 EF平面 ADE，所以平面 ABFE平面 ADE.取 AE 的中点 H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以1,0,0,0,0,3,0,4,3,1(4 0),EDCF
161、，所以1,0,3,1,4,3EDEC 设1,0Mt(0t4)，则2,0EMt，设平面 EMC 的法向量,mx y z，则00m EMm EC所以20430 xtyxyz，取 y=-2，则8,3txt z，所以8,2,3tmt.因为 DE 与平面 EMC 所成的角为 60，所以228328243tt 所以2430tt，解得 t=1 或 t=3，所以存在点 M，使得直线 DE 与平面 EMC 所成的角为 60.取 ED 的中点 Q，则QA为平面 CEF 的法向量.因为点 Q 的坐标为13,0,22 所以33,0,22QA，8,2,3tmt，设二面角M-BC-F 的大小为.所以222242cos41
162、98343QA mttQAmtttt.因为当 t=2 时，cos0 ，此时平面 EMC平面 CDEF，所以当 t=1 时，为钝角，所以1cos4 .当 t=3 时，为锐角，所以1cos4.点睛:立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算 18-7【提升】【正确答案】（1）证明见解析；（2）10521；（3）4【试题解析】分析:（1）根据三角形中位线定理，结合面面平行的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用
163、空间向量夹角公式进行求解即可.详解:（1）证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF，M 为 AD 中点，/MFBD，BD Q平面 BDE，MF 平面 BDE，/MF平面 BDE.NQ为 BC 中点，/NFAC，又 D、E 分别为 AP、PC 的中点，/DEAC，则/NFDE.DE 平面 BDE，NF 平面 BDE，/NF平面 BDE.又 MFNFF，MF 平面 MFN，NF 平面 MFN，平面/MFN平面 BDE，又 MN 平面 MFN，则/MN平面 BDE；（2）PA 底面 ABC，90BAC.以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.4PAA
164、C，2AB，(0,A0，0)，(2,B0，0)，(0,C4，0)，(0,M0，1)，(1,N2，0)，(0,E2，2)，则1,2,1MN，0,2,1ME，设平面 MEN 的一个法向量为,mx y z，由00m MNm ME，得20,20 xyzyz 取2z，得4,1,2m.由图可得平面 CME 的一个法向量为1,0,0n r.44 21cos,2121 1mm nm nn.由图可知二面角CEMN的平面角为锐角，二面角CEMN的余弦值为 4 2121，则正弦值为10521；（3）设 AHt，则(0,H0，)t，1,2,NHt，2,2,2BE .直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为77，co
165、s,NH BENH BENH BE 2227752 3tt.解得：4t.当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为77，此时线段 AH 的长为 4.19-1【基础】【正确答案】证明见解析【试题解析】分析:利用已知及等差数列的定义化简即可证得结果.详解:证明：11111422223nnnnnaaaaa31122nnnaaa，11122a，12na是以 12 为首项，1 为公差的等差数列.19-2【基础】【正确答案】（1）12nna；（2）7n.【试题解析】分析:（1）由na、nS 的关系求1a，可得12nnaa，根据等比数列的定义，即可写出 na的通项公式na；（2）由等比
166、数列前 n 项和公式有21nnS ，结合已知条件求 n 即可.详解:（1）当1n 时，11a ；当2n，112121nnnnnaSSaa122nnaa，即12nnaa，na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以12nna.（2）1 11nnaqSq1 21 2n21n ，由127nS ，得 21127n ，解得7n.19-3【提升】【正确答案】（1）3,1,6,2.(21)(23)nnannn.（2）4【试题解析】分析:(1)分析得0nS,再由11233nnnnS SSS,等式两边同除 以1nnS S 即 可 证 明 数 列1nS是 等 差 数 列,进 而 求 得321nSn,再根据数列通
167、项与前 n 项和的关系求解数列na的通项公式即可.(2)根据(1)可知当2n 时,61(21)(23)8nann,再整理求解二次不等式即可.详解:（1）当2n 时,若0nS,则由11233nnnnS SSS,得10nS ,这与113aS 相矛盾,所以0nS.由11233nnnnS SSS,等式两边同除以1nnS S 并整理,和11123nnSS .所以数列1nS是首项为1113S ,公差23d 的等差数列.所以112331nnS,化简得321nSn.所以当2n 时,13362123(21)(23)nnnaSSnnnn.又因为13a ,不符合上式,所以3,1,6,2.(21)(23)nnannn
168、 （2）由（1）知3,1,6,2.(21)(23)nnannn 易知2n.所以由题意,得61(21)(23)8nann,整理,得2483 48nn.解得24.5n剟.所以使18na 成立的 n 的最大值是 4.点睛:本题考查数列的前 n 项和与通项的关系数列的递推公式,考查推理论证能力以及化归转化思想.19-4【提升】【正确答案】（1）24a；（2）2nan；（3）证明见解析【试题解析】分析:（1）令1n，可求出2a；（2）原式可化为16312nnSnan nn，当2n 时，163111nnSnan nn，两式相减，整理可得111nnaann，即数列nan从第二项起是以 1 为公差的等差数列，
169、可求出nan的表达式，进而可得到 na的通项公式；（3）由（2）知2nan，当3n 时，22111111()1211nannnn，进而可推出2221111123n 511153213nn，然后验证1n 和2n 时，不等式都成立，即可证明结论成立.详解:（1）令1n，则21361 3 2aa ，即12666 1 6433aa.（2）由题意，16312nnSnan nn，当2n 时，163111nnSnan nn，-得，11633131nnnnSSnanan n，则1211nnnananan n，即111nnnanan n，所以111nnaann，即数列nan从第二项起是以 1 为公差的等差数列，
170、且24222a，所以当2n 时，22nannn，则2nan，又11a，符合2nan，故 na的通项公式为2nannN.（3）当1n 时，11513a 成立；当2n 时，12111551443aa 成立；当3n 时，22111111()1211nannnn，则222121111111123naaan11111111111()()()()422435211nnnn 51 111142 231nn511153213nn.综上所述，对于一切正整数 n，都有1211153naaa.点睛:本题考查利用递推关系求通项公式，考查放缩法在证明数列不等式中的运用，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于难题.1
171、9-5【巩固】【正确答案】（1）32nan（2）331nn 【试题解析】分析:（1）根据1112nnnSnaSSn 可得答案；（2）根据nb113231nn裂项求和可得结果.详解:（1）依题意可得23122nSnn，当1n 时，1131122aS，当2n 时，1nnnaSS 223131(1)(1)2222nnnn32n，又1n 也适合上式，所以32nan.（2）3(32)(31)nbnn113231nn，所以111111114477103231nTnn 1131n 331nn 点睛:本题考查了由数列的前 n 项和求通项，考查了裂项求和，属于基础题.19-6【巩固】【正确答案】（1）21nna
172、 （2）112nbn 【试题解析】分析:（1）根据条件，构造数列1na，可知1na 为等比数列，进而利用等比数列的通项公式可求得 na的通项公式（2）由同底数幂的乘法运算，可得21232232nbbbnbnn，利用递推公式可得11(2)2nbnn，再检验1a 即可求得 nb的通项公式 详解:（1）121nnaa 1121nnaa 1121nnaa 而11a，故数列1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 即12nna 因此21nna （2）31231112144441nnbnbbbna 21232342nbbbnbnn 21232232nbbbnbnn 即 21232232nbbbnbnn
173、 当2n 时，2212122(1)(1)2(1)1nbbnbnnn 得221(2)nnbnn 11(2)2nbnn 经验证1n 也满足上式 因此112nbn 点睛:本题考查了数列的综合应用，构造数列法和递推公式法在求通项公式中的应用，属于基础题 19-7【巩固】【正确答案】（1）证明过程详见解析，121nan；（2）1(23)26nnSn【试题解析】分析:（1）对题目所给等式两边除以1nna a ，化简得1112nnaa，由此证得1na是等差数列，并求得其通项公式，进而求得 na的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得 nb的前 n 项和nS.详解:（1）由112nnnnaaa a两 边 除
174、以1nna a ，化 简 得1112nnaa，则数列1na为等差数列.其首项为111a=，公差为 2，故 121nna ，所以121nan.（2）由于(21)2nnbn，所以231 23 25 2(21)2nnSn ，234121 23 25 2(21)2nnSn ，两式相减得 2311 22(222)(21)2nnnSn ，化简得1(23)26nnSn.点睛:本小题主要考查已知递推关系求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.20-1【提升】【正确答案】（1）(2e，)；（2）证明见解析【试题解析】分析:（1）先求导，讨论0a 与0a 两种情况，分别判断其单调性，结合题意，即可求解；
175、（2）不妨设1201xx，且121222xxeaxeax，得到2121lnlnxxxx，问题可转化为2211122ln xxxxxx，再令21xtx，进而转化为12ln0ttt 在1,t 上恒成立，用导数法求解即可 详解:（1）因为 xxf xeeaxa，所以 2xxxxxxfxeeaxaeeaeeax 令 0fx，则2xeax 当0a 时，不成立；当0a 时，2xxae 令 xxg xe，所以 1xxgxe 当1x 时，0gx；当1x 时，0gx 所以 g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减 所以 max11g xge，当 x 时，g x ，当 x 时，0g x，因此，当210ae时，f
176、 x 有 2 个极值点，即 a 的取值范围为2,e （2）由（1）不妨设1201xx，且121222xxeaxeax 所以1122ln 2lnlnln 2lnlnxaxxax 所以2121lnlnxxxx 要证明1 2122x xxx，只要证明221221122lnlnx xxxxx，即证明2211122ln xxxxxx 设211xttx，即要证明12ln0ttt 在1,t 上恒成立 记 12ln1h ttttt，222221212110ttth ttttt ，所以 h t 在1,上单调递减，所以当1t 时，10h th，即12ln0ttt，即1 2122x xxx成立 20-2【巩固】【正
177、确答案】（1）2e,；（2）证明见解析【试题解析】分析:（1）求导以后，()f x 存在极值等价于()0fx有根，且根的两侧异号，参变分离后构造函数()(1 ln)g xxx，通过研究函数()g x 的最值即可求解；（2）（方法一）求导得2()ln1fxxx，结合()fx 的单调性以及零点存在性定理即可求出()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m 上单调递增且5,24m以及2ln1mm，然后求出()f x 的最小值的范围，即可得出结论；（方法二）由不等式的性质可知当(0,1)(2,)x 时，()0f x；当(1,2)x时，()0f x，因此只需要证明(1,2)x时即可，由于ln1xx，
178、所以利用放缩法即可证明.详解:（1）解：()ln1afxxx，由()0fx，得(1 ln)axx，设函数()(1 ln)g xxx，则()2lng xx,当20ex时，()0g x；当2ex时，()0g x 故22min()eeg xg，当2ea 时，()0fx，()f x 不存在极值，所以2ea，故 a 的取值范围是2e,（2）证明：（方法一）因为2a，所以()(2)lnf xxx，2()ln1fxxx，易知()fx 在(0,)上为增函数，且55853313ln1lnlne044545525f ，(2)ln20f，所以5,24m，()0f m，且()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)
179、m 上单调递增 又()0f m，所以2ln1mm，则2min(2)4()()(2)ln4mf xf mmmmmm 因为5,24m，所以494,020mm，即min9()20f x，故9()20f x （方法二）因为2a，所以()(2)lnf xxx，当(0,1)(2,)x 时，()0f x；当(1,2)x时，()0f x 当(1,2)x时，易证ln1xx，所以()(2)(1)f xxx，因为2311(2)(1)244xxx，所以1()4f x ，又19420 故9()20f x 点睛:不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数
180、研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.20-3【巩固】【正确答案】（1）0,1；（2）证明见解析.【试题解析】分析:（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，判断函数的极值，进而得出结果；（2）问题转化为证明213211 ln1022axaxaxa，设 213211 ln122g xaxaxaxa，求导，根据函数的单调性证明即可.详解:（1）因为 2131 ln22fxaxaxa，所以 211aaxaaxxxxf(0 x)，当1a 时 0fx，f x 在0,上是增
181、函数，f x没有极值；当0a 时 0fx，f x 在0,上是减函数，f x没有极值.当01a时10,axa时 0fx，f x 是减函数，1,axa时 0fx，f x 是增函数，所以 f x 有极小值.综上得 a 的取值范围是0,1.（2）1x 时，121f xax 即213211 ln1022axaxaxa，设 213211 ln122g xaxaxaxa，则 10g，且 21 2111121axa xaxaxaagxaxaxxx，因为0a，1x，所以10 x ，1110axaaa ，所以 0gx，g x 在1,上是增函数，所以 10g xg，即 121f xax.点睛:关键点点睛：第（2）问
182、的关键点是：依题意证得 g x 在1,上是增函数.20-4【基础】【正确答案】（1）1a ，3b；（2）最小值是-2，最大值是 2【试题解析】分析:（1）由题意知 10f，12f，求 f x 的导函数 fx，代入计算可得,a b 的值，注意检验；（2）f x 在12,2上的单调区间，从而确定最小值，计算端点值比较可求出最大值.详解:解：（1）3f xaxbx，23fxaxb 函数 3f xaxbx在1x 处取得极值 2，12fab，130fab解得1a ，3b 33f xxx，经验证在1x 处取极值 2，故1a ，3b （2）由 311fxxx，令 0fx，解得11x 令 0fx，解得1x 或
183、1x ，因此，f x 在2,1递减，在11,2递增，f x 的最小值是12f 而1112228ff，故函数 f x 的最大值是 2 20-5【基础】【正确答案】（1）13ab ；（2）f x 在10,3单调递减，在 1,3单调递增，f x 的极小值为2ln 33 【试题解析】分析:（1）根据导数的几何意义，有 16f，又 14f，联立方程组即可求解.（2）求函数的导函数，然后令导函数大于 0，可得增区间，令导函数小于 0，可得减区间，从而可得函数的极小值 详解:解：（1）21afxbxx，由已知可得 1216114fabfb ，解得13ab .（2）由（1）可得 2ln3f xxxx，3121
184、161xxfxxxx 0 x，令 0fx，解得13x；令 0fx，解得103x，f x 在10,3单调递减，在 1,3单调递增，当13x 时，f x 的极小值为 2ln 33 20-6【巩固】【正确答案】（1）1ae 或0a；（2）证明见解析.【试题解析】分析:（1）化 简()(s i n)xfxx eaxx，根 据 题 意 得0 xx ea有一个非零实根，设 xh xxe，利用导数求得函数的单调性和极值，结合函数的值的变化趋势，即可求解；（2）化简()1xg xxe，根据题意转化为1lnlnxxxexxxe，令xtxe，得到新函数()ln1(0)H tttt，利用导数求得函数的单调性与最小值
185、，即可求解.详解:（1）由题意，函数2()sinsin(sin)xxxf xx exexaxaxxeaxx 因为()f x 有两个零点，又因为sin0 xx时，解得0 x，所以当0 xxea有一个非零实根，设 xh xxe，可得()(1)xh xxe，当(,1)x 时，()0h x，h x 单调递减；当(1,)x 时，()0h x，h x 单调递增，所以当1x 时，函数 h x 取得最小值，最小值为1(1)he，又由(0)0h，0 x 时，(0)0h；0 x 时，(0)0h，所以1ae 或0a，即实数 a 的取值范围是1(0,)e.（2）由题意，可得()()1sinxf xg xxexx，要证
186、()lng xxx，即证1lnlnxxxexxxe，令0 xtxe，令()ln1(0)H tttt，可得11()1tH ttt，令()0H t，即10t ，解得1t；令()0H t，即10t ，解得1t，所以函数()H x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()(1)=0H xH，即1lnxxexx，即()lng xxx.点睛:利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式 ()f xg xf xg x转化为证明 0f xg x (0)f xg x，进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似
187、”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21-1【巩固】【正确答案】（1）24xy；（2）3.【试题解析】分析:（1）设0,1M x，MA，MB 的斜率分别为12,k k，设出直线MA 的方程，联立直线与抛物线方程，根据121k k ，可得1 221k kp ，由此得解；（2）直线 AB：y=kx+m，与抛物线方程联立，结合韦达定理及点到直线的距离公式，再由MAB 面积为 32，即可求得 k.详解:解：（1）设0,1M x，MA，MB 的斜率分别为12,k k，AMB=90，121k k ，直线10:1MAlykxx，即101ykxx，即11 01yk xk x，联立
188、102()12yk xxxpy，消 y 并整理可得211 0222xpk xpk xp=0，相切，2211 044(22)0p kpk xp，即211 022pkk x，同理可得222022pkk x，即12,k k 是20220pkkx的解，故1 221k kp ，p=2；（2）设直线 AB：y=kx+m，联立24ykxmxy，消 y 并整理可得，x24kx4m=0，设 1122,A x yB x y，则由韦达定理可得，121 24,4xxkx xm，AMB=90，0AM MB，可得220(1)20mxk，2201,2,|11616mxkABkk，点 M 到直线 AB 的距离为2222121
189、,21141322AMBdkSkkk，解得3k .点睛:方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为11A xy，22B xy，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,xx x x形式；（5）代入韦达定理求解.21-2【巩固】【正确答案】（1）22xy；（2）证明见解析.【试题解析】分析:（1）由通径公式，求 p，即可求得抛物线方程；（2）证法一：首先设出点,A B 的坐标，利用导数的几何意义求得切线,PA PB 的方程，并求得点 P 的坐标，再设直线 AB 方程，与抛物线方
190、程联立，得到韦达定理，并通过数量积公式，可证明PFAB，即可证明；证法二：利用导数的几何意义求得切线,PA PB 的方程，代入点 P 的坐标，即可求得直线 AB 方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，并表示 PF，以及AFFB.详解:（1）解：由题意可知，0,2pF，准线方程为2py .当/ABx 轴时.根据抛物线的定义可知，22ABp，解得1p ，故C 的方程为22xy.（2）证法一：设211,12A xx，222,12B xx，由212yx，得 yx，所以 PA 的斜率111x xkyx，从而切线 PA 的方程为211112yxxxx，即21112yx xx，同理可知，PB 的斜率22kx
191、，PB 的方程为22212yx xx，两式联立，解得122xxx，122x xy，所以1212,22xxx xP.设 AB 的方程为12ykx，由21,22,ykxxy得2210 xkx，则122xxk，1 21x x .即1 21 21k kx x ，所以 PAPB，即1,2P k.则(,1)PFk，22212111,22ABxxxx，因为2222212121211111(,1),2222PF ABkxxxxk xxxx 122121()02xxxxkxxkk，所以 PFAB.由 AFPPBF，得 PFFBAFPF，故2|PFAFFB.证法二：设211,12A xx，222,12B xx，由
192、212yx得，yx，所以 PA 的斜率111x xkyx，所以切线 PA 的方程为211112yxxxx，即2111112yx xxx xy，同理可知，PB 的斜率22kx，PB 的方程为2222212yx xxx xy，设P m n,，则11nx my，22nx my，所以 A，B 两点的坐标是方程 nxmy的两个解，即直线 AB 的方程为nxmy，亦即 ymxn.又直线 AB 恒过定点10,2，所以12n ，即1,2P m且直线 AB 的方程为12ymx.由22,12xyymx得2212104ymy.所以21221yym，1214y y.由抛物线定义知1212121111|2224AFBF
193、yyy yyy.所以2|1AFBFm，22211|(0)122PFmm 所以2|PFAFFB.21-3【基础】【正确答案】(1)抛物线的方程为24yx，焦点(1,0)F，准线方程为1x ；(2)220 xy或220 xy.【试题解析】分析:(1)根据给定条件求出 p 值即可求解；(2)设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.详解:(1)因点(1,2)在抛物线方程22ypx上，则2p，所以抛物线的方程为24yx，焦点(1,0)F，准线方程为：1x ；(2)显然，直线 AB 不垂直y 轴，设直线 AB 方程为：1xmy，由214xmyyx消去 x 得：2440
194、ymy，设1122(,),(,)A x yB x y，则有12124,4yym y y ，于是得2222121212|1|1()44(1)5ABmyymyyy ym，解得12m ，即直线 AB：112xy ，所以 AB 所在的直线方程：220 xy或220 xy.21-4【提升】【正确答案】（1）122yx；（2）1,8.【试题解析】分析:（1）设所求切线的方程为2yk x，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由0 可求出 k 的值，即可求得所求的两条切线的方程；（2）设11,A x y、22,B xy、P m n,，写出抛物线22yx在点 A、B 处的切线方程，将点 P 的坐标代入两切线方程，
195、可求得直线 AB 的方程，将直线 AB 的方程与抛物线1C的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出PAB面积关于 m 的表达式，利用函数思想可求得PAB面积的取值范围.详解:（1）显然切线斜率存在，设切线方程为2yk x，由222yk xyx，得2240kyyk，由204 160kk，得12k ，因此，两条切线的方程为122yx；（2）设11,A x y、22,B xy、P m n,，先证明出抛物线22yx在其上一点00,xy处的切线方程为00y yxx.证明：联立0022y yxxyx，消去 x 可得200220yy yx，即220020yy yy，即200yy，解得0yy，所以
196、，直线00y yxx与抛物线22yx相切于点00,xy.所以，切线 PA 的方程为11yyxx，可得11nymx，切线 PB 的方程为22yyxx，可得22nymx，AB的方程为 nymx，P 到 AB 的距离2221mndn 由22nymxyx，得2220ynym，由韦达定理可得122yyn，122y ym，P m n,为曲线2C 上一点，则2214mn，所以，2214mn 且 20m，2222121214148ABnyyy ynnm，220nm，3232222222211 1482122241PABmnmSAB dnnmnmmn，20m，22121451,444mmm ，则322121,8
197、4PABmSm.因此，PAB面积的取值范围为1,8 点睛:方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为11,x y、22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、1 2x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21-5【巩固】【正确答案】（1）10 xy；（2）1，yx.【试题解析】分析:（1）设211,2xA x，222,2xB x，分别求出以,A B 为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点 P 的坐标，再设直线AB 的方程为：1
198、(x 1)yk，与抛物线的方程联立，代入可得点 P 的轨迹方程；（2）由（1）知 AB 和(,1)P k k 到直线 AB 的距离，利用三角形面积公式求得PAB面积23(1)1Sk，可求得S 的最小值和直线 AB 的方程.详解:（1）设211,2xA x，222,2xB x，212yx，yx 则以 A 为切点的切线为2111()2xyx xx，整理得：2112xyxx，同理：以 B 为切点的切线为：2222xyx x，联立方程组：21122222xyx xxyx x，解得121222xxx xP，设直线 AB 的方程为：1(x 1)yk，联立方程组21(1)12yk xyx，整理得：22220
199、 xkxk，2244(22)4(1)40kkk 恒成立，由韦达定理得：122xxk，1222x xk，故(,1)Pk k，所以点 P 的轨迹方程为10 xy；（2）由（1）知：222212121()42 122ABkxxx xkkk，(,1)P k k 到直线 AB 的距离为：22221kkdk，23231(22)(1)12SAB dkkk，1k 时，S 取得最小值1，此时直线 AB 的方程为 yx.点睛:思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系属中档题.21-6【基
200、础】【正确答案】（1）4k ；（2）1,0或5,0.【试题解析】分析:（1）设直线2yxk交抛物线24yx于点11,A x y、22,B xy，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于 k 的等式，结合0 可求得实数k的值；（2）设点,0P t，求出点 P 到直线 AB 的距离，利用三角形的面积公式可求得关于t 的等式，即可解得t 的值，即可得出点P 的坐标.详解:（1）设直线2yxk交抛物线24yx于点 11,A x y、22,B xy，联立242yxyxk，消去 y 整理可得224440 xkxk，221611616 1 20kkk，解得12k，由韦达定理可得12
201、1xxk，2124kx x，所以，222212121 245151 23 5ABxxx xkkk，解得4k ；（2）设点,0P t，则点 P 到直线24yx的距离为245td，所以，22113 5329225PABtSAB dt，解得1t 或5.故点 P 的坐标为1,0或5,0.22-1【提升】【正确答案】（1）2cos，cos4；（2）2.【试题解析】分析:（1）消去参数化1C 方程为直角坐标方程，然后由公式cosxysin代为极坐标方程，设(,)B ，得8(,)A，代入1C 极坐标方程后可得2C 极坐标方程；（2）(,)B ，得8(,)A，求出,A B 的横坐标，C 的纵坐标，由12ABC
202、BACSxxy!求得面积，由cos4，可转化为 的三角函数，从而求得最小值 详解:（1）由平方关系消去参数 得22(1)1xy，代入cosxysin得 22(cos1)(sin)1，化简得2cos，此为1C的极坐标方程；设(,)B ，若则8(,)A，A 在1C 上，82cos，即cos4，所以2C 极坐标方程为cos4；（2）由题意C 点直角坐标为(0,2)，设(,)B ，由（1）4cos，则cosBx，8 cosAx，所以218coscos42cos2ABCBACSxxy!因为20cos1，所以2242cos4，所以ABCS的最小值是 2 22-2【提升】【正确答案】（1）曲线1C 的普通方
203、程为224cos3sin1xy，曲线1C是以4 c o s,3 s i n 为圆心，1 为半径的圆；（2）5 22.【试题解析】分析:（1）利用三角函数的性质，曲线1C 的方程消去曲线1C 的参数，可得曲线1C 的普通方程以及1C 的形状；（2）将曲线2C 的极坐标方程化为普通方程，设出曲线1C 的对称中心即为圆心，利用点线距公式结合正弦函数的性质，得出距离的最大值 详解:（1）曲线1C 的方程为4coscos3sinsinxy(R，为参数)可知 4coscos3sinsinxy(R，为参数)消去参数 得曲线1C 的普通方程为224cos3sin1xy 曲线1C 是以4cos,3sin 为圆心
204、，1 为半径的圆.（2）将曲线2C 的极坐标方程为sin04，即sincos0，化为直角坐标方程为0 xy 曲线1C 的对称中心即为圆心4cos,3sin 曲线1C 的对称中心到曲线2C 的距离5sin4cos3sin22d 1sin1 曲线1C 的对称中心到曲线2C 的距离的最大值为 5 22.22-3【基 础】【正 确 答 案】(1)1C 的 普 通 方 程 为22111xy,2C的 直 角 坐 标 方 程 为221xy;(2)1C 与2C 交点的直角坐标为(1,0),(0,1)极坐标分别为1,0,1,2.【试题解析】详解:试题分析：（）曲线1C 的参数方程1,1xcosysin 利用消去
205、参数 化为普通方程把,xcosysin代入可得极坐标方程;（）曲线2C 的极坐标方程为1，化为直角坐标方程：221xy联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出 试题解析：（）将1,1xcosysin 消去参数，化为普通方程22111xy，即1C 的普通方程为22111xy，由1，得21，再将,xcosysin代入21，得221xy，即2C 的直角坐标方程为221xy.（）由 2222111,1,xyxy解得1,0,xy或0,1.xy 所以1C 与2C 交点的极坐标分别为1,0,1,2.22-4【巩固】【正确答案】（1）直线l 的直角坐标方程为34yx，圆C 的参数方程为cos1 sinxy（为参
206、数）；（2）72【试题解析】分析:(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；(2)结合(1)中的结论得到关于12dd的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.详解:（1）由l：cos()26 得，13sincos222；因为cossinxy，代入有直线l 的直角坐标方程为：13222yx，即为34yx 由圆C：2sin得，22 sin，因为cosx，siny，222xy，所以圆C 直角坐标方程为：22(1)1yx 由22(1)1yx 得，圆C 的参数方程为cos1 sinxy（为参数）（2）设点 P 坐标为cos,1 sin 则1223cos1 sin4
207、3cossin32(3)1d 1(33 cossin)2 又21 sind 那么125135sincossin()22232dd 当56 时，12dd取得最大值 72.点睛:关键点点睛：考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，解题的关键写出圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最值问题的处理方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22-5【基础】【正确答案】（1）3203xy；cossinxtyt（t 为参数，0 t）；（2）13,22.【试题解析】分析:（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线l 的普通方程，利用222,cos,sinxyxy，即可得曲线C的直角坐标
208、方程，然后再化为参数方程；（2）由点 D 在曲线 C 上可设(cos,sin)Dtt，由题意可知曲线C 在点 D 处的切线斜率为33，tan3t 然后可得 D 点的坐标 详解:（1）直线 l 的普通方程为3203xy；C 的普通方程为221(01)xyy 可得 C 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，0 t）（2）由点 D 在曲线 C 上可设(cos,sin)Dtt，由题意可知曲线C 在点 D 处的切线斜率为33，tan3,3tt故 D 的直角坐标为 cos,sin33，即 13,22 22-6【巩固】【正确答案】（1）2216xy，210 xy；（2）154.【试题解析】分析:（1
209、）利用三角消参得到曲线C 的普通方程；由cos,sin,xy得直线l 的直角坐标方程；（2）分别求出 AB 和点 M 到直线 AB 的距离的最大值，即可求出MAB的面积的最大值.详解:（1）由4cos4sinxy得2216xy，即为曲线C 的普通方程；由2cossin1且cos,sinxy消去 ，得210 xy，即曲线 E 的直角坐标方程为210 xy.（2）由（1）知曲线 E 的直角坐标方程为210 xy，令0 x 得1y ；令0y 得12x，所以1,02A，0,1B，所以52AB.设4cos,4sinM 则 M 到直线 AB 的距离为4 5 sin18cos4sin155d，当sin1 （
210、其中 tan2）时 d 取最大值4 515455.故此时MAB的面积最大值为max115514522254AB d.22-7【巩固】【正确答案】（1）直线 l 的普通方程为220 xym；曲线 C 的普通方程为225xy；（2）5 52 2，.【试题解析】分析:（1）直接消去参数方程中的参数可得其普通方程；（2）由直线l 与圆C 有公共点，可得圆心到直线的距离小于半径，从而可求出实数 m 的取值范围 详解:（1）由直线l 的参数方程24xmtyt（m 为常数，t 为参数），得：220 xym 由曲线C 的参数方程5 cos5sinxy（为参数）得：225xy 故直线l 的普通方程为 220 x
211、ym；曲线C 的普通方程为225xy（2）直线l 与圆C 有公共点，圆心0 0C，半径5r，圆心C 到直线l 的距离255md 5522m，即所求 m 的取值范围为5 52 2，23-1【巩固】【正确答案】（1）1,6；（2）1,3.【试题解析】分析:（1）利用零点分域法去绝对值转化为三个不等式组，再解不等式组即可求解；（2）利用绝对值三角不等式求出 2f xx的最小值，只需 2f xx的最小值大于或等于22aa即可求解.详解:（1）由 23f xx，得 21223xxx.所以221223xxxx 或12221223xxxx 或1221223xxxx ，即2x 或122x 或1126x，所以1
212、6x ，所以原不等式的解集为1,6.（2）因为 212f xxx，所以 2212221243f xxxxxx ，所以 2f xx的最小值为3，因为 222f xxaa对任意Rx恒成立，所以232aa，解得：13a，所以实数 a 的取值范围是1,3.23-2【巩固】【正确答案】（1）5,4；（2）(1,5).【试题解析】分析:（1）分类讨论 x 的范围求 0f x 的解集即可.（2）由绝对值的几何意义可得()|3|f xa，再讨论参数 a求|3|2a 的解集，即可得 a 的取值范围.详解:（1）当2a 时，31,23()45,1,21,1xf xxxx 令 450 x，则54x ，而32x 时(
213、)10f x ，不等式()0f x 的解集为5,4.（2）()|2|23|(2)(23)|3|f xxaxxaxa，且当32x 时等号成立，当3a 时，max()32f xa，得5a，则35a，当3a 时，max()32f xa，得1a ，则13a.综上，若()2f x，则 a 的取值范围是(1,5).23-3【巩固】【正确答案】（1）313xxx 或；（2）,13,.【试题解析】分析:（1）根据绝对值得性质，利用分类讨论方法求解不等式；（2）将不等式解集为 R 转化为求 f(x)的最大值问题，利用绝对值不等式求得其最大值，然后解关于 a 的二次不等式即可.详解:解：（1）原不等式等价于 0f
214、 xx，不等式 0f xx可化为21xxx，当1x 时，21xxx，解得3x ，即31x ；当 12x 时，21xxx，解得1x ，即11x；当2x 时，21xxx，解得3x，即3x，综上所述，不等式 0f xx的解集为313xxx 或；（2）由不等式 22f xaa可得2212xxaa，21213xxxx，当且仅当,1x 时等号成立，223aa，即2230aa，解得1a 或3a.实数 a 的取值范围为,13,.23-4【基础】【正确答案】（1）02xx；（2）0,.【试题解析】分析:（1）分三类情况，分别解不等式，最后求并集即可；（2）利用绝对值三角不等式及极限思想，即可得到结果.详解:1
215、当32x 时，2314xx ，可得：2x，此时，322x 当312x 时，3214xx，可得：0 x，此时，302x 当1x 时，3214xx，可得：23x (舍去）综上，原不等式的解集是02xx.(212121)xxxx，当且仅当120 xx时，即12x时取到等号，又221xx ，当且仅当1x 时取到等号，2212f xxxxx 的最小值为 0 另一方面，当 x 时，f x ，0,f x.23-5【提升】【正确答案】（1）7 3,2 2；（2）最小值为1.【试题解析】分析:（1）根据绝对值的性质，结合分类讨论法进行求解即可；（2）根据绝对值的性质，结合基本不等式的性质进行求解即可.详解:解：
216、（1）当4a，1b 时，10f x 即为262110 xx，得315xx，所以3,315xxx 或31,315xxx 或1,315,xxx 解得732x 或 31x 或312x，故解集为7 3,2 2.（2）因为0a，0b 所以 22222222222f xxaxbxaxbxaxb 2222abak.若 f x 的最小值为6，则226ab，所以24ab.则111 1112126222212424242babababababab，当且仅当 22baab且24ab，即2a，1b 时等号成立，所以 112ab的最小值为1.23-6【巩固】【正确答案】（1）57,22；（2）,2【试题解析】分析:（1
217、）把3a 代入函数解析式，然后根据()6f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得()|2|f xa，把不等式()2f xa，对任意 xR 恒成立转化为|2|2aa恒成立，然后求出 a 的取值范围 详解:解：（1）把3a 代入()|2|f xxxa，可得1 22()23523213xxf xxxxxx，当2x 时，()6f x 等价于 21 6x ，解得52x，则52x，当 23x 时，()6f x 等价于5 6，此式不成立，当3x 时，()6f x 等价于 21 6x ，解得72x，则72x 综上，不等式()6f x 的解集为：57,22 （2）()|2|2|2|2|f xxxaxaxxaxa，当(2)()0 xxa时等号成立，不等式()2f xa，对任意 xR 恒成立转化为|2|2aa恒成立，若 20a，即0a，则不等式|2|2aa成立，若20a，即0a，则2244 4aaa，即2344 0aa，解得223a剟，则02a剟 综上，实数 a 的取值范围是,2