1、专训2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题 探索与特殊几何图形有关的存在性问题1【中考内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x1.(1)求抛物线对应的函数解析式(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒
2、3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M的运动时间为t(s)，试求S与t的函数关系式，并求S的最大值(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由(第1题) 探索与周长有关的存在性问题2如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，OBOA，且AOB120.(1)求点B的坐标(2)求经过A，O，B三点的抛物线的表达式(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，
3、请说明理由(第2题) 探索与面积有关的存在性问题3【中考深圳】如图，抛物线yax2bx2经过点A(1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线对应的函数解析式(用一般式表示)(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABCSABD？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长【导学号：89274026】(第3题)答案1解：(1)点B的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x1，A(2，0)把点A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)的坐标分别代入yax2bxc(a0)，得解得该抛物线对应的函数解析式为y
4、x2x3.(2)由题意得AM3t，BNt.MB 63t.点C的坐标为(0，3)，点B的坐标为(4，0)，OC3，OB4.在RtBOC中，BC5.过点N作NHAB于点H.NHCO，BHNBOC，即，HNt.SMBHN(63t)tt2t(t1)2，又易知0t2，当t1时，S最大值.(3)存在在RtOBC中，cosOBC.当MNB90时，cosMBN，即，化简，得17t24，解得t.当BMN90时，cosMBN，即，化简，得19t30，解得t.综上所述，当t或t时，MBN为直角三角形2解：(1)如图，过点B作BDy轴于点D，则BOD1209030.由A(2，0)可得OA2，OB2.于是在RtBOD中
5、，易得BD1，OD.点B的坐标为(1，)(2)由抛物线经过点A(2，0)，O(0，0)可设抛物线的表达式为yax(x2)，将点B的坐标(1，)代入，得a，因此所求抛物线的表达式为yx2x.(第2题)(3)存在如图，易知抛物线的对称轴是直线x1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小设直线AB的表达式为ykxb，则解得yx.当x1时，y，因此点C的坐标为.3解：(1)抛物线yax2bx2经过点A(1，0)，B(4，0)，解得抛物线对应的函数解析式为yx2x2.(2)存在满足条件的点D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)(3)AO1，OC2，OB4，AB5，AC，BC2.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形，且BCAC.如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作FMx轴于点M，由题意可知FBC45，CFB45，CFBC2，由题易知，即，解得OM2.又由题易知，即，解得FM6，F(2，6)设直线BE对应的函数解析式为ykxm，则可得解得直线BE对应的函数解析式为y3x12.联立直线BE和抛物线对应的函数解析式可得解得或E(5，3)，BE.(第3题)第 4 页
