1、数学试题 第 页（共 页）年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数 学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若复数 满足（），则 设集合 ，则 （，）（，）已知平面向量 （，），（，），若，则 已知双曲线：（，）的焦距为 ，实轴长为，则 的渐近线方程为
2、 已知随机变量 服从正态分布（，），且（），则（）一个公司有 名员工，其中 位员工的月工资分别为、，另两位员工的月工资数据不清楚，那么 位员工月工资的中位数不可能是已知（）（）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中 的系数为数学试题 第 页（共 页）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在 中，角，所对的边分别为，则 的面积 （）根据此公式，若（），且 ，则 的面积为 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分。对两组数据进行统计后得到的散点图如下图，关于其线性相关系数的结论正确的
3、是03,2SYZ03,2SYZ 已知，则使“”成立的一个必要不充分条件是 如图，已知椭圆：（），分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，点 在椭圆 上，则下列条件中能使 的离心率为 的是 轴，且 四边形 的内切圆过焦点，$#.$1如图，在直三棱柱 中，底面是边长为 的正三角形，点 在 上，且 ，为线段 上的点，则平面 当 为 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 存在点，使得 存在点，使得三棱锥 的体积为 数学试题 第 页（共 页）三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。已知函数（），（），则（）的值为 已知函数（）是偶函数，则 若圆：与圆：（）（）的公共弦 的长为，则
4、直线 恒过定点 的坐标为 图 图祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等如图是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图中的实线图形，两段曲线是椭圆 的一部分，若瓷凳底面圆的直径为，高为，则 ；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为 （第一空 分，第二空 分）四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分）已知数列的前 项和为，（）求的通项公式；（）记 ，求数列的前 项和（分）已知函数（）（）（，），（）（），且（）在（，）上的最大值为 （）求（）的
5、解析式；（）将函数（）图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数（）的图象，若（），求 的值数学试题 第 页（共 页）&%$#$0（分）如图，是圆柱底面圆 的直径，为圆柱的母线，四边形 是底面圆 的内接等腰梯形，且 ，分别为，的中点（）证明：平面；（）求平面 与平面 夹角的余弦值（分）甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有 个大小和质地相同的球，其中有 个白球，个红球（）甲、乙先后不放回地各摸出 个球，求两球颜色相同的概率；（）甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸 个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为
6、，求 的分布列和期望（分）已知函数（）（）若存在 ，使（）成立，求 的取值范围；（）若（）（），存在，（，），且当 时，（）（），求证：（分）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线 上的一点 的横坐标为，为坐标原点，（）求抛物线 的方程；（）若一直线经过抛物线 的焦点，与抛物线 交于，两点，点 为直线 上的动点求证：；是否存在这样的点，使得 为正三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由数学试题答案 第 页（共 页）年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分二、当
7、考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分。三、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。（，）四、解答题：
8、17解：（）当 且 时，分由得：分由 得 分又 ，分 数列是以 为首项，为公比的等差数列 分（）分 分数学试题答案 第 页（共 页）由得：分 分解：（）因为，所以周期 分又（）在（，）上的最大值为 ，且（）（）所以当 （）时，（）取得最大值 ，所以 ，且（）分（），分（）（）分（）（）（）（），分（）（），（），分（）（）分法二：（）（）（），分（）（）（），分 ，数学试题答案 第 页（共 页）分&%.$#$0（）（法一）证明：取 的中点，连接，为 的中点，为 的中点，分又，四边形 为平行四边形 分 分又 平面，平面，平面 分&%.ZY$#$0（）（法二）证明：取 的中点，连接，平面，平面，平
9、面 分 为 的中点，又，所以四边形 为平行四边形，又 平面，平面，平面 分因为，所以平面 平面 分因为 平面，所以 平面 分（）解：设 ，由题意知，两两垂直，以 为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系 分则（，），（，），（，），（，），（，），的中点 的坐标为（，）（分）所以（，），（，）（分）设平面 的一个法向量为 ，()，则 ，得 ，令 ，得 ，()，分数学试题答案 第 页（共 页），平面，平面 的一个法向量为（，）分，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 分解：（）两球均为白球的概率为 ，分两球均为红球的概率为 ，分故两球颜色相同的概率 分（）由题意知 ，分（），分（），分（
10、），分（），分所以 的分布列为（）分（）分解：（）由（），得 ，即 分令（），得（）分设（），则（）数学试题答案 第 页（共 页）（）在 ，上单调递增，（）（）（）在 ，上，（），（）单调递增（）（），分 取值范围是 ，）分（）不妨设，（）（），（）（）（）分令 ，故 ，故函数 在（，）上单调递增，从而，分 由（）得（）（）（）（）（）分下面证明：，令，则 即证明：，只要证明 设（）（），（）（）在（，）恒成立，（）在（，）单调递减，故（）（），分解：（）的横坐标为，分过 作 轴于 点，且 ，分数学试题答案 第 页（共 页），分得 抛物线 的方程为 分（）设 方程为 ，（，）由 得 ，（），（），分（，），（，），（）（）（）（）分（）（）分假设存在点，使得 为正三角形，取 中点为（，），连接，则 ，且，（，）分当 时，斜率不存在，由抛物线对称性知 的坐标为（，）此时 不是正三角形 分当 时，由，得 解得 （，）分 （）（）（），又 （），分由 得 ，所以存在点（，）使得 为正三角形 分