1、1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理目标定位重点难点1.能用计数原理得到二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.重点：二项式定理及二项展开式的通项公式难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1二项式定理：对 nN*，(ab)n_.其中 Ckn(k0,1,2，n)叫做_特别地，(1x)n_.结构特点：(1)各项的次数都_二项式的幂指数 n；(2)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零，字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到n；(3)共有_项C0nanC1nan1bCknankbkCn1
2、nabn1Cnnbn二项式系数1C1nxC2nx2CknxkCnnxn(nN*)等于n12展开式通项：Tk1Cknankbk(k0,1,2，n)(1)它可以表示二项展开式中的任意项，只要 n 与 k 确定，该项也随之确定(2)公式表示的是第_项，而不是第 k 项(3)公式中 a，b 的指数和为_k1n1(x2y)10展开式中的项数为()A10B11C12D9【答案】B2设 n 为自然数，则 C0n2nC1n2n1(1)kCkn2nk(1)nCnn等于()A2nB0C1D1【答案】D3.x32x4 的展开式中的常数项为_【答案】-324如果3 x21xn 的展开式中，x2 项为第三项，则自然数
3、n_.【答案】8二项式定理的正用、逆用【例 1】写出3 x 1x4 的展开式【解题探究】可直接看作 3 x与 1x的二项式展开，也可化简，再利用二项式定理展开【解析】方法一：3 x 1x4C04(3 x)4C14(3 x)3 1xC24(3 x)21x2C34(3 x)1x3C441x481x2108x5412x 1x2.方法二：3 x 1x43x14x2 1x2C04(3x)4C14(3x)31C24(3x)212C34(3x)13C44141x2(81x4108x354x212x1)81x2108x5412x 1x2.8熟练掌握二项式(ab)n的展开，是解答与二项式有关问题的前提条件，当二
4、项式较复杂时，可先将式子简化，然后再展开逆用二项式定理，要注意分析结构特点，指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通过添加项来凑结构形式1化简：(1)12C1n4C2n2nCnn；(2)(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)【解析】(1)原式12C1n22C2n2nCnn(12)n3n.(2)原式(x1)5C15(x1)4C25(x1)3C35(x1)2C45(x1)C551(x1)151x51.二项展开式中特定项【例 2】若x 124 xn 展开式中前三项系数成等差数列求：(1)展开式中含 x 的一次幂的项；(2)展开式中所有 x 的有理项【解题探究】可先借助通
5、项公式求解 n 的值，再利用通项公式可求(1)(2)【解析】二项展开式的通项为 Tr1Crnx nr124 xr.由已知条件，知 C0nC2n 1222C1n12.解得 n8 或 n1(舍去)(1)Tr1Cr8x 8r124 xrCr82rx434r.令 434r1，解得 r4.x 的一次幂的项为 T41C48 24x358 x.(2)令434r Z(r8)，则只有当 r0,4,8 时，对应的项才为有理项，有理项分别为 T1x4；T5358 x；T91256x2.8求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk1Cknankbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意
6、 k 的取值为非负整数使用二项式的通项公式时要注意通项公式表示的是第 r1 项，而不是第 r 项；通项公式中 a 和 b的位置不能颠倒2对二项式3 x 23x10：(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项【解析】3 x 23x10 的展开式的通项是Tr1Cr10(3 x)10r 23xr(r0,1，10)(1)展开式的第 4 项的二项式系数为 C310120.(2)展开式的第 4 项的系数为 C3103723377 760.(3)展开式的第 4 项为77 760(x)71x377 760 x.【例3】求1.9975精确到0.001的近似值【解题探
7、究】首先把1.997化成20.003，再利用二项式定理展开计算即可求解二项式定理的应用【解 析】1.9975 (2 0.003)5 25 C 15 240.003 C25230.0032C35220.0033C45210.00340.0035320.240.000 7231.761.8利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度3求证：122225n1能被31整除(nN*)【证明】122225n125n12125n132n1(311)n1C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131(C0n31n1C1n31n2Cn1n)显然上式括号内为整数，原式能被
8、31 整除混淆“二项式系数”与“项的系数”【示例】设(x 2)n 的展开式中，第三项的系数为 6，试求含 x2 的项错解：第三项的系数为 C2n，由 C2n6，得 n4.设(x 2)4 的展开式中 x2 项为第 r1 项，则 Tr1Cr4x4r(2)r.由 4r2，得 r2.则(x 2)4 的展开式中含 x2 的项为 T3C24x2(2)212x2.错因分析：错解中将“二项展开式中第三项的二项式系数”当成了“第三项的系数”正解：展开式的第三项为 T3C2nxn2(2)2，由 C2n(2)26，得 n3.设(x 2)3 的展开式中含 x2 的项为第 r1 项，则 Tr1Cr3x3r(2)r.由
9、3r2，得 r1.所以展开式中含 x2 的项为C13x2(2)13 2x2.警示：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数 Ckn；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关1二项式(ab)n的展开式项数为(n1)项，各项指数状况如下(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，由零逐项增1直到n.2几点注意(1)二项式(ab)n 的第(r1)项 Crnanrbr 和(ba)n 的展开式的第(r1)项 Crnbnrar 是有区别的，应用二
10、项式定理时，其中的a 和 b 是不能随便交换的(2)二项式系数与展开式中对应项的系数有本质的区别，也有联系(3)通项公式是在(ab)n 这个标准形式下而言的，如(ab)n的二项展开式的通项公式是 Tr1(1)rCrnanrbr，这与 Tr1Crnanrbr 是不同的1二项展开式(ab)3n的项数是()A3n1B3nC3n1D3n2【答案】C2.(2020 年南昌模拟)已知(x1)(ax1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a()A.25B.35C.23D.13【答案】A【解析】(ax1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 C46a2，含 x 项的系数为 C56a，由(x1)(a
11、x1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，可得C16a2C56a0，因为 a 为正实数，所以 15a6，所以 a25.3.二项式 2 x1x6 的展开式中第 6 项的二项式系数为 ，第 6 项的系数为 .【答案】6 12【解析】由已知得二项展开式的通项为 Tr1Cr6(2 x)6r1xr(1)rCr626rx332r，T612x92.第 6 项的二项式系数为 C566，第 6 项的系数为12.4.(2019 年 唐 山 模 拟)x21x22 3 展 开 式 中 的 常 数 项 为_【答案】-20【解析】x2 1x22 3x1x6,Tr1Cr6x6r1xrCr6(1)rx62r,令 62r0,得 r3,常数项为 C36(1)320.