1、2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关学习目标：1.理解两个变量的相关关系的概念(重点)2.会画散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关系(重点)3.理解最小二乘法原理，会求回归直线方程(难点)自 主 预 习探 新 知一、变量间的相关关系1两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量关系确定两变量关系带有随机性2.散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形3正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由
2、大变小，这种相关称为负相关二、两个变量的线性相关1最小二乘法设x、Y的一组观察值为(xi，yi)，i1,2，n，且回归直线方程为abx.当x取值xi(i1,2，n)时，Y的观察值为yi，差yii(i1,2，n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q(yiabxi)2作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法2回归直线方程的系数计算公式回归直线方程回归系数系数的计算公式方程或公式abxx上方加记号“ ”的意义区分y的估计值与实际值ya、b上方加“ ”
3、表示由观察值按最小二乘法求得的估计值基础自测1思考辨析(1)回归直线方程中，由x的值得出的y值是准确值()(2)回归直线方程一定过样本点的中心()(3)回归直线方程一定过样本中的某一个点()(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程()答案 (1)(2)(3)(4) 2过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是()A.1.755.75xB.1.755.75xC.5.751.75x D.5.751.75xC代入系数公式得1.75，5.75.代入直线方程，求得5.751.75x.故选C.3如图231所示的两个变量不具有相关关系的有_图23
4、1是确定的函数关系；中的点大都分布在一条曲线周围；中的点大都分布在一条直线周围；中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系4若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为5x250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为_kg.650把x80代入回归方程得其预测值580250650(kg)合 作 探 究攻 重 难相关关系的判断(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A正方体的棱长和体积B圆半径和圆的面积C正n边形的边数和内角度数之和D人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，得散点图；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1,2，1
5、0)，得散点图.由这两个散点图可以判断()图232A变量x与y正相关，u与v正相关B变量x与y正相关，u与v负相关C变量x与y负相关，u与v正相关D变量x与y负相关，u与v负相关思路探究结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断(1)D(2)C(1)A、B、C都是函数关系，对于A，Va3；对于B，Sr2；对于C，g(n)(n2).而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，选D.(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系规律方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变
6、量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.跟踪训练1某公司20092019年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份200920192019201920192019利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D利润中位数是17，x与y有负线性相关关系C由表知，利润中位数是(1618)17，且y随x的增大而增大，故选C.求回归直线方程探究问题1怎样判断一组数据是否具有线性相
7、关关系？提示画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系2最小二乘法的实质是什么？任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？提示实际上，最小二乘法就是从整体上看，使各点与回归直线的距离最小用最小二乘法求回归直线方程的前提是所给数据是线性相关的，不是线性相关的数据，求出回归直线方程是无意义的3回归系数的含义是什么？提示代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数当0时，两变量呈正相关；当0时，两变量呈负相关一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x(个)102030405060708
8、090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程思路探究解(1)画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系(2)列表、计算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 20055，91.7，x38 500，iyi55 9500.668，91.70.6685554.96.即所求的回归直线方程为：0
9、.668x54.96.母题探究：1.(变条件)已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图，y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有相关关系，用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程解(1)散点图如图所示：由图知y与x具有线性相关关系(2)，iyi16122039，1491630，0，所以x为所求回归直线方程2(变结论)本例条件不变，若已知y与x具有相关关系，且线性回归方程为kx60，求k值解由题意可求得55，91.7，代入kx60，得k0.576.规律方法1求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)(数据一般由题目给出)(2)作
10、出散点图，确定x，y具有线性相关关系(3)把数据制成表格，计算出x，xiyi.(4)计算，x，xiyi.(5)代入公式计算，公式为(6)写出回归直线方程bxa.2回归直线方程必过样本中心点(，)利用回归方程对总体进行估计下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归直线方程bxa；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
11、？【导学号：31892019】思路探究(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数，的值；(3)实际上就是求当x100时，对应的v的值解(1)散点图，如图所示：(2)由题意，得iyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，3242526286，0.7，3.50.74.50.35，故线性回归直线方程为0.7x0.35.(3)根据回归直线方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.71000.3570.35(吨)，故耗能减少了9070.3519.65(吨)标准煤规律方法回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否
12、线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；(2)求线性回归直线方程，注意运算的正确性；(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.跟踪训练2某种产品的广告费支出y(百万元)与销售额x(百万元)之间的关系如下表所示x8121416y58911(1)假定y与x之间存在线性相关关系，求其回归直线方程(2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？解(1)设回归直线方程为bxa，则，则所求回归直线方程为x.(2)由x60，得x84，所以实际销售额不少于84百万元当 堂 达 标固 双 基1设一个回归方程31.2x，则变量x增加一个单位时()Ay平均增加1.2个单位B
13、y平均增加3个单位Cy平均减少1.2个单位Dy平均减少3个单位A由1.20，故选A.2下列有关线性回归的说法，不正确的是()A变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C回归直线方程最能代表观测值x、y之间的线性关系D任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线D只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线3已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图233所示，则其回归方程可能为()A.1.5x2B.1.5x2C.1.5x2D.1.5x2图233
14、B由散点图知，变量x、y呈负相关，且回归直线在y轴上的截距大于0，故0，0.因此回归方程可能为1.5x2.4已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4A因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.5对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示x24568y3040605070若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，求这条回归直线的方程解由题意可知5，50，即样本中心为(5,50)，设回归直线方程为6.5xa，回归直线过样本中心(5,50)，506.55，即17.5，回归直线方程为6.5x17.5.第 11 页