1、 反函数的概念 【教学目标】1.理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；掌握求反函数的基本步骤，会求简单有理函数的反函数，理解原函数和反函数之间的内在联系。2.通过观察、试验、分析、比较、归纳等数学研究的方法，体验自主地学习、独立地探究问题的探索过程，激发学习热情.【教学重点】反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.【教学难点】反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.【情景引入】情景资源1：在两种温度度量制摄氏度()和华氏度（）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据如下表，但所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？ 020351001
2、15326895212239【概念形成】以情景中的函数为例，从函数的定义出发，引出反函数的定义。介绍反函数的记号；了解表示反函数的符号，表示对应法则.探求反函数成立的条件：【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，易，理解、逻辑思维能力【题目】对于函数（）（1）它有反函数吗？（2）如果改变其定义域，会存在反函数吗？【解答】（1）因为对于每一个，不是唯一的与之对应，所以不存在反函数。（2）如果对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应，即与必须一一对应时，则存在反函数.所以只须将定义域改为或均存在反函数。【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下）
3、，反函数，填空题，易，理解、逻辑思维能力【题目】（1）（）的反函数是 （2）（）的反函数是 【解答】（1）（）；（2）（）【概念应用】探索求反函数的方法.（课本例题）【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，易，理解、逻辑思维能力【题目】 求下列函数的反函数：（1）（2）（3）（4）【解答】（1）；（2）；（3）（）；（4）. 说明：学生分四组探索求反函数的方法，教师巡视，把典型错误及正确解法投影.归纳求反函数的方法：（1）变形:解方程得；（2）互换:互换的位置，得；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.【属性】高一
4、（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，作图题，易，理解、逻辑思维能力【题目】在同一坐标下，画出下列函数及其反函数的图像：（1）；（2）；（3）；（4）。【解答】教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系.从函数角度看：若函数有反函数，则 的反函数是，即和互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称.从单调性来看：若原函数是单调函数，则其反函数也是单调函数，他们具有相同的单调性. 【课堂反馈】加强训练，深化理解，巩固方法【属性】高一（下），
5、幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P15练习4.5第1题【解答】选D。因函数存在反函数的前提是：函数是一一对应的关系。【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P15练习4.5第2题：求函数的反函数的定义域。【解答】因反函数的定义域是原函数的值域，由，可知，所以函数的反函数的定义域为。【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P16练习4.5第3题：求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）； （2）
6、，；（3）； （4）。【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P16练习4.5第4题：函数 与它的反函数的图像（A）关于y轴对称； （B）关于原点对称；(C)关于直线x+y=0对称； (D) 关于直线xy=0对称。【解答】选D.【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P16练习4.5第5题：函数的反函数的图像经过点（A）（1,3）； （B）（0,1）； (C)（3,1）； (D)（1,0）.【解答】选D.【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解
7、答题，易，理解、逻辑思维能力【题目】课本P16练习4.5第6题：已知，求的解析式。【解答】.【课堂小结】反函数的概念及求法；函数及其反函数的关系；解方程方法、数形结合思想。【作业布置】 课本练习册P3，习题4.5 A组.【情景资源】情景资源2：物体运动的平均速度是，则运动的路程是时间的函数：，那么对于给定的路程，其所用的时间是否是唯一确定呢？。情景资源3：圆面积（cm）是半径（cm）的函数：，那么对于给定的圆面积（正数），其半径是否是唯一确定呢？。【题目资源】【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，填空题，易，理解、逻辑思维能力【题目】给出下列几个函数：；其中不存在反函数
8、的函数序号是 。【解答】、.【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，易，理解、逻辑思维能力【题目】若指数函数的反函数的图像经过点（，），则此指数函数为 （A） （B） （C）（）【解答】选A.【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，易，理解、逻辑思维能力【题目】设，则 （A）在（上是增函数 （B）在（上是减函数 （C）在上是减函数（）在（上是增函数【解答】因反函数的定义域为（，原函数是增函数，故选D.【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，中，理解、逻辑思维能力【题目】若函数是函数的反函数，则的图像为 x
9、xxxyyyyOOOOABCD【解答】因原函数图像与反函数图像关于y轴对称，故选B【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，选择题，中，理解、逻辑思维能力【题目】反函数是 （ ）（A）；（B）；（C）；（D）。【解答】反函数的定义域为，解出x，选B。【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，中，理解、逻辑思维能力【题目】若有反函数且它的反函数就是本身，求应满足的条件.【解答】由，得.由，知.所以函数的反函数为.由于函数的反函数就是函数本身，即有，且.于是，解得，或，为任意实数.教师点拨：提出两个问题：什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(等)【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，难，理解、逻辑思维能力【题目】求函数的反函数。【解答】当时，由得， 当时，由得，所以所求的反函数为【属性】高一（下），幂函数、指数函数和对数函数（下），反函数，解答题，难，理解、逻辑思维能力【题目】求函数的反函数。判断命题“若函数与的图像有公共点，则公共点必在直线上”的真假，并说明理由【解答】函数的反函数是。命题“若函数与的图像有公共点，则公共点必在直线上”是假命题。此例就是一个说明。当时，函数与的图像有无数个公共点。第 6 页
