1、154角的平分线课题15.4角的平分线授课人教学目标知识技能使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题数学思考通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力问题解决初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用；培养学生的数学建模能力情感态度在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强学生解决问题的信心，获得解决问题的成功体验教学重点角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用教学难点理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个
2、定理的区别与联系授课类型新授课课时1课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【思考并交流】怎样作出角的平分线？学生活动：学生自主探究并与同学进行交流. 学生容易想到的方法是通过量角器来作角的平分线. 教师点拨：先给出学生回答想法的时间，然后适时引出这课时要学习的内容 通过角的平分线的作图引入新课，一方面契合了学生已有的知识经验，有效激发了学生的学习兴趣和探究热情，另一方面也为新课的引入做铺垫.(续表)活动二：实践探究交流新知教师点拨：通过折纸可以作出一个角的平分线. 教师活动：教师组织并引导学生通过折纸的办法作出一个角的平分线.师生合作交流：师生通过合作交流得
3、到下列结论：【小结】角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.教师点拨：除了用量角器和折纸的方法，我们还可以利用尺规作图的方法作出角的平分线.师生合作交流：师生合作交流探究出角的平分线的尺规作图方法：AOB的平分线的尺规作图法：(1)以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M，N.(2)分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径在角的内部画弧交于点P.(3)作射线OP.则射线OP即为AOB的平分线.【思考并探究】引导学生完成教材P142页的“思考”学生活动：学生自主探究并进行交流.教师活动：组织引导学生进行自主探究与交流活动.教师点拨：由平角的平分线的作图方法我们可以类比得到“经
4、过一点作已知直线的垂线”的尺规作图法.师生合作交流：师生合作交流探究出垂线的尺规作图法.1. 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线已知：直线AB和直线AB上一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.2. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线AB和直线AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使K和C在直线AB的两旁；(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.【思维提升】见教材P
5、143的第一个“思考” 为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理吗？通过学生的自主探究、师生的合作交流等活动的设计引导学生探究出“角的平分线”、“经过一点作已知直线的垂线”等图形的尺规作法. 通过学生的自主探究、师生的合作交流等活动的设计引导学生探究出角平分线的性质定理和判定定理.(续表)活动二：实践探究交流新知【思考并交流】见教材P143的第二个“思考” 如图，OP是AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PCOA，PDOB，点C，D是垂足你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想教师点拨：你能证明你的猜想吗？学生活动：学生自主探究出证明方法.师生合作交流：师生
6、合作交流得到下列结论：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.图1用几何语言表示为：如图154，OE平分AOB，点P在OE上且PCOA，PDOB，PCPD.【思维提升】见教材P144的“思考” 写出上面角平分线性质定理的逆命题这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，请写出已知、求证，并给出证明.学生活动：学生自主探究并与同学进行交流.教师活动：组织引导学生进行探究交流活动并归纳出下列定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用几何语言表示为：如图154，已知AOB，PCOA于点C，PDOB于点D且PCPD，OE平分AOB.【教师点拨】强调点是“角的内部”的点.活动三：开放训练
7、体现应用【应用举例】例1已知：线段a和，如图求作：ABC，使得ACB90，BCa，ABC.师生合作交流得到下列作法：作法：(1)作BCa；(2)过点C作射线CN垂直于BC；(3)作ABC，BA交射线CM于点A.则ABC即为所求作的三角形(图略).例2见教材P145的例题 已知：如图，ABC中，B的平分线BE与C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分BAC.师生合作交流：师生合作交流探究得出解题思路例1，例2的设计是为了巩固所学的新知识.(续表)活动三：开放训练体现应用证明：如图154，过点P分别作PMBC，PNAC，PQAB，垂足分别为M，N，Q.BE是B的平分线，点P在BE上，且PMBC，P
8、NAC，PQAB.PQPM.同理可证：PNPM，PNPQ.又PNAC，PQAB，AP平分BAC.教师点拨：从本题的解答中，你能发现什么结论？师生合作交流：师生合作交流得到下列结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.【拓展提升】例3如图154，已知AOB和线段CD，通过作图求一点P，使得点P在AOB的平分线上同时又使得PCPD.教师点拨：本题的关键是如何使得PCPD，其办法是作出线段CD的垂直平分线MN，直线MN与AOB的平分线OQ的交点就是所求作的点P.学生活动：学生在教师的引导下探究出答案.作法：(1)作AOB的平分线OQ；(2)作线段CD的垂直平分线MN，交射线O
9、Q于点P.则点P即为所求作的点.例4如图154，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔A的距离是3000 m根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试(比例尺为1100 000)图154教师点拨：古城到两条河岸的距离相等说明古城在两条河岸所形成的夹角的平分线上，到古塔的距离是3000 m反映到图形上就是到古塔的距离为3 cm.学生活动：学生自主探究活动并与同学进行交流.师生合作交流：师生合作交流得到答案 例3和例4的目的是进一步巩固和强化所学的新知识，同时也是对学生知识面和解
10、题方法的拓展和提高.(续表)活动三：开放训练体现应用图154解：如图154：作法：(1)以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.(2)按比例尺计算得古塔与点P的图上距离为3 cm，以古塔为圆心，以3 cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求.活动四：课堂总结反思【课堂小结】1. 学生谈谈本节课的收获.2. 本节课的主要内容有：角平分线的性质定理和判定定理培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价.【当堂训练】1. 教材P14
11、4、P146中的练习.2. 教材P146习题15.4.当堂检测，及时反馈学习效果.【板书设计】15.4角的平分线1. 角平分线的性质定理2. 角平分线的判定定理3. 三角形三条内角平分线相交于一点提纲挈领，重点突出.【教学反思】授课流程反思本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.讲授效果反思本节课借助直观的模型引导学生进行观察、猜想、验证等探究活动，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和判定定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和判定定理解题时，容易忽视“点到角两边的距离”这一条件，需要在今后的教学上和作业中进行巩固和训练.反思，更进一步提升.第 6 页
