1、七年级数学竞赛系列讲座(9)应用题（一）一、 一、知识要点1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3) (3) 根据这个相等关系列出方程；(4) (4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) (5) 写出答案(包括单位名称)。3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度时间=路程 4
2、、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。二、 二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题
3、意得方程组解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得 (x+y)( +)=9+所以 x+y= (3)(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-所以 x-y= (4)由(3)、(4)得 x=所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。例2 公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于
4、 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例3 摄制
5、组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为D，傍晚 汽车在E 休息 A D C E B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD=DC 又由已知，EB=CE 两式相加得：AD+ EB=DE因为DE=400千米，所以AD+ EB=400=200千米，从而A、B两市相距
6、400+200=600千米评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。例4 有编号为、的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1 v2 v3 v 0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下： (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过1小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过1小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v)1+v1= vi 1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为：(小
7、时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有 可得到 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离（）30（ ）10； 乙追上丙所用时间秒所以第110
8、秒时，乙追上丙评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差时间。例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7由题意得：3 x+x+ x+7=17，x=2这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926答：这个三位数是926评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中
9、间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得 解这个方程得：x=857, 999-x=142答：大数为857，小数为142。例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了1小时里程碑上的数字为，又行驶了1小时里程碑上的数字为，求每次看到的数字和卡车的速度。分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。解：依题意得：-=-，即+=2，所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。评注：本题得
10、到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。例9 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为，试问擦去的数是什么数？分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。解：设写出了n个自然数1，2，n中擦去的是k，则由题意得：即因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69于是由，可解得k=7，即擦去的数为7。评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。三、 三、巩固练习选择题1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千
11、米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若ab，则( )先到达N地。A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )A、24千米 B、12千米 C、48千米 D、40千米3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )A、2千米/时 B、4千米/时 C、5千米/时 D、6千米/时4、一个两位数
12、，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( )A、43 B、34 C、25 D、525、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是( )A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.3756、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有( ) (第六届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、1个 B、4个 C、10个 D、超过10个填空题7、早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开
13、化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时60千米，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。则第一辆车是8点 分离开化肥厂的.8、甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地。甲走全程的平均速度是 千米/小时。(第六届迎春杯初赛试题)9、一船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆
14、顺流漂到上海要 昼夜10、一个六位数的4倍是，则这个六位数是 11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、21、19，则这四个数中最大的一个是 12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位自然数的个数是 解答题13、一列客车的速度是60千米/时，一列货车的速度是45千米/时，货车比客车长135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1分30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？14、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔分钟相遇一次，若反向跑步
15、则每隔40秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，恰好也到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题)16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题)17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为5，求这个两位数。18、一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m倍,求m的值。19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70而小于90，求这样的两位数。20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。6
