1、11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时 两个计数原理及其简单应用 内 容 标 准学 科 素 养1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.利用数学抽象提升数学建模和数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 分类加法计数原理预习教材P24，思考并完成以下问题从今天开始我们来学习选修 23 第一章计数原理那么计数原理能解决什么问题呢？(1)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？(2)第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶
2、赴天津为游客提供导游服务，每天有 7 个航班，6 列火车该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？提示：(1)因为英文字母共有 26 个，阿拉伯数字 09 共有 10 个，所以总共可以编出 261036 种不同的号码(2)两类，即乘飞机、坐火车共有 7613(种)不同的出行方法 知识梳理 分类加法计数原理(1)完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法(2)如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2类方案中有 m2种不同的方法，在第 n 类方案
3、中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有_种不同的方法mnm1m2m3mn知识点二 分步乘法计数原理预习教材P46，思考并完成以下问题如果完成一件事情有若干个步骤，在每一个步骤中有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？(1)用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以 A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？(2)若一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有 7 个航班，从青岛到天津每天有 6 列火车该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？共有多少种出行方法？提示：(1)由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与
4、9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6954 个不同的号码(2)两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津共有 7642(种)不同的出行方法 知识梳理 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N种不同的方法mn思考 1：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第 3 步有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？思考 2：如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？提示：m
5、1m2m3.提示：m1m2mn.自我检测1已知某校高二(1)班有 54 人，高二(2)班有 56 人，现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛，则共有_种不同的选法2已知某乒乓球队有男队员 9 人，女队员 8 人，现从男、女队员中各选 1 人去参加比赛，则共有_种不同的选法答案：110答案：72探究一 分类加法计数原理的应用阅读教材 P2 例 1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学 生物学数学 化学会计学 医学信息技术学 物理学法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？题型：分类加法计数原理的
6、应用方法步骤：(1)分两类：在 A 大学中有 5 种选择方法在 B 大学中有 4 种选择方法(2)由分类加法计数原理得共有 9 种选择方法例 1 某校高三共有三个班，各班人数如表所示：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解析(1)从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法；
7、第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法；第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，共有 506055165 种不同的选法(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案第 1 类，从高三(1)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 2 类，从高三(2)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 3 类，从高三(3)班女生中选出 1 名学生，有 20 种不同的选法根据分类加法计数原理知，从
8、高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，共有 30302080 种不同的选法例 2 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_解析(1)法一：根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2个，1 个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8765432136(个)法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是 1,2,3，8 中的一个，故共有 8 个；个位是 8，则十位可以是 1,2,3，7 中的一
9、个，故共有 7 个；同理，个位是 7 的有 6 个；个位是 2 的有 1 个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8765432136(个)答案 36方法技巧 使用分类加法计数原理计数的两个条件(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理提醒：分类时一定要做到不重不漏，分类对象唯一，分类标准明确延伸探究 若本例 2 条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个解析：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1
10、个当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个，当个位数字是 0 时，共 9 个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1357925(个)跟踪探究 1.甲盒中有 3 个编号不同的红球，乙盒中有 5 个编号不同的白球，某同学要从甲、乙两盒中摸出 1 个球，则不同的方法有()A3 种 B5 种C8 种D15 种解析：要完成“摸出 1 个球”这件事，有两类不同的方法第 1 类，从甲盒中取出 1 个球，有 3 种不同的取法；第 2 类，从乙盒中取出 1 个球，有 5 种不同的
11、取法，故共有 358 种不同的方法答案：C2满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10解析：当 a0 时，2xb0 总有实数根，所以(a，b)的取值有 4 个当 a0 时，需 44ab0，所以 ab1.a1 时，b 的取值有 4 个，a1 时，b 的取值有 3 个，a2 时，b 的取值有 2 个所以(a，b)的取法有 9 个综合知，(a，b)的取法有 4913 个答案：B探究二 分步乘法计数原理的应用阅读教材 P4 例 2设某班有男生 30 名，女生 24 名现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共
12、有多少种不同的选法？题型：分步乘法计数原理的应用方法步骤：(1)选出一组代表可分为两个步骤第一步选男生；第二步选女生，(2)由分步乘法计数原理得出共有的选法种数例 3 一种号码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字，这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)解析 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，所以 m110；第二步，有 10 种拨号方式，所以 m210；第三步，有 10 种拨号方式，所以 m310；第四步，有 10 种拨号方式，所以 m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成 N1010101010 000(个
13、)四位数的号码方法技巧 1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点一是要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事2利用分步乘法计数原理计数时的解题流程延伸探究 若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，即 m110；第二步，去掉第一步拨的数字，有 9 种拨号方式，即 m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有 8 种拨号方式，即 m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有 7 种拨号方式，即 m47.根据分步乘法计数原理，共可以组
14、成 N109875 040(个)四位数的号码跟踪探究 3.已知 a3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示不同的圆的个数为_解析：圆(xa)2(yb)2r2由 3 个量 a，b，r 确定，确定 a，b，r 分别有 3 种，4种，2 种选法由分步乘法计数原理，表示不同圆的个数为 34224.答案：244定义集合 A 与 B 之间的运算 A*B(x，y)|xA，yB，若 Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集合 A*B 中元素个数为_解析：确定有序数对(x，y)需要两个步骤，第一步，确定 x 的值有 3 种不同的方法；第二步，确定 y 的值有 4 种不同的方法所以
15、集合 A*B 中元素个数为 3412.答案：12探究三 辨析两个计数原理阅读教材 P5 例 3书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书(1)从书架中任取 1 本书，有多少种不同取法？(2)从书架的第 1,2,3 层各取 1 本书，有多少种不同取法？题型：两个计数原理的综合应用方法步骤：(1)第一问用分类计数原理解决(2)第二问用分步计数原理解决第一步从第一层取；第二步从第二层取；第三步从第三层取从而得出共有的取法种数例 4 现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不
16、同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解析(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理，共有 52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种，2 种，7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735
17、(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种)不同的选法所以共有 10351459(种)不同的选法方法技巧 利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”跟踪探究 5.现有高一学生 50 人，高二学生 42 人，高三学生 30 人，组成冬令营(1)若从中选 1
18、 人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选 1 名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解析：(1)从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法；从高二选 1 人作总负责人有 42种选法；从高三选 1 人作总负责人有 30 种选法由分类加法计数原理，可知共有504230122(种)选法(2)从高一选 1 名负责人有 50 种选法；从高二选 1 名负责人有 42 种选法；从高三选1名负责人有 30种选法由分步乘法计数原理，可知共有 50423063 000(种)选法(3)高一和高二各选 1 人作为中心发言人，有
19、50422 100(种)选法；高二和高三各选 1 人作为中心发言人，有 42301 260(种)选法；高一和高三各选 1 人作为中心发言人，有 50301 500(种)选法故共有 2 1001 2601 5004 860(种)选法课后小结(1)应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系(2)通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用素养培优1.因分辨不清两个计数原理而致错(1)把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有()A24 种 B4 种C43 种D34
20、种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 趟，轮船有 3 班，则此人的走法共有_种易错分析：(1)若选择信箱作为标准，则第一个信箱可以有 3 封信去投，共有 3 种投法；同理第二个信箱也有 3 种投法；依次类推共有 333334 种投法，故而错选 D；(2)若搞不清分步还是分类，把此题当成分步，则有 3412 种，从而出错自我纠正：(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法，只要把这 3 封信投完，就完成了这件事情由分步乘法计数原理可得共有 43 种方法，故选 C.(2)
21、因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地根据分类加法计数原理可得此人的走法共有 437(种)答案：(1)C(2)72利用两个计数原理时出现重复或遗漏问题从3，2，1,0,1,2,3中，任取 3 个不同的数作为抛物线方程 yax2bxc 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线的条数是_易错分析：因为抛物线经过原点，所以 c0，从而 c 只有 1 种取值，又抛物线的顶点在第一象限，所以 b2a0，4acb24a0，由 c0 知 a0，b0，所以 a3，2，1，b1,2,3满足条件的抛物线可由 a，b，c 确定a 有 3
22、种取法，b 有 3 种取法，c 只有 1 种取法由分类加法计数原理知，表示不同的抛物线有 N3317 条考查数学抽象及逻辑推理的学科素养自我纠正：因为抛物线经过原点，所以 c0，从而知 c 只有 1 种取值又抛物线 yax2bxc 的顶点在第一象限，所以顶点坐标满足 b2a0，4acb24a0.由 c0，解得 a0，b0，所以 a3，2，1，b1,2,3，这样要求的抛物线的条数可由 a，b，c 的取值来确定：第一步：确定 a 的值，有 3 种方法；第二步：确定 b 的值，有 3 种方法；第三步：确定 c 的值，有 1 种方法由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有 N3319 条答案：904课时 跟踪训练