1、1 第二章导数及其应用习题课 导数的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意的 xR,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0 或 a=7C.a21D.a=0 或 a=21答案 A解析 f(x)=3x2+2ax+7a,当=4a2-84a0,即 0a21 时,f(x)0 恒成立,函数 f(x)不存在极值点.2.已知函数 f(x)=x-sin x,则不等式 f(x+1)+f(2-2x)0 的解集是()A.-,-B.-,+C.(-,3)D.(3,+)答案 C解析f(x)=x-sinx,f(-x)=-x+sinx=-f(x),即函数 f(x)为奇函
2、数,函数的导数 f(x)=1-cosx0,则函数 f(x)是增函数,则不等式 f(x+1)+f(2-2x)0 等价于 f(x+1)-f(2-2x)=f(2x-2),即 x+12x-2,解得 x3,故不等式的解集为(-,3).3.已知 f(x)=kx2+2x+2k 在(1,2)内有极值点,则 k 的取值范围是()A.-1k-B.k-C.k1D.k 或 k12 答案 A解析 f(x)=2kx+2,由题意知 f(1)f(2)0,即(2k+2)(4k+2)0,解得-1k0.设总利润为 y 万元,y=x-1200-x3=500 x3-1200,则 y=x2.令 y=0,得 x=25.故当 0 x0,当
3、x25 时,y0,求不等式 f(x)+k(1-x)f(x)0 的解集.解(1)f(x)=ex-ex=-ex.由 f(x)=0,得 x=1.当 x0 时,f(x)0;3 当 0 x1 时,f(x)1 时,f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间是1,+),单调递减区间是(-,0)和(0,1).(2)由 f(x)+k(1-x)f(x)=-ex=-ex0,得(x-1)(kx-1)0.故当 0k1 时,解集是|.关键能力提升练7.已知函数 f(x)=ex-ln(x+3),则下列有关描述正确的是()A.x(-3,+),f(x)B.x(-3,+),f(x)-C.x0(-3,+),f(x0)=-1D.f(x
4、)min(1,2)答案 B解析f(x)=ex-ln(x+3),f(x)=ex-,显然 f(x)在(-3,+)内单调递增,又 f(-1)=0,f(x)在(-3,+)上有唯一的零点,设为 x0,且 x0(-1,0),则 x=x0为 f(x)的极小值点,也是最小值点,且 ,即 x0=-ln(x0+3),故 f(x)f(x0)=-ln(x0+3)=+x0-,故选 B.8.已知函数 f(x)满足 ex(f(x)+2f(x)=,f =,若对满足 ab=32e 的任意正数 a,b 都有 f(2x),则 x 的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,+)C.(0,1)D.(1,+)答案 B解析根据题意,若
5、exf(x)+2f(x)=,则 (f(x)+2f(x)=ex,即(f(x)=ex,设 g(x)=f(x),则 f(x)=,且 g(x)=(f(x)+2f(x)=ex,则 f(x)=4 =-=-,令 h(x)=ex-2g(x),则 h(x)=(ex)-2g(x)=-,当 x 0,时,h(x)0,h(x)单调递增,当 x ,+时,h(x)0,h(x)单调递减,则 h(x)h =-2g =-2ef =0,即有 f(x)0,则函数 f(x)在0,+)内单调递减.又由 2 ,当且仅当 a=b=4 时等号成立,任意正数 a,b 都有 f(2x),则 f(2x),解得 x-1,则不等式的解集为(-1,+).
6、9.(多选题)已知函数 f(x)=xln x+x2,x0是函数 f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是()A.0 x0 C.f(x0)+2x00答案 AD解析函数 f(x)=xlnx+x2(x0),f(x)=lnx+1+2x,易知 f(x)=lnx+1+2x 在(0,+)上单调递增,x0是函数 f(x)的极值点,f(x0)=0,即 lnx0+1+2x0=0,而 f =0,当 x0,f(x)-,0 x00,即选项 D 正确,选项 C 不正确.选 AD.5 10.(多选题)已知函数 f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若 f(x)是增函数,则 a1C.
7、当 a=-3 时,函数 f(x)恰有两个零点D.当 a=3 时,函数 f(x)恰有两个极值点答案 ABD解析对 A,f(x)=sinx+x3-ax 的定义域为 R,且 f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sinx+x3-ax)=-f(x).故 A 正确.对 B,f(x)=cosx+3x2-a,因为 f(x)是增函数,故 cosx+3x2-a0 恒成立,即 acosx+3x2恒成立.令 g(x)=cosx+3x2,则 g(x)=6x-sinx,设 h(x)=6x-sinx,h(x)=6-cosx0,故 g(x)=6x-sinx 单调递增,又 g(0)=0,故当 x0 时 g(x)0
8、 时 g(x)0.故 g(x)=cosx+3x2最小值为 g(0)=1.故 a1.故 B 正确.对 C,当 a=-3 时,由 f(x)=cosx+3x2-a0 在 R 上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故 C错误.对 D,当 a=3 时 f(x)=sinx+x3-3x,f(x)=cosx+3x2-3,令 cosx+3x2-3=0,则有 cosx=3-3x2.在同一坐标系中作出 y=cosx,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数 f(x)恰有两个极值点.故 D 正确.故选 ABD.11.已知函数 f(x)=x3-3x+m,若关于 x 的方程 f(
9、x)=0 在0,2上有根,则实数 m 的取值范围是 .答案-2,2解析令 g(x)=x3-3x,x0,2,则易知函数 g(x)在0,1内单调递减,在1,2内单调递增,又 g(1)=-2,g(2)=2,g(0)=0,函数 g(x)=x3-3x,x0,2的值域是-2,2.关于 x 的方程 f(x)=0 在0,2上有根,则-m-2,2,可得 m-2,2.12.已知函数 f(x)=x2-2ln x,若关于 x 的不等式 f(x)-m0 在1,e上有实数解,则实数 m 的取值范围是 .答案(-,e2-2解析由 f(x)-m0 得 f(x)m,6 函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-,当
10、x1,e时,f(x)0,此时,函数 f(x)单调递增,所以 f(1)f(x)f(e),即 1f(x)e2-2,要使 f(x)-m0 在1,e上有实数解,则有 me2-2.13.已知函数 y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,其中 kN+.若 a1=16,则 a1+a3+a5的值是 .答案 21解析由于 y=2x,则函数 y=x2(x0)在点(a1,)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为 y-256=32(x-16).令 y=0,得 a2=8.同理函数 y=x2(x0)在点(a2,)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为 y-
11、64=16(x-8).令 y=0,得 a3=4,依次同理求得 a4=2,a5=1.所以 a1+a3+a5=21.14.已知函数 f(x)=x2-aln x(aR),(1)若 f(x)在 x=2 时取得极值,求 a 的值;(2)求 f(x)的单调区间;(3)求证:当 x1 时,x2+ln x x3.(1)解 f(x)=x-,x=2 是一个极值点,2-=0,则 a=4.此时 f(x)=x-,f(x)的定义域是(0,+),当 x(0,2)时,f(x)0,当 a=4 时,x=2 是一个极小值点,则 a=4.(2)解f(x)=x-,当 a0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+).当 a0 时,f(x)
12、=x-=-,7 当 0 x 时,f(x)时,f(x)0,函数 f(x)的单调递增区间为(,+),递减区间为(0,).(3)证明设 g(x)=x3-x2-lnx,x1,g(x)=2x2-x-=-0,g(x)在 x(1,+)上单调递增,当 x1 时,g(x)g(1)=0,当 x1 时,x2+lnx x3.学科素养创新练15.已知函数 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x+a,其中 a 为常数.(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值;(2)当 a 时,求证:对x1x2,且 x1,x2(0,+),不等式 -恒成立.(1)解当 a=0 时,f(x)=xlnx-x,f(x)=lnx,当 x(0,
13、1)时,f(x)0,即 f(x)在(1,+)上单调递增.f(x)的极小值为 f(1)=-1,无极大值.(2)证明根据题意,要证明对x1,x2(0,+),且 x1(x2+a)ln 1+.设 g(x)=(x+a)ln 1+,由单调性的定义知要证明原不等式等价于证明 g(x)=(x+a)ln 1+在(0,+)上单调递减.即证 g(x)=ln 1+-0 在(0,+)上恒成立,即证 ln 1+.a ,8 只需证明 ln 1+,等价于证明 ln 1+-0.设 h(x)=ln 1+-(x0),令 t=1+,则 t1,h(x)=g(t)=lnt-,只需证当 t1 时,g(t)0.g(t)=-0,g(t)单调递减,g(t)g(1)=0,故原不等式成立.
