1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价十五复数的乘法与除法 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于()A.-iB.iC.-1D.1【解析】选A.z=-i.2.复数z满足(1-2i)z=5(i是虚数单位),则z的虚部为()A.iB.C.2iD.2【解析】选D.由(1-2i)z=5,得z=1+2i.所以z的虚部为2.3.已知复数z=,是z的共轭复数,则z等于()A.B.C.1D.2【解析】选A.因为z=-+,所以=-,所以z=.4.(2
2、019全国卷)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=的实部是_.【解析】z=3+i,则实部为3.答案:36.i+i2+i3+i2 022=_.【解析】i+i2+i3+i2 022=(i+i2+i3+i4)+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)+i2 021+i2 022=-1+i.答案:-1+i三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知复数z满足:z+2zi=8+6i,求复数z的实部
3、与虚部的和.【解析】设z=a+bi(a,bR),则z=a2+b2,所以a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,即a2+b2-2b+2ai=8+6i,所以解得所以a+b=4,所以复数z的实部与虚部的和是4.8.定义复数z的倒数为,若z2=,求z.【解析】设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,=,得若b=0,则a2=,得a=1;若b0,则2a=,即a2+b2=,a2-b2=-2a2,所以2a2=-2a2+,即a3=,得a=, b2=3a2=,得b =.所以z1=1,z2=+i,z3=-i.【一题多解】由于复数z满足z2=,得z3-1=0.所以(z-1) (z2+z+1)=0,得
4、z-1=0,z2+z+1=0,所以=-=,所以z1=1,z2=+i,z3=-i. (15分钟30分)1.(5分)i为虚数单位,+等于()A.0B.2iC.-2iD.4i【解析】选A.=-i,=i,=-i,=i,所以+=0.2.(5分)已知z=a-i2 019,且|z+i|=3,则实数a的值为()A.0B.1C.D.【解析】选C.因为z=a-i2 019=a+i,且|z+i|=|a+2i|=3,所以=3,解得a=.3.(5分)已知i为虚数单位,则集合A=x|x=in,nZ中元素的个数为_.【解析】A=x=i1,i2,i3,i4x=i,-1,-i,1(4个一周期)共4个元素.答案:44.(5分)瑞
5、士数学家欧拉于1777年在微分公式一书中,第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.若复数z=(i为虚数单位),则复数z的虚部为_;|z|=_.【解析】z=2-3i,故z的虚部为-3,模为=.答案:-35.(10分)已知复数z满足=1,求证:z+是实数.【解题指南】将复数表示为a+bi(a,bR)的形式,根据条件以及复数的除法运算法则计算即可证明.也可以应用共轭复数的性质计算证明.【证明】方法一:计算复数z+的虚部为零即可.设z=a+bi(a,bR),则=1a2+b2=1, 得z+=(a+bi)+=(a+bi)+=2a,所以z+为实数.方法二:利用共轭复数的性质z=计算.设z
6、=a+bi(a,bR),z=1,所以z+=z+=z+=z+=2a为实数.方法三:利用复数为实数的充要条件z=计算.只要证z+=,z+-=z-+-=z-+=z-+-z=0.所以z+是实数.【补偿训练】已知虚数z满足z+是实数,求证:=1.【证明】方法一:设z=a+bi(a,bR), 因为z+=(a+bi)+=(a+bi)+=+i为实数,所以b-=0,因为z为虚数,b0,所以1-=0,即a2+b2=1,即=1.方法二:因为z+为实数,所以z+-=0.z-+-=z-+=(z-)=(z-)=0,z为虚数,所以z-0,即1-=0=1.1.若复数8-6i(i是虚数单位)的平方根为z,则z=_.【解析】设z
7、=x+yi(x,yR),复数8-6i(i是虚数单位)的平方根为z,所以z2=8-6i,x2-y2+2xyi=8-6i,所以,解得或.所以z=3-i或z=-3+i.答案:3-i或-3+i2.已知复数z在复平面上对应的点在第二象限,且满足z2=.(1)求复数z.(2)设z,z2,z3在复平面上的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a0),则=a-bi,故z2=a2-b2+2abi=a-bi.所以a2-b2=a,2ab=-b.又a0,解得a=-,b=,所以z=-+i.(2)由(1),得z=-+i,z2=-i,z3=1.z,z2,z3在复平面上对应的点分别为A,B,C,如图所示,则AB=,C到AB的距离d=,故SABC=.关闭Word文档返回原板块
