1、课时跟踪检测(八)一、选择题1已知函数f(n)且anf(n)f(n1),则a1a2a3a100()A0 B100 C100 D10 200解析:选B由题意,a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100,故选B.2九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”
2、是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为()A.钱 B.钱 C.钱 D.钱解析:选D设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意有解得故选D.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里解析:选B设等比数列an的首项为a1,公比为q,依题意有378,解得a1192,则a219296,即第二天走了96里,故选B.4已知数列an的通
3、项公式为anlog(n1)(n2)(nN*),我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”,则在(0,2 018内的所有“优数”的和为()A1 024 B2 012 C2 026 D2 036解析:选Ca1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k,kZ,令0n2k22 018,则22k2 020,10,an3an10,即3,数列an是首项a12,公比q3的等比数列,其前n项和Sn3n1,故选A.6设曲线y2 018xn1(nN*)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令anlog2 018xn,则a1a2a2 017的值为()
4、A2 018 B2 017 C1 D1解析:选D因为y2 018(n1)xn,则y|x12 018(n1),所以曲线在点(1,2 018)处的切线方程是y2 0182 018(n1)(x1),令y0,得xn,所以a1a2a2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 018log2 0181. 二、填空题7对于数列an,定义Hn为an的“优值”,现在已知某数列an的“优值”Hn2n1,记数列ankn的前n项和为Sn,若SnS5对任意的nN*恒成立,则实数k的取值范围为_解析:由Hn2n1,得n2n1a12a22n1an,(n1)2na12a22n2an1,得2n1ann2n1(n
5、1)2n,所以an2n2,ankn(2k)n2,又SnS5对任意的nN*恒成立,所以即解得k.答案:8(2017安阳检测)在数列an中,a12n1(nN*),且a11,若存在nN*使得ann(n1)成立,则实数的最小值为_解析:依题意得,数列的前n项和为2n1,当n2时,(2n1)(2n11)2n1,且2111211,因此2n1(nN*),.记bn,则bn0,1,即bn1bn,数列bn是递增数列,数列bn的最小项是b1.依题意得,存在nN*使得bn成立,即有b1,的最小值是.答案:9(2017德州模拟)已知四个数a1,a2,a3,a4依次成等比数列,且公比q(q0)不为1.将此数列删去一个数后
6、得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则q的取值集合是_解析:因为公比q不为1,所以不能删去a1或a4.设等差数列的公差为d,则若删去a2,则2a3a1a4,即2a1q2a1a1q3,2q21q3,整理得q2(q1)(q1)(q1),因为q1,所以q2q1,又q0,所以q;若删去a3,则2a2a1a4,即2a1qa1a1q3,2q1q3,整理得(q1)(q2q1)0,因为q1,所以q2q10,又q0,所以q.综上所述,q或q.答案:三、解答题10(2017惠州调研)已知数列an中,点(an,an1)在直线yx2上,且首项a11.(1)求数列an的通项公式;(2)数列an的前n项和为Sn,等比数
7、列bn中,b1a1,b2a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnSn的所有n的值解:(1)由已知得,a11,an1an2,即an1an2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中,b1a11,b2a23,所以q3,bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn,即n2,又nN*,所以n1或2.11(2017临川模拟)若数列bn对于任意的nN*,都有bn2bnd(常数),则称数列bn是公差为d的准等差数列如数列cn,若cn则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足a1a,对于nN*,都有anan12n.(1)求证:an是
8、准等差数列;(2)求an的通项公式及前20项和S20.解:(1)证明:anan12n(nN*),an1an22(n1)(nN*),得an2an2(nN*)an是公差为2的准等差数列(2)a1a,anan12n(nN*),a1a221,即a22a.由(1)得a1,a3,a5,是以a为首项,2为公差的等差数列;a2,a4,a6是以2a为首项,2为公差的等差数列当n为偶数时,an2a2na;当n为奇数时,ana2na1.anS20a1a2a3a4a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200.12已知函数f(x)定义在(1,1)上,f 1,满足f(x)f(y)f ,且x1
9、,xn1.(1)证明:f(x)为定义在(1,1)上的奇函数;(2)求f(xn)的表达式;(3)是否存在自然数m,使得对任意的nN*,有恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由解:(1)证明:x,y(1,1),f(x)f(y)f ,当xy0时,可得f(0)0.当x0时,f(0)f(y)f f(y),f(y)f(y),f(x)是(1,1)上的奇函数(2)f(xn1)f f f(xn)f(xn)2f(xn),2,又f(x1)f 1,f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为f(xn)2n1(nN*)(3)假设存在自然数m使得原不等式恒成立,即1216对任意的nN*恒成立,m16,故存在自然数m使得对任意的nN*,有恒成立,且m的最小值为16.