1、第1讲几何证明选讲考试要求1.平行线等分线段定理和平行截割定理，A级要求；2.相似三角形的判定定理及性质定理，B级要求；3.直角三角形射影定理，A级要求；4.圆周角定理及其推论，弦切角定理及其推论，B级要求；5.圆的切线的判定定理及性质定理，B级要求；6.相交弦定理、割线定理、切割线定理，B级要求；7.圆内接四边形的判定定理与性质定理，B级要求知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例2相似三角形的
2、判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积4圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数(3)切线的判定与性质定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线切线
3、的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项(9)圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形判定定理()如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；()如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆圆内接四边形性质定理()圆内接四
4、边形的对角互补；()圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.诊 断 自 测1(2016江苏卷)如图，在ABC中，ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDCABD.证明由BDAC.可得BDC90，由E为BC中点，可得DECEBC，则EDCC，由BDC90，得CDBC90，又ABC90，则ABDDBC90，ABDC，又EDCC，EDCABD.2(2017苏、锡、常、镇四市调研)如图，O为四边形ABCD的外接圆，且ABAD，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切求证：.证明连接AC.EA是圆O的切线，EABACB.ABAD，ACDACB.ACDEAB.圆O是四边形ABCD的外接圆，
5、DABE.CDAABE.，ABAD，.3(2017南通调研)如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小(1)证明由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)解因为ABEADC，所以，即ABACADAE又SABACsinBAC，且SADAE，故ABACsinBACADAE，则sinBAC1.又BAC为ABC的内角，所以BAC90.考点一相似三角形的判定及性质【例1】 (2015江苏卷)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求
6、证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.规律方法(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等【训练1】 (2017南京质检)如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2FBFC.证明E是RtACD斜边上的中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC，F是公共角，FB
7、DFDC，FD2FBFC.考点二圆周角、弦切角及圆的切线问题【例2】 如图所示，O的直径为6，AB为O的直径，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求DAC的度数；(2)求线段AE的长解(1)由AB是O的直径，知ABC是直角三角形，易知CAB30，图1由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在RtADC中，DAC30.(2)法一连接BE，如图1所示，由(1)知EAB60CBA，AB为公共边，则RtABERtBAC，所以AEBC3.图2法二连接EC，OC，如图2所示，则由
8、弦切角定理，知DCECAE30，又DCA60，故ECA30，又因为CAB30，故ECACAB，从而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OAOC，故四边形AOCE是菱形，故AEAOBC3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练2】 (2017南京模拟)如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆相切于点A，H是OC的中点，AHBC.(1)求
9、证：AC是PAH的平分线(2)求PC的长(1)证明连接AB.因为PA是半圆O的切线，所以PACABC.因为BC是半圆O的直径，所以ABAC.又因为AHBC，所以CAHABC，所以PACCAH，所以AC是PAH的平分线(2)解因为H是OC的中点，半圆O的半径为2，所以BH3，CH1.又因为ABAC，AHBC，所以AH2BHHC3，所以AH.在RtAHC中，AH，CH1，所以CAH30.由(1)可得PAH2CAH60，所以PA2.因为PA是半圆O的切线，所以PA2PCPB，所以PC(PCBC)(2)212，所以PC2.考点三与圆有关的比例线段【例3】 (2017苏北四市联考)如图，AB是O的直径，
10、CB与O相切于点B，E为线段CB上一点，连接AC，AE，分别交O于D，G两点，连接DG并延长交CB于点F，若EB3EF，EG1，GA3，求线段CE的长解因为EG1，GA3，所以EAEGGA4，又因为EGEAEB2，则EB2，又EB3EF，所以EF，FB，连接BD，则AGDABD，ABDDAB90，CCAB90，所以CAGD，所以CDGE180，所以C，E，G，D四点共圆，所以FGFDFEFCFB2，所以FC，CECFEF2.规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，
11、一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【训练3】 (2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)如图，在RtABC中，ABBC.以AB为直径的O交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为点E，连接AE交O于点F.求证：BECEEFEA.证明连接BD.因为AB为O的直径，所以BDAC.因为ABBC，所以ADDC.因为DEBC，ABBC，所以DEAB，所以CEEB.因为AB是O的直径，ABBC，所以BC是O的切线，所以BE2EFEA，即BECEEFEA.考点四圆内接四边形的判定及应用【例4】 如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为
12、圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC2，AF2，求BDF外接圆的半径(1)证明因为AB为圆O的一条直径，所以AFB90，所以BFH90.又DHBD，所以HDB90，所以BFHHDB180，所以B，D，H，F四点共圆(2)解由题意知AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2ACAD，即(2)22AD，解得AD4，所以BD(ADAC)1，BFBD1.易证ADHAFB，所以，得DH，连接BH，由(1)可知BH为BDF外接圆的直径，BH，故BDF外接圆的半径为.规律方法(1)如果四点与一定点距离相
13、等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练4】 (2016全国卷)如图，OAB是等腰三角形；AOB120.以O为圆心，OA为半径作圆(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.证明(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60，在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切(2)连接OD，因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设O是A，B，
14、C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.思想方法1解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决2证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明3弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角4圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的
15、相似创造了条件易错防范1在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例2在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错3证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换.(建议用时：70分钟)1(2017盐城模拟)如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连接FD.求证：DEADFA.证明连接AD，AB是圆O的直径，ADB90，ADE90.EFFB，AEF90，A，F，E，D四点共圆，DEADFA.2(2014江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点求证
16、：OCBD.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.3(2013江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.4(2017南京、盐城模拟)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于点D，ACCD，DEAB，点C，E为垂足，连接AD，BD.若AC4，DE3，求BD的长解因为CD与O相切
17、于点D，所以CDADBA.又AB为O的直径，所以ADB90.又DEAB，所以EDADBA，所以EDADBA，所以EDACDA.又ACDAED90.ADAD，所以ACDAED.所以AEAC4，所以AD5.又，所以BDAD.5(2017南通、扬州、泰州三市调研)在ABC中，BAC2B，ACB的平分线交AB于点D，BAC的平分线交CD于点E，求证：ADBCBDAC.证明因为CAB2B，AE为CAB的平分线，所以CAEB，又因为CD是ACB的平分线，所以ECADCB，所以ACEBCD，所以，即AEBCBDAC.又因为AEDCAEECA，ADEBDCB，所以AEDADE，所以ADAE，所以ADBCBDA
18、C.6(2017苏州调研)如图，四边形ABDC内接于圆，BDCD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点(1)求证：EAC2DCE；(2)若BDAB，BCBE，AE2，求AB的长(1)证明因为BDCD，所以BCDCBD.因为CE是圆的切线，所以ECDCBD.所以ECDBCD，所以BCE2ECD.因为EACBCE，所以EAC2ECD.(2)解因为BDAB，BDCD，所以ACCD，ACAB.因为BCBE，所以BECBCEEAC，所以ACEC.由切割线定理得EC2AEBE，即AB2AE(AEAB)，即AB22AB40，解得AB1.7(2016全国卷)如图，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，
19、F两点(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD.(1)解连接PB，BC，则BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因为所以PBAPCB，又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)证明因为PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上又O也在CD的垂直平分线上，因此OGCD.8(2016全国卷)如图，在正方形ABCD中，E
20、，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积(1)证明因为DFEC，则EFDDFC90，易得DEFCDF，所以DEFCDF，则有GDFDEFFCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF.因此CGFCBF180，所以B，C，G，F四点共圆(2)解由B，C，G，F四点共圆，CGCB知FGFB.连接GB.由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC，故RtBCGRtBFG.因此，四边形BCGF的面积S是GCB的面积SGCB的2倍，即S2SGCB21.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.