1、新20版练B1数学人B版2.2.4均值不等式及其应用第二章 等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018山东兖州二中高二月考)若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b22abB.a+b2abC.1a+1b 2abD.ba+ab2答案：D解析：a2+b22ab,所以A错误;ab0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a0,b0时,B错误;同理,C错误;ab或ba都是正数,根据不等式求最值,ab+ba2abba=2,故D正确。2.若a,bR,则下列不等式恒成立的是()。A.|a+b|2|ab|B.ba+ab2C.a2
2、+b22a+b22D.(a+b)1a+1b4答案：C解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba2abba=2,那么ab+ba-2,故B中不等式不恒成立;对于C,a2+b22a+b22,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba2,原不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba2abba=2,那么ab+ba-2,原不等式不成立,故D中不等式不恒成立。故选C。3.(2019北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满足1a+2b=2ab,则ab
3、的最小值为()。A.2B.2C.22D.4答案：B解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1a+2b22ab,当且仅当1a=2b时取等号,则2ab22abab2,故选B。4.(2019北京东城区高二周练)已知x0,函数y=4x+x的最大值是()。A.22B.4C.-22D.-4答案：D解析：y=x+4x=-(-x)+-4x,因为x0,-4x0,所以(-x)+-4x4,所以y=-(-x)+-4x-4,当且仅当x=-2时等号成立,所以函数的最大值为-4。5.设0ab,则下列不等式中正确的是()。A.ababa+b2B.aaba+b2bC.aabba+b2D.abaa+b2b答案：B解析：因为0ab
4、,则aba+b2,且a+b2b+b2=b,又a=aaab,故aaba+b22x;ab+ba2(ab0);2aa2+10,正确;对于,因为ab0,ba0,所以ab+ba2恒成立;对于,a1,2aa2+1,即2aa2+11成立。故正确的是。考点2利用均值不等式比较大小8.(2019北京北外附校高二月考)已知x,y均为正数,且xy,则下列四个数中最大的一个是()。A.121x+1yB.1x+yC.1xyD.12(x2+y2)答案：A解析：取x=1,y=2,可得121x+1y=34,1x+y=13,1xy=12,12(x2+y2)=110,因此最大的数是121x+1y,故选A。9.若0ab且a+b=1
5、,则下列四个数中最大的一个是()。A.12B.a2+b2C.2abD.a答案：B解析：由题意知0a12,根据重要不等式知当0a(a+b)22=12,而2ab(a+b)22=12。由a+b=1及0ab可知12b1,所以2aba,所以4个数中最大的数是a2+b2,故选B。10.(2019沈阳四中高二月考)a,b是正数,则a+b2,ab,2aba+b三个数的大小顺序是()。A.a+b2ab2aba+bB.aba+b22aba+bC.2aba+baba+b2D.ab2aba+ba+b2答案：C解析：因为a,b是正数,所以a+b2ab,再比较a+b2或ab与2aba+b的大小即可,而2aba+b2ab2
6、ab=ab,所以2aba+baba+b2,故选C。11.(2019山东滨城区一中高二月考)若m,n,a,b,c,d均为正数,p=ab+cd,q=ma+ncbm+dn,则p,q的大小关系为()。A.pqB.pqC.pqD.不确定答案：B解析：q=ab+madn+nbcm+cdab+2abcd+cd=ab+cd=p,当且仅当madn=nbcm时取等号。12.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()。A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案：D解析：a0,b0,c0,a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c6,当且仅当a=b=
7、c时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2。故选D。考点3利用均值不等式求最值之无条件求最值13.(2019丹东四中高二月考)若x0,则x+2x的最小值是()。A.2B.4C.2D.22答案：D解析：由均值不等式可得x+2x2x2x=22,当且仅当x=2x,即x=2时取等号,故最小值是22。14.函数y=2x(2-x)(其中0x2)的最大值是()。A.14B.12C.1D.2答案：D解析：0x3,求4a-3+a-316的最小值为。答案：1解析：a3,a-30,4a-3+a-31624a-3a-316=1,当且仅当4a-3=a-316,即a=11时取等号,故答案为1。16.若x(
8、1,+),求y=3x+1x-1的最小值。答案：解:x1,y=3x+1x-1=3(x-1)+1x-1+323(x-1)1x-1+3=23+3当且仅当x=1+33时取等号。故y=3x+1x-1的最小值为3+23。考点4利用均值不等式求最值之有条件求最值17.(2019辽宁辽阳一中高二月考)已知x0,y0,且2x+y=2,则xy的最大值是()。A.14B.12C.4D.8答案：B解析：xy=122xy122x+y22=12222=12,当且仅当x=12,y=1时,等号成立。故选B。18.若ab0,3b+4a=1,则a+b的最小值是()。A.43B.7+43C.83D.7+83答案：B解析：因为ab0
9、,3ab0,4ba0,3b+4a=1,所以a+b=(a+b)3b+4a=3ab+4ba+723ab4ba+7=43+7,故答案为B。19.(2018北京实验中学高二期中)已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为()。A.1B.2C.2D.4答案：D解析：ab=a+b2ab,(ab)22ab,ab4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4,故选D。【易错点拨】本题考查了均值不等式的应用,属于基础题。在利用均值不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足均值不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应
10、用,否则会出现错误。20.(2018日照第四中学高二期中)已知2x+3y=3。若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是()。A.53B.83C.8D.24答案：C解析：2x+3y=3,x,y均为正数,则3x+2y=133x+2y(2x+3y)=1312+9yx+4xy12+29yx4xy3=8,当且仅当9yx=4xy且2x+3y=3,即x=34,y=12时取等号,3x+2y的最小值是8。故选C。21.(2018沂南第一中学高二月考)已知正实数x,y满足x+y=1,则1x-4yy+1的最小值是。答案：12解析：正实数x,y满足x+y=1,则1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+
11、1-4=121x+4y+1x+(y+1)-4=125+y+1x+4xy+1-412(5+4)-4=12,当且仅当y+1x=4xy+1且x+y=1,即y=13,x=23时取得最小值12,故答案为12。22.(2019北京育英中学高二段考)已知a,b(0,+),且a+b+1a+1b=5,求a+b的取值范围。答案：解:a,b(0,+),a+b22ab,可得1ab4(a+b)2,当且仅当a=b时取等号。a+b+1a+1b=5,(a+b)1+1ab=5(a+b)1+4(a+b)2,当且仅当a =b=12或a=b=2时取等号,可化为(a+b)2-5(a+b)+40,解得1a+b4,故a+b的取值范围是1,
12、4。23.(2018辽阳辽化高中高二期中)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求1x+4y+9z的最小值。答案：解:正数x,y,z满足x+y+z=1,1x+4y+9z=(x+y+z)1x+4y+9z=1+4+9+yx+4xy+zx+9xz+4zy+9yz14+2yx4xy+2zx9xz+24zy9yz=36,当且仅当x=16,y=13,z=12时取等号。故最小值为36。考点5均值不等式的应用24.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理。如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角
13、形面积的最大值等于。答案：254解析：设直角三角形的斜边为c,直角边分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=12ab。25=a2+b22ab,ab252,则三角形的面积S=12ab12252=254,当且仅当a=b=522时取等号,即这个直角三角形面积的最大值为254,故答案为254。25.已知x0,y0,且x+y=1,若a1x+9y恒成立,求实数a的最大值。答案：解:x0,y0,且x+y=1,1x+9y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy10+2yx9xy=16,当且仅当y=3x=34时取等号。不等式a1x+9y恒成立1x+9ymina。a(-,16,即实数a的最大值为16。26.(2019北京朝阳区高二月考)已知a,b是正实数,且a+b=2,证明:(1)a+b2;答案：a,b是正实数,a+b2ab,ab1,(a+b)2=a+b+2ab4,a+b2,当且仅当a=b=1时,取“=”。(2)(a+b3)(a3+b)4。答案：a2+b22ab,2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2=4,a2+b22,(a+b3)(a3+b)=a4+b4+a3b3+aba4+b4+2a2b2=(a2+b2)24,当且仅当a=b,a2b2=1,即a=b=1时,取“=”。