1、4 二项分布授课提示：对应学生用书第 38 页自主梳理一、n 次独立重复试验在_条件下_的 n 次试验称为 n 次独立重复试验二、二项分布进行 n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个_的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为_；(3)各次试验是_的用 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则P(Xk)_.若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为_双基自测1对独立重复试验有以下说法：每次试验之间是相互独立的；每次试验只有两个相互对立的结果；每次试验中事件 A 发生的概率相等；各次试验中
2、，各个事件是互斥的其中正确的是()A BCD2已知 B(6，13)，则 P(4)等于()A.316B.20243C.13243D.802433已知 XB6，13，则 P(X2)_.自主梳理一、相同 重复做 二、相互对立 1p 相互独立 Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)XB(n，p)双基自测1C 各次试验中，各个事件是相互独立的，所以不正确2B P(4)C46(13)4(23)2 20243.3.80243 P(X2)C26 13211362C26 132 234 80243.授课提示：对应学生用书第 39 页探究一 独立重复试验的判定 例 1 判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依
3、次投掷四枚质地不同的硬币，3 次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了 10 次，其中 6 次击中；(3)口袋中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球，依次从中抽取 5 个球，恰好抽出 4 个白球解析(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验独立重复试验的判定方法判断试验是否为独立重复试验，关键是看是否是在相同条件下及各次试验是否相互独立且事件发生的概率是否相同 1小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小
4、明先掷，小华后掷，如此间隔投掷，问：(1)小明共投掷 n 次，是否可看作 n 次独立重复试验？小华共投掷 m 次，是否可看作 m 次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了 mn 次，则这 mn 次是否可看作 mn 次独立重复试验？解析：(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的 n 次和 m 次可看作 n 次独立重复试验和 m 次独立重复试验(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作 mn 次独立重复试验探究二 求独立重复试验的概率 例 2 甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射
5、击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响(1)求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；(3)假设某人连续 2 次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率是多少？解析 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为 A、B”，则 P(A)23，P(B)34.(1)甲射击 4 次，全击中目标的概率为C44(23)41681.所以甲射击 4 次至少 1 次未中目标的概率为P116816581.(2)甲、乙各射击 4 次，甲恰好击中 2 次，概率为C24(23)
6、2(13)2 827.乙恰好击中 3 次，概率为C34(34)3142764.所以概率为 827276418.(3)乙射击 5 次后，中止射击，第 3 次击中，4、5 次不中，而 1、2 至少 1 次击中目标，所以中止的概率为(34)3(14)2(34)2(14)3(34)2(14)3 451 024.在求某事件的概率时，要善于从具体问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确 n 是多少，事件 A 是什么，其发生的概率是多少等问题 2某车间的 5 台机床中的任何一台在 1 小时内需要工人照管的概率都是14，求 1 小时内这 5 台机床中至少有 2 台需要工人照管的概率是多少(结果保留两位有效数字)
7、?解析：设事件 A：“1 台机床在 1 小时内需要工人照管”，则有 P(A)14.设 Xk 表示在 1 小时内有 k 台机床需要工人照管，k0,1,2,3,4,5.所以 5 台机床在 1 小时内需要照管相当于 5 次独立重复试验，而事件 A 至少发生 2 次的概率为1P(X1)P(X0)1C15(14)(34)4C05(14)0(34)50.37，即所求的概率为 0.37.探究三 二项分布的综合应用 例 3 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的概率分布；(2)设
8、 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的概率分布；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解析(1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是 p13，且每次试验结果都是相互独立的，所以 B(6，13)P(k)Ck6(13)k(113)6kCk6(13)k(23)6k，k0,1,2，6.所求 的概率分布为：0123456P6472964243802431607292024342431729(2)由题意知，k(k0,1,2，5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第(k1)个路口遇上红灯，则其概率为 P(k)(23)k13，6 表示路上没有遇上红灯，其概率为 P(6
9、)(23)6.所求 的概率分布为：0123456P1329427881162433272964729(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有P(1)1P(0)1 64729665729.二项分布的综合应用注意点(1)合理转化：对问题情境合理转化，判断是否为二项分布的关键是看试验是否为独立重复试验(2)正确计算：若服从二项分布，则确定对应的 n，p 的值，从而利用二项分布公式正确计算 3某地区每天保证用水量的概率为 0.75，试求：(1)最近 7 天内正常用水的天数的分布列；(2)最近 7 天内至少有两天正常用水的概率解析：(1)由题意知，最近 7 天内用
10、水正常的天数 X 服从参数 n7，p0.75 的二项分布，即 XB(7,0.75)由二项分布的概率公式知：P(X0)C070.7500.2570.000 06，P(X1)C170.7510.2560.001 28，P(X2)C270.7520.2550.011 54，P(X3)C370.7530.2540.057 68，P(X4)C470.7540.2530.173 03，P(X5)C570.7550.2520.311 46，P(X6)C670.7560.2510.311 46，P(X7)C770.7570.2500.133 48.其分布列为：X01234567P0.000 060.001 2
11、80.011 540.057 680.173 030.311 460.311 460.133 48(2)解法一 P(X2)P(X2)P(X3)P(X4)P(X5)P(X6)P(X7)0.011540.057 680.173 030.311 460.311 460.133 480.998 7.所以最近 7 天内至少有两天正常用水的概率为 0.998 67.解法二 P(X2)1P(X0)P(X1)10.000 060.001 280.9987.所以最近 7 天内至少有两天正常用水的概率为 0.998 7.独立重复试验在实际中的应用 典例(本题满分 12 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设
12、在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率解(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A，因为事件 A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为P(A)113 113 13 427.4 分(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min”为事件 B，“这名学生在上学路上遇到 k 次红灯”的事件为 Bk(k0,1,2)
13、则由题意，得 P(B0)2341681，6 分P(B1)C14 131 2333281，P(B2)C24 132 2322481.10 分由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，所以事件 B 的概率为 P(B)P(B0)P(B1)P(B2)89.12 分规范与警示1.在处，体现了正确理解在第三个路口时首次遇到红灯的含义，是解决本题的关键点；在处，易忽略没有遇到红灯的情形导致失误，是易失分点；在处正确应用了 n 次独立重复试验公式，是解决本题的又一关键点2防范措施：(1)解概率问题要全面考虑在确定随机变量 X 的所有可能取值时，要全面考虑，不可漏解如本例容易忽略没有遇到红灯的
14、情况，造成漏解在求分布列时，一定要将 X 的取值考虑全面，特别是 X0 的情形(2)解决问题要抓住问题本质对于相互独立事件与 n 次独立重复试验问题一定要抓住其事件的本质特征进行区别，以免发生失误如本例第(1)问，若对事件的本质把握不清，则容易造成求解失误射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得 2 分，击中一个飞靶得 1 分，不击中飞靶得 0 分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行 2 轮比赛(1)该运动员得 4 分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为 X，求 X 的分布列解析：(1)记“运动员得 4 分”为事件 A，则 P(A)23132313 481.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.P(X0)P(X4)481，P(X1)P(X3)C12(23)(13)3C12(13)(23)32081，P(X2)(13)4(23)44(23)2(13)23381.X 的分布列为：X01234P481208133812081481