1、2.3.2双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的几何性质(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点)3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)离心率e渐近线yxyx2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e.3离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e
2、也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大基础自测1判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是.()(2)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(3)离心率越大，双曲线1的渐近线斜率绝对值越大()【解析】(1).因为ab，所以ca，所以e.(2).由1，得yx，所以渐近线方程为yx.(3).由(e1)，所以e越大，渐近线yx斜率的绝对值越大【答案】(1)(2)(3)2双曲线x21的渐近线方程为_，离心率e_. 【导学号：95902117】【解析】a1，b，渐近线方程为yx，离心率e2.【答案】yx2合 作 探 究攻 重 难由双曲线的标准方程求几何性质求双曲线nx
3、2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程思路探究【自主解答】把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0)渐近线的方程为yxx.规律方法1由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质2(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a2b2c2，而对双曲线则是c2a2b
4、2；对椭圆e，对双曲线则是e.(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到跟踪训练1求双曲线x23y2120的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：95902118】【解】将方程x23y2120化为标准方程为1，a2，b2，c4，因此顶点A1(0，2)，A2(0,2)，焦点坐标F1(0，4)，F2(0,4)，实轴长2a4，虚轴长2b4，离心率e2，渐近线方程为yx.由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共的
5、渐近线，且过点M(2，2)思路探究【自主解答】(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21或y21.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)当0时，a24，2a26；当0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_. 【导学号：95902119】【解析】由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.【答案】1双曲线的离心率探究问题1双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？【提示】e，因为c2a2b2，所以ca0，所以e1.2利用a，b，c的关系c2a2b
6、2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？【提示】e或e.3根据探究2可知，求双曲线的离心率并不一定要求出a，b，c的具体数值，只要知道a，b，c三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果c2ac2a20，那么双曲线的离心率是什么？【提示】由c2ac2a20可得20，即e2e20，所以(e1)(e2)0，因为e1，所以e2.4如何求双曲线的离心率的取值范围？【提示】解关于离心率e的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出或的取值范围可求离心率的取值范围(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1PF2)2b23ab，则该双曲线的离心率
7、为_(2)已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是_思路探究(1)(PF1PF2)2b23ab4a2b23ab离心率(2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找a，c之间的不等关系，可求出双曲线离心率的取值范围【自主解答】(1)由双曲线的定义知，(PF1PF2)24a2，又(PF1PF2)2b23ab，所以4a2b23ab，等号两边同除a2，化简得340，解得4，或1(舍去)故离心率e.(2)因为P为双曲线右支上的任意一点，所以PF12aPF2，所以PF24a24a8a，当且仅当PF22a，PF14a，可得2a4a
8、2c解得e3，又因为双曲线离心率大于1，故答案为(1,3【答案】(1)(2)(1,3规律方法求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解.跟踪训练3双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为_【解析】依题意1，ab.则e22，e.【答案】构建体系 当 堂 达 标固 双 基1双曲线2x2y28的实轴长是_【解析】双曲线的标准方程为1，a24，2a4
9、.【答案】42已知双曲线1(m0)的离心率为，则m_. 【导学号：95902120】【解析】这里a2m23，b24m，c2m24m3，2，解得m1或m3.【答案】1或33已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为_【解析】由离心率为，e212，即ab，双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2(0)，又点P(1,3)在双曲线上，则198，所求双曲线的标准方程为1. 【答案】14在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(m0)的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是_【解析】a22，b2m，c22m，又e，e2，即，得m1，故渐近线方程为yxx.【答案】yx5双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率. 【导学号：95902121】【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.第 8 页