1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标：1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算(重点)2.能运用数量积表示两个向量的夹角计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示(1)向量内积的坐标运算：已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20.2向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a(a1，a2)，则|a|.(2)两点间的距离：如果A(x1，y1)，B(x2，
2、y2)，则|.(3)两向量的夹角：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则cosa，b.思考：与向量a(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示？提示由于单位向量a0，且|a|，所以a0(a1，a2)，此为与向量a(a1，a2)同向的单位向量的坐标基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0度()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角()解析(1)因为当x1y2x2y10时，向量a，b的夹角也可能为180.(2)由向
3、量数量积定义可知正确(3)因为两向量的夹角有可能为180.答案(1)(2)(3)2已知a(1，1)，b(2,3)，则ab()A5 B4 C2D1Dab(1，1)(2,3)12(1)31.3若a(3,1)，b(x，3)且ab，则x()A3 B1 C1 D3Cab，ab0，即3x30，x1.4已知a(3，x)，|a|5，则x_.解析|a|5，x216.即x4.答案4合 作 探 究攻 重 难平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a(1,2)，b(2，x)，且ab1，则x的值等于()A.BC. D(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则ab_，a(ab)_.(3)已知a(2，1)，b(3,2)，若
4、存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.思路探究根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解解析(1)因为a(1,2)，b(2，x)，所以ab(1,2)(2，x)122x1，解得x.(2)ab(1,2)(3,2)(1)3221，a(ab)(1,2)(1,2)(3,2)(1,2)(4,0)4.(3)设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以c.答案(1)D(2)14(3)规律方法1进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2
5、.2通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系3向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充跟踪训练1设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则(a2b)c()【导学号：79402095】A(15,12) B0C3 D11C依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.向量的模的问题(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4 B5C3 D4(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.思路探究(1)两向量a(x1，y1
6、)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10.(2)已知a(x，y)，则|a|.解析(1)由ab，得y40，y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D.(2)由题意知，ab(2,4)，ab(4,0)，因此|ab|2，|ab|4.答案(1)D(2)24规律方法向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则|a|.跟踪训练2已知向量a(2x3,2x)，b(3x,2x)(xR)，则|ab|的取值范围为_解析ab(x，x2)，|ab|，|ab|，)答案，)向量的夹角与垂直问题探究
7、问题1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？提示cos .2已知a(1，1)，b(，1)，当a与b的夹角为钝角时，的取值范围是什么？提示a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.a，b的夹角为钝角，即0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是，选B.答案B(2)amb(32m,4m)，ab(1,5)，因为(amb)(ab)，所以(amb)(ab)0，即(32m)1(4m)50，所以m.规律方法1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2
8、)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值2涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决跟踪训练3若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.【导学号：79402096】解析2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3，6)因为2a3b与c的夹角为钝角，则(2k3，6)(2,1)0且不反向，即4k660，解得k3.当2a3b与c反向时，k，所以k的范围是k0，x，故x1.4设a(x，x1)，b(1,2)且ab，则x_.解析ab，ab0.即x2(x1)0.解得x.答案5已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(ab)(ab)解(1)因为a(3，1)，b(1，2)，所以ab31(1)(2)325.(2)ab(3，1)(1，2)(4，3)，所以(ab)2|ab|242(3)225.(3)ab(3，1)(1，2)(4，3)，ab(3，1)(1，2)(2,1)，(ab)(ab)(4，3)(2,1)835.第 7 页