1、3.1.3函数的奇偶性课后篇巩固提升合格考达标练1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()答案B2.(多选题)下列函数既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=xC.y=1xD.y=x|x|答案BD解析选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.53答案C解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(
2、x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.4.(2021安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间-2,-1上单调递减,则函数f(x)在区间1,2上()A.单调递增,且有最小值f(1)B.单调递增,且有最大值f(1)C.单调递减,且有最小值f(2)D.单调递减,且有最大值f(2)答案C解析由于奇函数的图像关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间-2,-1上单调递减,所以f(x)在区间1,2上单调递减,所以f(x)在区间1,2上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.5.
3、(多选题)(2020辽宁高一检测)已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数,且对任意的x1,x20,+)(x1x2),总有f(x1-2)-f(x2-2)x1-x20,则下列结论正确的是()A.f(-6)f(0)B.f(0)f(-3)C.f(0)f(-6)D.f(-3)0,不妨设0x10,所以f(x1-2)-f(x2-2)0,f(x1-2)f(x2-2),所以f(x-2)在0,+)上是增函数,所以f(x)在-2,+)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数,所以f(x-2)的图像关于y轴对称,故f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(-6)=f(2),f(-3)=f(-1),则f(-3)f(0)
4、0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数,则m=.答案2解析当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x.f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.9.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,bR)为R上的偶函数.(1)求a,b的关系式;(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.解(1)f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,f(-x)=f(x)对于xR恒成立,(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,即2(a+b)x=0对于xR恒成立,a+b=0,即b=-a.(2)由(1)可知
5、,f(x)=x2-a2.当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;当a0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=a.综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为0;当a0时,方程f(x)=0的解集为-a,a.10.(2020江苏高一月考)已知定义在-3,3上的函数y=f(x)是增函数.(1)若f(m+1)f(2m-1),求m的取值范围;(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+10.解(1)由题意可得,-3m+13,-32m-13,m+12m-1,解得-1m0,f(x+1)-1,f(x+1)f(-2),x+1-2-3x+13,-3x2.不等式的解集为x|-30,则有
6、f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)答案AD解析由y=2x2+x+1=2x+142+78在-14,+上单调递增可知,函数y=2x2+x+1在(0,+)上是增函数,故A正确;y=1x+1在(-,-1),(-1,+)上均是减函数,但在(-,-1)(-1,+)上不是减函数,如-20,但1-2+10得a-b,又f(x)在R上递增,所以f(a)f(-b),同理,f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),故D正确.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C
7、.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)答案C解析因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,即-2a0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为.答案f(x)=x3+x+1(x0),0(x=0),x3+x-1(x0)解析设x0,所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.所以x0),0(x=0),x3+x-1(x0).16.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x(x0);(2)f(x)=(x+5)2-4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6)
8、.解(1)当x0,则有f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);当x0时,-x0,则有f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为(-6,-11,6),关于原点对称.当x(-6,-1时,-x1,6),f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);当x1,6)时,-x(-6,-1,f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).综上可知,对于任意x(-6,-11,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)=(x+5)2-
9、4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6)是偶函数.17.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0,f2=0.(1)求f(0),f()的值;(2)求证:f(x)是偶函数.(1)解对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0).又f(0)0,f(0)=1.令x=y=2,则有f()+f(0)=2f2f2,f2=0,f()+f(0)=0.f()=-1.(2)证明令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(-y)=f(y).f(x)
10、是偶函数.新情境创新练18.(2021吉林高一月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x1,2,求函数g(x)的最小值.解(1)由题意知,当x0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).又函数f(x)为偶函数,所以当x0时,其单调递增区间为(-1,0),所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+).(2)设x0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,由已知f(x)=f(-x),所以当x0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=x2-2x(x0),x2+2x(x0).(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x1,2,对称轴为直线x=a+1.当a0时,a+11时,a+12,此时函数g(x)在区间1,2上单调递减,故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=1-2a,a1.6