1、3.3 幂函数 第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(重点、易混点)2结合幂函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx 的图象，掌握它们的性质(重点、难点)3能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)1结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养2借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.情境导学探新知 NO.1经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格 x 与需求量 y 之
2、间近似地满足关系式 yx0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？知识点 1 幂函数的概念一般地，函数_叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数yxx如何判断一个函数是幂函数？提示(1)x的系数为 1；(2)x 为自变量；(3)为常数ABD 只有 y3x 不符合幂函数 yx的形式，故选 ABD.1.(多选)下列函数中是幂函数的是()Ay x Byx3Cy3xDyx114 由 f(2)12可知 212，即 1，f(4)4114.2.已知幂函数 f(x)x 的图象过点2，12，则 f(4)_.知识点 2 幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 yx，yx2，yx3，yx，yx1
3、的图象如图所示：3.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限()答案(1)(2)4.如图所示，给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()B 因为 yx3 的定义域为 R 且为奇函数，故应为图；yx2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图.同理可得出选项 B 正确Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx3，yx，yx2，yx1知识点 3 幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR_ _值域R0，)_ _奇偶性奇偶_0，)x|x00，)y
4、|y0奇非奇非偶奇R yxyx2yx3yxyx1单调性 增函数x0，)时，_函数x(，0时，_函数_函数_函数x(0，)时，_函数x(，0)时，减函数增增增减减常见的幂函数的图象与性质(1)函数 yx，yx2，yx3，yx 和 yx1 的图象都通过点(1,1)；(2)函数 yx，yx3，yx1 是奇函数，函数 yx2 是偶函数；(3)在区间(0，)上，函数 yx，yx2，yx3，yx 单调递增，函数 yx1 单调递减；(4)在第一象限内，函数 yx1 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近5.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当幂指数 取 1,3，12时，幂函数 yx
5、是增函数()(2)当幂指数 1 时，幂函数 yx 在定义域上是减函数()答案(1)(2)合作探究释疑难 NO.2类型1 幂函数的概念 类型2 幂函数的图象及应用 类型3 幂函数性质的综合应用 类型 1 幂函数的概念【例 1】已知 y(m22m2)x2n3 是幂函数，求 m，n的值解 由题意得m22m21，m210，2n30，解得m3，n32，所以 m3，n32.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.跟进训练1在函数 y1x2，y2x2，yx2
6、x，y1 中，幂函数的个数为()A0 B1 C2 D3B y1x2x2，是幂函数；y2x2 由于出现系数 2，因此不是幂函数；yx2x 是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数 y1 的图象比幂函数 yx0 的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y1 不是幂函数类型 2 幂函数的图象及应用【例 2】点(2，2)与点2，12 分别在幂函数 f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当 x(0,1)时，f(x)cbaBabcdCdcabDabdc(2
7、)函数 yx 1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是()A B C D(1)B(2)B(1)令 a2，b12，c13，d1，正好和题目所给的形式相符合(2)yx 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数 yx 1 的图象可看作由 yx 的图象向下平移 1 个单位得到的(如选项 A 中的图所示)，将 yx 1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B.在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选 B.类型 3 幂函数性质的综合应用【例 3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，1.1.由所给幂的特征，思考
8、如何构造幂函数，幂函数的单调性如何？解(1)函数 yx3 是增函数，且 0.210.23，0.213109 1.1，且 yx 在0，)上单调递增，1.2 1091.1，即 1.2 0.9 1.1.比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”跟进训练3比较下列各组数的大小：(1)250.5 与130.5；(2)231 与351.解(1)因为幂函数 yx0.5 在0，)上是单调递增的，又2513，所以250.5130.5.(2)因为幂函数 yx1
9、 在(，0)上是单调递减的，又23351.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 B 设 f(x)x，则 2 2，12，f(x)x.选 B.1幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是()Ayx1 ByxCyx2Dyx31 2 3 4 C 因为 f(x)(a2a1)x为幂函数，所以 a2a11，即 a2 或1.又 a20，所以 a1.2已知函数 f(x)(a2a1)x为幂函数，则实数 a 的值为()A1 或 2B2 或 1C1D11 2 3 4 18 因为函数 yx31x3在(，0)上单调递减，所以当 x2 时，y 最小值(2)312318.3函数 yx3 在区间4，2上的最小值是_1
10、2 3 4 0.232.30.242.3 令 yx2.3，由于 yx2.3 在(0，)上单调递减且 0.230.242.3.40.232.3 与 0.242.3 的大小关系是_回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断一个函数是幂函数的关键是什么？提示 关键是判断其是否符合 yx(为常数)的形式2所有幂函数 yx 在原点处都有意义吗？图象都过点(1,1)吗？提示 当 0 时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1,1)3在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？提示 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数 yx 的图象在第一象限内具有如下特征：直线 y1，yx 将直角坐标平面的第一象限在直线 x1 的右侧部分分为()()()三个区域，如图所示，若(1，)yx 的图象经过区域()；若(0,1)yx 的图象经过区域()；若(，0)yx 的图象经过区域()，并且在直线 x1 的右侧，从 x 轴起，幂函数 yx 的指数 由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!