1、3全称量词与存在量词授课提示：对应学生用书第6页一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题二、特称命题的否定特称命题：存在x0M，p(x0)成立，它的否定：任意xM，p(x)不成立，特称命题的否定是全称命题三、全称命题的否定全称命题：任意xM，p(x)成立，它的否定：存在x0M，p(x0)不成立，全称命题的否定是特称命题疑难提示省略量词的命题的否定对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命题一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题想一想1同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？提示：不唯一对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同
2、的表述方法，只要形式正确即可练一练2下列命题中全称命题的个数是()任意一个自然数都是正整数；所有的素数都是奇数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是180.A0B1C2 D3解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180”，故有三个全称命题答案：D3已知命题p：对任意xR，都有cos x1，则命题p的否定为()A存在x0R，使得cos x01B对任意xR，都有cos x1C存在x0R，使得cos x01D存在x0R，使得cos x01解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第6页探究一判
3、断全称命题与特称命题及其真假典例1试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对任意的xR，x220；(2)对任意的xN，x41；(3)存在xZ，x30，所以该命题是真命题(2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题因为0N，当x0时，x41不成立，所以该命题是假命题(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题因为1Z，当x1时，能使x30，且a1，则对任意实数x，ax0.(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x10(a0，且a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)是全称命题存在x10，x2，x1成立；(2)存在实数，使cos()cos cos 成立；
4、(3)对任意x，yN，都有(xy)N；(4)存在x，yZ，使xy3成立解析：(1)解法一当xR时，x2x1(x)2，所以该命题是真命题解法二x2x1x2x0，由于141的解集是R，所以该命题是真命题(2)当，时，cos()cos()cos()cos，cos cos coscos0，此时cos()cos cos ，所以该命题是真命题(3)当x2，y4时，xy2N，所以该命题是假命题(4)当x0，y3时，xy3，即存在x，yZ，使xy3，所以该命题是真命题探究二全称命题与特称命题的否定典例2写出下面命题的否定，并判断其真假(1)p：任意xR，都有|x|x；(2)p：任意xR，都有x3x2；(3)p
5、：至少有一个二次函数没有零点解析(1)p是全称命题其否定为：存在x0R，使得|x0|x0；如x01，则|1|11，所以其否定是真命题(2)p是全称命题其否定为：存在x0R，使得xx；如x01时，(1)31(1)2，所以其否定是真命题(3)p是特称命题其否定为：所有二次函数都有零点；如二次函数yx22x3(x1)220，无零点，所以其否定为假命题一般而言，全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题因此，在叙述命题的否定时，要注意量词间的转换同时，还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角
6、形没有外接圆” 3判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在xR，使log2x0成立；(4)对任意mZ，都有m230成立解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意xR，都有log2x0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在mZ，使m230成立4判断下列命题的真假，写出这些命题的否定并
7、判断其真假(1)每条直线在y轴上都有一个截距；(2)平面内，存在一个三角形，它的内角和小于180；(3)存在一个四边形没有外接圆解析：(1)命题为假命题；命题的否定为：“并非每条直线在y轴上都有一个截距”或“存在一条直线在y轴上没有截距”，其命题的否定为真命题(2)命题为假命题；命题的否定为：“平面内，不存在一个三角形，它的内角和小于180”或“对任意三角形，它的内角和都不小于180”，其命题的否定为真命题(3)命题为真命题；命题的否定为：“不存在一个四边形没有外接圆”或“对任意一个四边形，都有外接圆”，其命题的否定为假命题探究三全称命题、特称命题的应用5写出下列命题的否定与否命题(1)正数a
8、的平方根不等于零；(2)平行四边形的对边相等解析：(1)命题的否定：正数a的平方根等于零；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于零(2)命题的否定：平行四边形的对边不相等；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的对边不相等6已知p(x)为真命题，求实数x的取值范围(1)p(x)：log2x210；(2)p(x)：4x2x130，得x22，解得x(，)(，)(2)由4x2x130，得(2x3)(2x1)0，所以2x0恒成立”为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x使不等式mf(x)0成立”为真命题，求实数m的取值范围解析：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(
9、x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，则m4，故实数m的取值范围是(4，)(2)不等式mf(x)0可化为mf(x)若存在实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，得f(x)min4，所以m4.故所求实数m的取值范围是(4，)因否定不全面致误典例写出命题p：“存在x0,1，0”的否定，并判断p与其否定的真假解析p的否定为：“对任意x0,1，0或无意义”由于不存在x0,1，使0成立，故p为假命题其否定为真命题错因与防范(1)本例易出现把p的否定写为“对任意的x0,1，0”，从而漏掉无意义这一可能出现的情况(2)对于含有一个量；词的命题否定时，应注意无意义的情况是否可能出现.