1、专题1二次函数题型一二次函数的图象和性质例 1对于抛物线yx22x3，有下列四个结论：它的对称轴为x1；它的顶点坐标为(1，4)；它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；当x0时，y随x的增大而减小其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4【解析】 对称轴为x1，正确；yx22x3(x1)24，它的顶点坐标为(1，4)，正确；yx22x3，当x0时，y3，当y0时，x22x30，x11，x23，yx22x3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，正确；a10，当x1时，y随x的增大而减小，错误故正确的选项有三个【点悟】二次函数
2、的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析变式跟进1小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x1时，y随x的增大而增大；(2)函数图象经过点(2，4)则符合条件的二次函数表达式可以是(D)Ay(x1)25 By2(x1)214Cy(x1)25 Dy(x2)2202求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标(1)y4x224x35；(2)y3x26x2；(3)yx2x3；(4)y2x212x18.解：(1)y4x224x35，对称轴是直线x3，顶点坐标是(3，1)，解方程4x224x350，得x1，x2，故它与x轴交点坐标是，；(2)y3x26x2，对称轴是直
3、线x1，顶点坐标是(1，5)，解方程3x26x20，得x11，x21，故它与x轴的交点坐标是，；(3)yx2x3，对称轴是直线x，顶点坐标是，解方程x2x30，无解，故它与x轴没有交点；(4)y2x212x18，对称轴是直线x3，顶点坐标是(3，0)，当y0时，2x212x180，x1x23，它与x轴的交点坐标是(3，0)题型二二次函数的平移例 2将抛物线y2x21向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为(C)Ay2(x1)2 By2(x1)22Cy2(x1)22 Dy2(x1)21【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确
4、定抛物线的平移规律变式跟进3将抛物线y2x24x5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是(C)Ay2(x1)27 By2(x1)26Cy2(x3)26 Dy2(x1)26题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 32016宁夏若二次函数yx22xm的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_m1_【解析】 二次函数yx22xm的图象与x轴有两个交点，0，44m0，m1.【点悟】抛物线yax2bxc(a0)与x轴的交点的横坐标x1，x2，就是方程ax2bxc0(a0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b24ac与0的大小即可变式跟进4已知二次函数yx22xm
5、(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x22xm0的两个实数根是(D)Ax11，x22 Bx11，x23Cx11，x22 Dx11，x23【解析】 二次函数yx22xm(m为常数)的对称轴是x1，(1，0)关于x1的对称点是(3，0)则一元二次方程x22xm0的两个实数根是x11，x23.52017高邮二模如图1，二次函数y1ax2bxc与一次函数y2kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0y1y2的x的取值范围是_4x3_ 图1 第5题答图【解析】 如答图所示，点A的横坐标为4，点A和点B关于抛
6、物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，抛物线的对称轴为x，二次函数y1ax2bxc与一次函数y2kx的图象交于点A和原点O，C点坐标为(3，0)，则满足0y1y2的x的取值范围是4x3.题型四二次函数的图象与系数之间的关系例 4如图2，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x1.下列结论：abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc.其中含所有正确结论的选项是(D)图2A BC D【解析】 函数开口方向向上，a0，对称轴在原点右侧，ab异号，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，故正确
7、；图象与x轴交于点A(1，0)，对称轴为直线x1，图象与x轴的另一个交点为(3，0)，当x2时，y0，4a2bc0，故错误；图象与x轴交于点A(1，0)，当x1时，y(1)2ab(1)c0，abc0，即abc，cba，对称轴为直线x1，1，即b2a，cba(2a)a3a，4acb24a(3a)(2a)216a20.8a0，4acb28a，故正确；图象与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间，2c1，23a1，a，故正确；a0，bc0，即bc，故正确【点悟】二次函数yax2bxc(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定
8、开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)变式跟进62016孝感如图3是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间则下列结论：abc0；3ab0；b24a(cn)；一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是(C)图3A1 B2 C3 D4【解析】 抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛
9、物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点(2，0)和(1，0)之间当x1时，y0，即abc0，正确；抛物线的对称轴为直线x1，即b2a，3ab3a2aa，错误；抛物线的顶点坐标为(1，n)，n，b24ac4an4a(cn)，正确；抛物线与直线yn有一个公共点，抛物线与直线yn1有2个公共点，一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根，正确题型五 二次函数的实际应用例 52016潍坊旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过1
10、00元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入租车收入管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0x100，由50x1 1000，解得x22，x是5的倍数，每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y元，当0x100时，y150x1 100，y1随x的增大而增大，当x100时，y1的最大值为501001 1003 900.当x100时，y2x1 100x270x1 100
11、(x175)25 025.当x175时，y2的最大值是5 025，5 0253 900，当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，ya(xh)2k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值变式跟进72016杭州把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h20t5t2(0t4)(1)当t3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10 m时，求t的值；(3)若存在实数t1，t
12、2(t1t2)，当tt1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围解：(1)当t3时，h20t5t215(m)，此时足球离地面的高度为15 m；(2)h10，20t5t210，即t24t20，解得t2或t2，经过2或2 s时，足球距离地面的高度为10 m；(3)m0，由题意得t1和t2是方程20t5t2m的两个不相等的实数根，b24ac20220m0，解得m20，m的取值范围是0m20.题型六 二次函数的综合题例 62017浙江月考如图4，抛物线C1：yx22x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表
13、达式；(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足SPACSABC，且ACP90.当k1时，求k的值 图4 例6答图解：(1)yx22x(x1)2，抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，变换后的抛物线经过原点O，(2，2)和(4，0)三点设变换后抛物线的表达式为yax2bx，将(2，2)和(4，0)代入，得解得变换后抛物线的表达式为yx22x；(2)抛物线C1经过原点O，点
14、A(1，)和点B(2，0)三点，将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作C2，则抛物线C2过原点O，(k，k)，(2k，0)三点，抛物线C2的表达式为yx22x；(3)yx22x(xk)2k，O，A，C三点共线，且顶点C为(k，k)如答图，SPACSABC，k1，BPAC，过点P作PDx轴于D，过点B作BEAO于E.由题意知ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，OE1，CEBP2k1，PBD60，BDk，PD(2k1)，P，(2k1)2，解得k.变式跟进82017诸城校级月考如图5，在矩形OABC 中，OA5，AB4，点D 为边AB 上一点
15、，将BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系图5(1)求OE 的长；(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的表达式；(3)一动点P从点C 出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E 点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动设运动时间为t s，当t为何值时，DPDQ.解：(1)CECB5，COAB4，在RtCOE中，OE3；(2)设ADm，则DEBD4m，OE3，AE532，在RtADE中，由勾股定理可得AD2AE2DE2，即m222(4m)2，解得m，
16、D，C(4，0)，O(0，0)，设过O，D，C三点的抛物线为yax(x4)，5a，解得a，抛物线表达式为yx(x4)x2x；(3)CP2t，BP52t，由折叠的性质，得BDDE，在RtDBP和RtDEQ中，RtDBPRtDEQ(HL)，BPEQ，52tt，t.过关训练1已知，二次函数yax2bxc(a0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是(C)图1A根据图象可得该函数y有最小值B当x2时，函数y的值小于0C根据图象可得a0，b0D当x1时，函数值y随着x的增大而减小【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项正确；B.当x2时，图象在x轴的下方，函数值小于0，此选项正
17、确；C.对称轴为x1，a0，则b0，此选项错误；D.当x1时，y随x的增大而减小，此选项正确2抛物线y(x2)21可以由抛物线yx2平移得到，下列平移方法中正确的是(B)A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【解析】 函数yx2的图象沿x轴向左平移2个单位长度，得y(x2)2；然后y轴向下平移1个单位长度，得y(x2)21，故选B.3一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(C) AB CD4如图2，二次函数yax2bxc(
18、a0)的图象与x轴交于点A(1，0)，其对称轴为直线x1，下列结论中正确的是(D)图2Aabc0 B2ab0C4a2bc0 D9a3bc0【解析】 抛物线的开口向下，则a0，对称轴在y轴的右侧，b0，图象与y轴交于正半轴上，c0，abc0；对称轴为x1，1，b2a，2ab0；当x2时，4a2bc0；当x3时，9a3bc0.5已知二次函数y3x236x81.(1)写出它的顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；(3)求出图象与x轴的交点坐标；(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；(5)当x取何值时，y0.解：(1)y3x236x813(x6)227，顶点坐标为(6，27)；(2
19、)抛物线的对称轴为x6，且抛物线的开口向上，当x6时，y随x的增大而增大；(3)当3x236x810时，得x13，x29，该函数图象与x轴的交点为(9，0)，(3，0)；(4)抛物线的顶点坐标为(6，27)，当x6时，y有最小值，最小值为27；(5)该函数图象与x轴的交点为(9，0)，(3，0)，且抛物线的开口向上，当9x3时，y0.6已知二次函数的图象以A(1，4)为顶点，且过点B(2，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标解：(1)由顶点A(1，4)，可设二次函数关系式为ya(x1)24(a0)二次函数的图象过点B(2，5)，5a(21)24，解得a1.二次
20、函数的关系式是y(x1)24；(2)令x0，则y(01)243，图象与y轴的交点坐标为(0，3)7如图3，已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点图3 (1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)当0x3时，求y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若SPAB10，求出此时点P的坐标解：(1)把A(1，0)，B(3，0)分别代入yx2bxc中，得解得抛物线表达式为yx22x3.yx22x3(x1)24，顶点坐标为(1，4)；(2)由图可得当0x3时，4y0；(3)A(1，0)，B(3，0)，AB4.设P(x，y)，则SPABAB|y|2|y|10，|y|5，y5.当y5时，x22x
21、35，解得x12，x24，此时P点坐标为(2，5)或(4，5)；当y5时，x22x35，方程无解综上所述，P点坐标为(2，5)或(4，5)8如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)已知墙的最大可用长度为8 m，求所围成花圃的最大面积；若所围花圃的面积不小于20 m2，请直接写出x的取值范围图4解：(1)Sx(244x)4x224x(0x6)；(2)S4x224x4(x3)236，由244x8，244x0，解得4x6，当x4时，花圃有最大面积为32；令4x224x20
22、时，解得x11，x25，墙的最大可用长度为8，即244x8，x4，4x5.92017三原校级月考东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润_2_000_元；(2)若设后来该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，并求出当x取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100(100
23、80)2 000(元)；(2)设该商品每件降价x元，依题意，得(10080x)(10010x)2 090，即x210x90，解得x11，x29.答：每件商品应降价1元或9元；根据题意得y(10080x)(10010x)10x2100x2 000，当x5时，y最大2 250元，答：该经营者所获最大利润为2 250元102016泰安如图6，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.图6(1)求二次函数yax2bxc的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB
24、于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积解：(1)设抛物线的表达式为ya(x2)29，把A(0，5)代入得4a95，解得a1，y(x2)29x24x5；(2)当y0时，x24x50，解得x11，x25，E(1，0)，B(5，0)，设直线AB的表达式为ymxn，把A(0，5)，B(5，0)代入，得m1，n5，yx5，设P(x，x24x5)，则D(x，x5)，PDx24x5x5x25x，AC4，四边形APCD的面积ACPD4(x25x)2x210x，当x时，四边形APCD的面积最大，最大面积为.112017双台子区校级一模如图7，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc
25、的图象与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于c(0，3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点(1)求出二次函数的表达式；图7(2)连结PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使得四边形POPC为菱形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P的坐标和四边形ACPB的最大面积解：(1)把B(3，0)，C(0，3)代入yx2bxc，得解得这个二次函数的表达式为yx22x3；(2)存在理由如下：如答图，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E.则POPC，POC沿CO翻折，得到四
26、边形POPC，OPOP，CPCP，OPOPCPCP，四边形POPC为菱形，C点坐标为(0，3)，E点坐标为，点P的纵坐标为，把y代入yx22x3，得x22x3，解得x，点P在直线BC下方的抛物线上，x，满足条件的点P的坐标为； 第11题答图 第11题答图(3)如答图，作PFx轴于点F，交BC于点E，BC的表达式为yx3，设E(m，m3)，P(m，m22m3)则PEm3(m22m3)m23m，SBCPSBEPSCEPPEFBEPOFEPOB3，0，当m时，S最大，此时P；A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，又S四边形ACPBSABCSPBC，SABC436定值，当PBC的面积最大时，四边形ACPB的面积最大，最大面积为6.15