1、2.2基本不等式课后篇巩固提升合格考达标练1.已知正实数a、b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.4答案D解析ab=a+b2ab,(ab)22ab,ab4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.2.已知0x1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13B.12C.14D.23答案B解析0x0.x(1-x)x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.3.(多选题)下列不等式一定成立的是()A.x2+14x(x0)B.x+1x2(x0)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案BC解析A中,当x=12时,x2+14=x,所
2、以A不一定成立;B中,当x0时,x+1x2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)20,即x2+12|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+11,所以0b0,那么abB.如果ab0,那么a2b2C.对任意正实数a和b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立D.对任意正实数a和b,有a+b2ab,当且仅当a=b时,等号成立答案C解析依题意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为a2+b2,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2412ab
3、=2ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形重合.故选C.5.(多选题)设x0,y0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是()A.当a=0时,x+y的最大值为4B.当a=0时,x+y的最小值为4C.当a=3时,xy的最小值为9D.当a=3时,xy的最大值为3答案BC解析当a=0时,x0,y0,xy=x+y,1x+1y=1.x+y=(x+y)1x+1y=2+yx+xy2+2yxxy=4,当且仅当yx=xy,且1x+1y=1,即x=y=12时,等号成立,x+y取得最小值4,A错误,B正确;当a=3时,xy=x+y+32xy+3,当且仅当x=y时,等号成立,解
4、得xy3,即xy9,故xy的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.6.已知t0,则t2-3t+1t的最小值为.答案-1解析t2-3t+1t=t+1t-32t1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为,2x(y+1)的最大值为.答案23解析正实数x,y满足x+2y=4,则xy=12x2y12x+2y22=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.2x(y+1)=412x(y+1)212x+y+12=3,当且仅当12x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=12时,等号成立.8.设a0,b0,且不等式1a+1b+k
5、a+b0恒成立,求实数k的最小值.解因为a0,b0,所以原不等式可化为k-1a+1b(a+b),所以k-ba+ab-2.因为ba+ab2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以-ba+ab-2的最大值为-4.所以k-4,即k的最小值为-4.9.已知a,b,c为正数,求证:b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc3.证明左边=ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1=ba+ab+ca+ac+cb+bc-3.a,b,c为正数,ba+ab2(当且仅当a=b时,等号成立);ca+ac2(当且仅当a=c时,等号成立);cb+bc2(当且仅当b=c时,等号成立).从而ba+ab+ca+ac+cb+bc
6、6(当且仅当a=b=c时,等号成立).ba+ab+ca+ac+cb+bc-33,即b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc3.等级考提升练10.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.a+b有最小值2C.14a+14b有最小值1D.a2+b2有最小值22答案ABD解析a0,b0,且a+b=1,1=a+b2ab,ab14,当且仅当a=b=12时,等号成立.ab有最大值14,选项A错误;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+214=2,a+b2,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a+b有最大值2,B项错误;14a+14b=a+b4ab=14a
7、b1,当且仅当a=b=12时,等号成立.14a+14b有最小值1,C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-214=12,当且仅当a=b=12时,等号成立.a2+b2的最小值是12,不是22,D错误.11.(2021安徽宣城高一期末)已知a0,b0,若不等式1a+2bm2a+b恒成立,则实数m的最大值为()A.10B.9C.8D.7答案C解析因为a0,b0,则m1a+2b(2a+b),所以1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当ba=4ab,即b=2a时,等号成立,要使不等式恒成立,所以m8.即实数m的最大值为8.故选C.12.(多选题)对于a0,b
8、0,下列不等式中正确的是()A.ab20,b0时,因为21a+1bab,所以2ab1a+1b,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.13.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8答案C解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x-1,得x+10,9x+10,所以由基本不等式得y=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.14.(多选题)(2021江苏南通中学高二期中)若实数a0,b0,ab=1,则下列选项的不等式中
9、,正确的是()A.a+b2B.a+b2C.a2+b22D.1a+1b2答案ABC解析因为实数a0,b0,ab=1,所以a+b2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故A正确;a+b2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故B正确;a2+b22ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故C正确;1a+1b21ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故D不正确.故选ABC.15.已知abc,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.答案(a-b)(b-c)a-c2解析abc,a-b0,b-c0,a-c2=(a-b)+(b-c)2(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时,等号成立.16.直
10、角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为.答案3-22解析设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为a2+b2,面积为S,周长L=2,由于a+b+a2+b2=L2ab+2ab,当且仅当a=b时,等号成立,abL2+2.S=12ab12L2+22=12(2-2)L22=3-224L2=3-22.17.已知不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.解(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy,又x0,y0,a0,yx+axy2yxaxy=2a,1+a+yx+axy1+a+2a,当且仅当y=ax时,等号成立.要使(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒
11、成立,只需1+a+2a9恒成立即可.(a+1)29,即a+13,a4,故a的最小值为4,此时y=2x=2.新情境创新练18.若a0,b0,且(a+b)ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.解(1)(a+b)ab=1,a+b=1ab.a0,b0,a+b2ab,当且仅当a=b=22时,等号成立,1ab2ab,ab12,当且仅当a=b=22时,等号成立,ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下,a0,b0,12a+13b212a13b=26ab233,当且仅当a=b=22时,等号成立.63233,不存在a,b使得12a+13b的值为63.6