1、 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A B C D 2.已知向量，则（ ）A B C D3.若直线与平面相交，则（ ）A平面内存在直线与异面 B平面内存在唯一直线与平行 C平面内存在唯一直线与垂直 D平面内的直线与都相交4.已知是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.已知某路段最高限速，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：），若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）A B
2、 C D6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7. 若执行如图所示的框图，输入，则输出的结果是（ ）A B C D8.已知是双曲线：的左右焦点，点在上，与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D39. 在中，角的对边分别是，若,的面积记作，则下列结论中一定成立的是（ ）A B C D10.函数在的图象大致为（ ）11.已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A或 B或2 C.1或2 D或212. 已知定义在上的可导函数满足，设，则的大小关系是（ ）A B C D的大小与有关二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1
3、3.已知是虚数单位，复数的模等于 14.在各项均为正数的等比数列中，若，则 15.若，记，则的值为 16.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为.（）求的通项公式；（）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）在某天的上午时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如下表1与图2所示. 已知这100位
4、客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）.（）确定图2中的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量的分布列与数学期望；（）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.（注：将频率视为概率，参考数据：）19. （本小题满分12分）如图，在三棱台中，平面过点，且，平面与三棱台的面相交，交线围成一个四边形.（）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；（）若，二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）设
5、椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（）求的值；（）动直线过点，与椭圆交于两点，求面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数，其中为常数.（）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（）若，对任意的正整数，当时，求证：.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最大值； （2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径
6、的倍，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案CCABCCCADADB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13； 142； 15； 16 三、解答题：本大题共6个题，共70分17.解：（）当时，.当时，.检验时，上式符合.（）由题知成等比数列， 即，解得.，公比.，上式两边乘以，得得.18. 解：（）由已知得，所以.该营业厅一次办理业务的用时组成一个总体，所收集的100位客户一次办理
7、业务的用时量可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得，的分布列为：56.581215的数学期望为.（）记为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”，为该顾客前面第位客户的用时量，则.由于各客户口的办理业务相互独立，.故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或.19. 解：（）围成的四边形如图所示，它是平行四边形；（），且，是二面角的平面角，以为轴，为原点建立如图直角坐标系，由已知，知又由台体的性质，是平行四边形，是的中点，又，则到平面的距离，同理是的中点，则.设平面的法向量为，则得一个法向量是，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为
8、.20. 解：（）由椭圆的几何性质得，由得，解得.（）由题与轴不重合，设的方程是，由得，即，因直线与椭圆有相异交点，解得或，令，则.当时所求面积的最大值是.21. 解：（）由已知得函数的定义域为，当时，所以，当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增.当时，在处取得极小值，极小值点为.（）证：因为，所以.当为偶数时，令，则所以当时，单调递增，的最小值为.因此所以成立.当为奇数时，要证，由于，所以只需证.令，则，当时，单调递增，又，所以当时，恒有,命题成立.综上所述，结论成立.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，化为直角坐标方程为，即.直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.圆心与点的距离为，的最大值为.（2）由，可化为，圆的普通方程为.直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，解得：或.23解：（1）依题意，原不等式可化为，当时，解集为空集；当时，解得；当时，解得；综上所述，所求不等式的解集为.（2）不等式等价于，解得（当且仅当时取等号），.