1、解直角三角形解直角三角形的基本类型以及解法图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边，一直角边（如c、a）b；由sinA，求A；B90A两直角边（如a、b）c；由tanA，求A；B90A一边一角斜边，一锐角（如c，A）B90A；由sinA，求acsinA；由cosA，求bccosA一直角边，一锐角（如a、A）B90A；由tanA，求b；由sinA，求c方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。（2）直角三角形的特殊性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（3
2、）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。例题 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C45，sinB，AD1。（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值。解析：（1）先由三角形的高的定义得出ADBADC90，再解RtADC，得出DC1；解RtADB，得出AB3，根据勾股定理求出BD，然后根据BCBDDC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DECECD，然后在RtADE中根据正切函数的定义即可求解。答案：（1）在ABC中，AD是BC边上的高
3、，ADBADC90。在ADC中，ADC90，C45，AD1，DCAD1。在ADB中，ADB90，sinB，AD1，AB3，BD2，BCBDDC21；（2）AE是BC边上的中线，CEBC，DECECD，tanDAE。点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。解直角三角形时应注意以下问题：（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”；（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。总之
4、，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。满分训练 如图所示，在ABC中，AD为A的平分线，AB3，AC5，BAC120，求AD的长。解析：要求AD，需选择适当的三角形使AD为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将AD构造成直角三角形的边。答案：设ADx。AD是BAC的平分线，BAC120，1260。SACDSADBSABC，作DH1AB于H1，DH2AC于H2，BH3CA，交CA延长线于H3，则DH1DH2A
5、Dsin60xsin60，BH33sin60。5xsin603xsin6053sin60。解得x，所以角平分线AD的长为。点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。（答题时间：）一、选择题1. ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，如果a2b2c2，那么下列结论正确的是（ ）A. csinAaB. bcosBcC. atanAbD. ctanBb*2. 如图，四边形ABCD中，BADADC90，ABAD2，CD，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4*3. 如图，在RtABO中，斜边AB
6、1。若OCBA，AOC36，则（ ）A. 点B到AO的距离为sin54B. 点B到AO的距离为tan36C. 点A到OC的距离为sin36sin54D. 点A到OC的距离为cos36sin54*4. 在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：若，则tanEDF；若DE2BDEF，则DF2AD。则（ ）A. 是真命题，是真命题B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题D. 是假命题，是假命题二、填空题5. 在ABC中，ABAC5，sinABC0.8，则BC_。*6. 如图，在菱形ABCD中，DEAB于点
7、E，cosA，BE4，则tanDBE的值是_。*7. 在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE。已知AE5，tanAED，则BECE_。*8. 如图所示，在ABC中，A30，ABAC2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15_，BC_。三、解答题9. 如图，在RtABC中，C90，AB10，sinA，求BC的长和tanB的值。10. 如图，在ABC中，ADBC于点D，AB8，ABD30，CAD45，求BC的长。*11. 如图，在RtABC中，ACB90，D是边AB的中点，BECD，垂足为点E。己知AC15，cosA。（1）求线段CD的长；（
8、2）求sinDBE的值。*12. 如图，已知ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA、PB、PC。（1）如图，若BPC60，求证：ACAP；（2）如图，若sinBPC，求tanPAB的值。1. A 解析：a2b2c2，ABC是直角三角形，且C90。sinA，则csinAa，故选项A正确；cosB，则ccosBa，故选项B错误；tanA，则b，故选项C错误；tanB，则atanBb，故选项D错误。2. B 解析：过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F，BADADC90，ABAD2，CD，ABDADB45，CDF90ADB45，sinABD，AEABsinABD2sin4522
9、，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个；sinCDF，CFCDsinCDF1，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点。总之，P到BD的距离为的点有2个。3. C 解析：点B到AO的距离是指BO的长，ABOC，BAOAOC36，在RtBOA中，BOA90，AB1，sin36，BOABsin36sin36，故选项A错误；由以上可知，选项B错误；过A作ADOC于D，则AD的长是点A到OC的距离，BAO36，AOB90，ABO54，sin36，ADAOsin36，sin54，AOABsin54，又AB1，ADABsin54sin361sin54sin36sin54sin36，故选项C
10、正确；由以上可知，选项D错误，故选C。4. A 解析：设CFx，DFy，BCh，则由已知菱形BFDE得，BFDFy，由已知得：，化简得：，即在BFC中，cosBFC，BFC30。由已知得EDF30，tanEDF，所以是真命题。已知菱形BFDE，DFDE，SDEFDFADBDEF，又DE2BDEF（已知），SDEFDE2DF2，DFADDF2，DF2AD，所以是真命题。故选：A。5. 6 解析：过点A作ADBC于D，ABAC，BDCD，在RtABD中，sinABC0.8，AD50.84，则BD3，BCBDCD336。6. 2 解析：四边形ABCD是菱形，ADAB，cosA，BE4，DEAB，设A
11、DAB5x，AE3x，则5x3x4，x2，即AD10，AE6，在RtADE中，由勾股定理得：DE8，在RtBDE中，tanDBE2。7. 6或16 解析：若BAC为锐角，如答图1所示：AB的垂直平分线是DE，AEBE，EDAB，ADAB，AE5，tanAED，sinAED，ADAEsinAED3，AB6，BECEAECEACAB6；若BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BECE16。故答案为：6或16。8. ； 解析：在ABD中，BDABsinA2sin301，ADABcosA2cos30。所以CDACADABAD2，所以tanCBD2，CBDABCABD756015，即tan152。BC
12、2BD2CD284（）2，所以BC。9. 解：在RtABC中，C90，AB10，sinA，BC4，根据勾股定理得：AC2，则tanB。10. 解：ADBC于点D，ADBADC90。在RtABD中，AB8，ABD30，ADABsinABDAB4，BDABcosABDAB4。在RtADC中，CAD45，ADC90，DCAD4，BCBDDC44。11. 解：（1）在RtABC中，cosA，AC15，AB1525。又点D是RtABC斜边AB的中点，CDAB；（2）点D是AB的中点，ACD、BCD都是等腰三角形，ADCACD，BCDCBD。ADCBDE90DBE，ACD90BCD90CBD，DBECBD
13、。sinDBEsinCBD=。12. 解：（1）BPC60，BAC60，ABAC，ABC为等边三角形，ACBABC60，APCABC60，而点P是的中点，ACPACB30，PAC90，tanPCAtan30，ACPA；（2）过A点作ADBC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，ABAC，AD平分BC，点O在AD上，连接OB，则BODBAC，BPCBAC，sinBODsinBPC，设OB25x，则BD24x，OD7x，在RtABD中，AD25x7x32x，BD24x，AB40x，点P是的中点，OP垂直平分AB，AEAB20x，AEPAEO90，在RtAEO中，OE15x，PEOPOE25x15x10x，在RtAPE中，tanPAE，即tanPAB的值为。8
