1、1/20第 27 届（2016 年）希望杯全国数学邀请赛高二第 2 试一、选择题1.数列 na的通项公式是(1)(21)nnan，则它的前 2016 项之和是（）（A）-2016（B）-1008（C）2016（D）4032答案：（C）.解：111(1)(21)(1)2(1)1(1)2nnnnnaann ，当n为奇数时，12nnaa，所以2016123420152016Saaaaaa123420152016()()()2222(20162)aaaaaa2016，故选（C）.2.The symmetry point of point(5,1)about the line y=2x+1,is（）(A
2、)(-3，5)(B)(-5，1)(C)(-1，5)(D)(3，-5)（英汉小词典：symmetry对称）译文:点(5,1)关于直线 y=2x+1 的对称点是（）(A)(-3，5)(B)(-5，1)(C)(-1，5)(D)(3，-5)答案：（A）.解：设 P(5,1)，所求点坐标是),(00 yxQ，则线段 PQ 的中点)21,25(00yxM在直线 y=2x+1 上，所以152100 xy，即011200 yx.另一方面,因为 PQ 与直线 y=2x+1(斜率为 2)垂直，所以2/20215100 xy，即07200yx.由可解得5,300yx.故点(5,1)关于直线 y=2x+1 的对称点是
3、(-3,5).故选（A）.3.函数41422xxy的最小值是（）(A)4(B)25(C)2(D)23答案：（B）.解:因为4144443222xxxy,由均值不等式,可知14144241442222xxxx,当414422xx,即 x=0 时，上式的等号成立，此时,4432 x也取得最小值 23.所以函数41422xxy的最小值是25123.故选（B）.另解：令24tx，则2t.于是1ytt，显然，2t 时，1ytt 单调递增，所以min15222y.故选（B）.4.已知正实数 x，y 满足20 xyxy，则 xy的取值范围是()3/20(A)(,22 3 (B)2 32,2(C)2 32,2
4、(D)22 3,)答案：(B).解：设 xyk，则2xyk，于是可知x，y 是方程220tktk的两个正根，所以20204(2)0kkkk ，解得0,2,22 3,kkk 或0,2,22 3.kkk 所以2 322k.即k 的取值范围是2 32,2.故选（B）.5.已知 a 是整数，且 66a.若201651a能被 13 整除，则 a=()（A）-3（B）-1（C）2（D）6答案：（B）.解：因为52 是 13 的倍数，51=52-1，201620160201612015201520162016201651(521)5252521CCC，所以要使1651a能被 13 整除，只需1+a 能被 1
5、3 整除，结合 66a，得a=-1.故选（B）.6.若点 P 的坐标(,)x y 满足等式22 222()21xyxyx y，则点 P 的个数是（）（A）0（B）2（C）4（D）6答案：（B）.解：设222(0)xyrr，显然0 xy不满足，故可知4/20存在0,2使cos,sinxryr，从而22 222()21xyxyx y，即4222cossin1rrr，即42222112 cossin(1)11rrrrr ，又sin22 cossin，且 sin 21，由，得1r，sin0，且sin 21 .所以22，或322，即4，或34.从而满足条件的点 P 有两个122222,2222PP.故选
6、（B）.7 ABC中，,BCa ACb ABc则“2222sinsinsincos2222ABCB”的充要条件是（）（A）2abc（B）2bca（C）2acb（D）2a cb答案：（C）解：由2222sinsinsincos2222ABCB，得1 cos1 cos1 cos1cos2222ABCB，移项整理可得1(coscos)1 cos2ACB，所以2coscos2sin222ACACB.在 ABC中，ABC，于是()sinsincos222BACAC，将代入，得cos2sin22ACB，上式两边同乘以 2cos 2B（其中2cos2sin22BAC），得5/202sinsinsinBAC.
7、根据正弦定理，得2acb，反之也成立.故选（C）.8.已知直线 l：(2016)yk x和双曲线 C:221xy，若直线 l 与双曲线 C 的右支有且只有一个交点，则参数 k 的取值范围是（）（A）（-1，1）（B）-1，1（C）(,1（D）1,)答案：（B）.解：如图，易知直线 l：(2016)yk x过点 P（2016，0），且双曲线221xy 的渐近线是 yx，斜率为 1.要使l 与双曲线 C 的右支有且只有一个交点，只须直线l 位于渐近线 yx 之间，即直线l 的斜率 k 满足：11k ，故选（B）.9 设)(nf是 正 整 数 n（十 进 制）的 各 个 数 位 上 的 数 字 的
8、平 方 之 和，比 如14321)123(222f.记)()(1nfnf，)()(1nffnfkk，,3,2,1k则2015(2016)f的值等于（）（A）20（B）42（C）89（D）145答案：（C）.解：2222(2016)201641f.Fxyl1l2l6/20将(2016)41f记作 201641，于是有2016411750252985891454220416375889145观察上式可知，从 89 开始，nf 是周期为 8 的周期数列，所以20152008251 8(2016)(89)(89)89fff.故选（C）.10如图，某圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O
9、是底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内（包括圆周）.若 AMMP，则 P 点形成的轨迹的长度是（）（A）7（B）72（C）3（D）32答案：（B）解：以 O 为坐标原点，过点 O 且垂直于平面 ASB 的直线为 x 轴，AB 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(0,1,0),(0,0,)3S,(0,0,)32M.设 P(x,y,0)，于是有(0,1,),(,).2323AMMPx y由 AMMP，得(0,1,)33(,)022x y，即34y，此为点 P 的轨迹方程，它在底面内的长度为2371()422.故选（B）.7/20二、填空题1
10、1.在等差数列na中，50100a，则数列na的前 99 项的和等于.答案：9900.解：等差数列nana的前 99 项的和等于1995029999990022aaa.12.函数2413xyx的值域是.答案：4,13.解：因为230 x，所以2413xyx，即24310yxxy 当 y=0 时，14x；当0y 时，164(31)xyy 解得413y 且0y.综上知，413y.所以函数2413xyx的值域是4,13.13.函数|sin2|cos2|yxx的最小正周期是_.答案：4.解：作出函数|sin2|cos2|yxx的图像，如下图.8/20由图可知函数|sin2|cos2|yxx的最小正周期
11、是 4.14.已知 x，y 都是正数，2222xy，则 22xy的最小值是.答案：44 2.解：因为 x，y 都是正数，于是由2222xy，可得222xy，即12xy.又22222xyxy2 22xy24 244 2，所以当 22xy且2222xy，即412x，4 22y 时，22xy取得最小值44 2.9/2015.设 x 表示不超过实数 x 的最大整数，集合 A=2|,12016,2016kn nkkN，则 A中元素的个数是答案：1513.解：因为22121201620162016kkk.由 221211201620162016kkk，k N，解得1007k，即当1,2,3,1007k 时
12、，22120162016kk，或 221120162016kk.因为2210071503,020162016，所以当1,2,3,1007k 时，22016k能取遍0,1,503的所有数值，共 504 个.另外，当1008,1009,2016k 时，因为 221120162016kk，所以221120162016kk，即222100810092016,201620162016 的值各不相同，共有不同数值2016-1008+1=1009（个），注意到2210081007=50450320152015，所以 A 中元素的个数是504+1009=1513.10/2016.函数2sin()3cos()3
13、6yxx在2,0 上的单调递减区间是.答案：5110,2 66.解：2sin()3cos()36yxx2(sincoscos sin)3(cos cossin sin)33663 33(sin3 cos)(cossin)2233 3(1)sin(3)cos22xxxxxxxxxx 13sincos22xx sin()3x，作出sin()3yx的图象，如下图所示，11/20由0,2 x，得5,333x ，令 32x，得56x；令332x，得116x，所以sin()3yx单调递减区间是5110,2 66，故函数2sin()3cos()36yxx在2,0 上的单调递减区间是5110,2 66.17.
14、ABC中，AC=4，BC=3，30C，E、F 分别在边 AC、BC 上.若 EF 平分 ABC的面积，则 EF 的最小值是.答案：33.解：11sin4 3sin30322ABCSAC BCC.设 CE=x，CF=y，则有11sin3024CEFSxyxy，又1322CEFABCSS，所以1342xy，即6xy.由余弦定理，得2222cos30EFxyxy23xyxy12/20(23)6(23)3(42 3)xy23(31)，所以3(31)33EF，当6xy时，上式的等号成立.故 EF 的最小值是33.18.Theequationofthecirclethat pass coordinateo
15、rigin and two intersected pointsofandis _.（英汉小词典：equation方程；coordinate origin坐标原点）答案：22558160 xyxy.译文：过两圆422 yx和014222yxyx的交点，且过原点的圆的方程是_.解法 1：因为原点不在题设中的两个圆上，故可设所求的圆的方程为0)142(42222yxyxyx.（*）将原点坐标0,0 xy代入（*），得04，即4.将4代入（*），整理得22558160 xyxy.因此，所求的圆的方程是22558160 xyxy.解法 2：设满足题意的圆的方程是220 xyBxCyD，由题设此圆过原点
16、，易得0D，所以满足题意的圆的方程是220 xyBxCy.将它与题中两圆的方程联立，得13/202222224,2410,0.xyxyxyxyBxCy-，得2450 xy，-，得40BxCy，其中，上面两个方程都表示过两圆的交点的直线方程，因为交点都是相同的两点 M 和 N，所以它们所表示的方程是同一个方程，即4245BC，所以816,55BC，于是满足题意的圆的方程是22816055xyxy，即22558160 xyxy.19.设()3cos4sin2f xxx.若实数 a，b，c 使()()5af xbf xc对所有实数 x 恒成立，则()cosabc.答案：52.解：易知()3cos4s
17、in25sin()2f xxxx，其中34sin,cos55，于是()()5af xbf xc对所有实数 x 恒成立，即14/205sin()25sin()25axbxc，即(55 cos)sin()5 cos()sin2()5abcxbxcab对任意的 xR 成立，于是5(cos)0,5 sin0,2()50.abcbcab若0b，由得0a，与矛盾，故0b，于是由，得sin0c，即,ckkZ.若2,kn nZ，由，得0ab，与矛盾，故21,knnZ，此时coscos(21)1cn .从而由、，得ab，且52ab.所以55()cos(1)22abc .20.如图，已知,m n 是异面直线，点,
18、A Bm，6AB；点,C Dn，4CD.若,M N 分别是AC，BD 的中点，2 2MN，则 m 与 n 所成角的余弦值是.答案：512.解法 1：如图，作/CEAB，且CEAB，则ABEC 是平行四边形.15/20设 G 是 BE 的中点，BC 交 MG 于 F，则F 是 MG 的中点，MF=FG=132 AB，FN 是BCD 的中位线，即 FN=122 CD.设 NGx，则222222222(32)MNNGMFFNGFFN，即有222618xMN，又NG 是BDE 的中位线，所以22(2)4 1872DEx，22236 16725cos22 4 612CECDDEDCECD DE ，因此，
19、m 与 n 所成角的余弦值是 512.解法 2：由题设可知1()2MNABCD，所以221()()2MNABCD，则2221()()()2cos,4MNABCDAB CDAB CD ，将6AB，4CD，2 2MN，代入上式并化简，得5cos,12AB CD ，16/20因此，m 与 n 所成角的余弦值是 512.三、解答题21.ABC中，6,10ABAC，O 是 ABC的外心，AOxAByAC，且21xy，求ABC的面积.答案：24 或5 11.解：设 D 为 AB 中点，则21()182AO ABADDOABAD ABAB ，又因为()36AO ABxAByACABxyAB AC ，所以36
20、18xyAB AC，同理可得10050AO ACyxAB AC ，联立两式，得22100365018yxyx，将21xy 代入，得2210036(1 2)5018(1 2)yyyy，即2222990yy，解得12y，或911y.当12y 时，0 x；当911y 时，711x .代入式，得36AB AC，或50AB AC.又因为cosAB ACABACA，所以3cos5A，或5cos6A，注意到 A 是三角形的内角，可得4sin5A，或11sin6A.于是1sin242ABCSABACA，17/20或1sin5 112ABCSABACA.22.设12，且2，求sinsincos的最大值.(结果不
21、含三角函数)答案：1(621)8.解：由12，及2，得32，即6，所以,12 6.设22，则存在04，使得，于是有sinsincosM2222222222sin()sin()cos(sincoscossin)(sincoscossin)cos(sincoscossin)cossin(1 sin)cossin cos(sinsin)cos2sincos，当且仅当sin0，即0，亦即时，等号成立.所以对于任意固定的，当且仅当时，M 才有可能取得最大值2sincos.又21sincos(1 cos2)cos211 cos()cos221(1 sin)cos211cossin 224.记11()cos
22、sin224f，显然当,12 6 时，()f 是单调递减函数，18/20所以当12 时，()f 有最大值 11cossin21246，故M 的最大值是 11cossin21246.11cossin212461cos11622821123481(13)142821(13)881(621)8.23.抛物线 S 的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，若直线 x+y-1=0 与抛物线 S 交于 A、B 两点，且|AB|=1168.（1）求抛物线 S 的方程；（2）抛物线 S 上是否存在点 C，使得ABC 是等边三角形，若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，说明理由.答案：xy1142；(1125,1
23、110).解：（1）因为抛物线 S 的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，所以可设抛物线 S 的方程为)0(22ppxy.由2102xyypx 消去 y，得22(1)10 xpx.(*)设11(,)A x y，22(,)B xy.由直线 x+y-1=0 与抛物线 S 相交于 A、B 两点，可知19/201x，2x 是方程（*）的两个根，所以122(1)xxp，121x x.于是221212|()()ABxxyy221212212212122()(1)(1)2()2()422(1)4xxxxxxxxx xp22 22pp，又已知弦长|AB|=1168，所以28 62 2211pp，解得p=11
24、2，或 p=-1124(舍去)，故抛物线 S 的方程是xy1142.（2）假设抛物线 S 上存在满足条件的点 C(x3,y3)，设 AB 的中点是 D(x0,y0)，则120131211xxxp，00132111111yx ，即132(,)1111D.因为ABC 是等边三角形，所以CDAB，且|CD|=23|AB|=12 211.由 CDAB、直线 AB:x+y-1=0 和132(,)1111D，得直线 CD 的方程是213()1111yx，即x-y=1511，又点 C 在直线 CD 上，所以20/20111533 yx.由12 2|11CD，及点 C 到直线 AB 的距离公式，得3324|1|11xy.联立，解得3325,1110,11xy或331,1114.11xy 经检验知，点 114(,)1111不在抛物线 S：xy1142 上，所以满足题设的点 C 的坐标是C(1125,1110).故存在点 C(1125,1110)，使得ABC 是等边三角形.
