1、一单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。）1直线 1:l2430 xy与直线 2:l2470 xy之间的距离是（）A 2 55B 4 55C5D2 51C【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可【详解】直线10(,AxByCA B不同时为 0)与直线20(,AxByCA B不同时为 0,12)CC之间的距离1222CCdAB，直线 1l 与直线 2l 之间的距离3754 16d 故选：C2已知直线 1l：210axy，和直线 2l：120axay垂直，则（）A1a B0a C0a 或1a D1a 2C【分析】根据两直线垂直，
2、得到方程，求出得0a 或 1.【详解】因为直线 1l 和直线 2l 垂直，故 120a aa，解得0a 或 1，经检验，符合要求.故选：C3经过点3,2A，且与直线420 xy平行的直线方程是（）A414yx B4280 xyC 2420 xyD4140 xy3A【分析】根据题意，设所求直线方程为40 xyC，将点代入求参数，即得方程.【详解】令所求直线方程为 40 xyC，则122014CC，所以，所求直线为414yx（或4140 xy）.故选：A4已知直线1:120lxa ya与 2:6150laxy平行，则a（）A2B3C 3D2 或 34A【分析】由直线平行的条件求解即可.【详解】因为
3、 12ll，所以 16aa，解得2a 或3a 当3a 时，1l 与 2l 重合故2a 故选：A5直线30 xya截圆22(1)(2)5xy所得的弦长为2 5，则a 的值为（）A1B1C3D35B【分析】利用圆的性质计算即可.【详解】易知圆心为()1,2-，半径5r，而直线30 xya截圆22(1)(2)5xy所得的弦长为2 5 等于直径，故直线30 xya过圆心，所以有31201aa .故选：B6过圆2240 xy 与圆2244120 xyxy交点的直线方程为（）.A30 xyB30 xyC20 xyD40 xy6C【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.
4、【详解】联立2222444120 xyxyxy，解得02xy或20 xy，所以圆2240 xy 与圆2244120 xyxy交点为0,2 和2,0，所以过两圆交点的直线方程为200220yx，即20 xy.故选：C7若椭圆22125xy 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则 P 到另一个焦点的距离为（）A3B4C5D67A【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.【详解】椭圆22125xy 的长轴长210a，而点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，所以 P 到另一个焦点的距离为 273a.故选：A8已知椭圆22221(0)xyabab中，长轴长为 10，离心率为32，则焦距为（）A53B10C5
5、5D568A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】210a，所以5a；又因为32cea，得5 32c，所以25 3c.故选：A.多选 9如图，在正方体1111ABCDA B C D中，,E F 分别为11AB,A D 的中点，则（）A BFCEB DF/平面1B CEC BF 平面1B CED直线 DF 与直线CE 所成角的余弦值为 25多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分。）9AD【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，
6、A 选项，根据0CE BF得到 A 正确；B 选项，求出平面1B CE 的法向量，由10mDF 得到 B 错误；C 选项，根据10B C BF，得到直线 BF 与直线1B C 不垂直；D 选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB，则10,0,0,2,1,0,1,0,2,2,2,0,2,2,2,0,2,0DEFBBC.12,1,0,1,2,2,1,0,2,2,0,2CEBFDFB C .A 选项，因为220CE BF ，所以 BFCE，A 正确.B 选项，设平面1B CE 的法向量为,mx y z，则 1,2,0,2220,2,1,
7、020m B Cx y zxzm CEx y zxy ，令1x 得，2,1yz ，故1,2,1m，因为,1,2,112101,0 2DmF ，所以 DF 与 m 不垂直，则直线 DF 与平面1B CE 不平行，B 错误.C 选项，若 BF 平面1B CE，则1BFB C.因为10204B C BF，所以直线 BF 与直线1B C 不垂直，矛盾，C 错误.D 选项，2,1,01,0,22cos,54 114CE DFCE DFCEDF，D 正确.故选：AD10关于椭圆22142xy，以下说法正确的是（）A长轴长为 4B焦距为2 2C离心率为22D左顶点的坐标为2,010ABC【分析】根据椭圆方程
8、确定222,a b c，再根据椭圆的性质，即可求解.【详解】由条件可知，24a，22b ，那么2222cab，所以长轴长24a，焦距22 2c，离心率22cea，左顶点2,0，故 ABC 正确，D 错误.故选：ABC11已知圆的方程为22420 xyx，下列结论正确的是（）A该圆的面积为4B点2,1 在该圆内C该圆与圆221xy 相离D直线40 xy与该圆相切11BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于 A，根据圆的面积公式即可判断；对于 B，将点2,1 代入22(2)xy，判断与2 的大小，即可得出结论；对于 C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于
9、D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断【详解】222242(2)2xyxxy，可知圆心为(2,0)，半径2r；对于 A：由圆的半径2r，得该圆的面积为22r，故 A 错误；对于 B：因为22(22)174 22，所以点2,1 在该圆内，故 B 正确；对于 C：圆221xy 的圆心为(0,0)，半径为 1，因为两圆心距离为22(20)(00)221，且22 1，所以两圆相交，故 C 错误；对于 D：圆心(2,0)到直线40 xy的距离22204211dr，所以直线40 xy与该圆相切，故 D 正确，故选：BD12已知圆C：221xy，直线l：1yx，则（）A直线l
10、 在 y 轴上的截距为 1B直线l 的倾斜角为 4C直线l 与圆C 有 2 个交点D圆C 上的点到直线l 的最大距离为212ABC【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断 AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断 CD.【详解】A.当0 x 时，1y ，直线l 在 y 轴上的截距为 1，故 A 正确；B.直线l 的斜率为 1，设直线l 的倾斜角为，tan1 ，4，所以直线l 的倾斜角为 4，故 B 正确；C.圆心到直线的距离12122d ，所以直线与圆相交，所以直线 l 与圆C 有 2 个交点，故 C 正确；D.根据 C 可知，圆C 上的点到直线l 的最大距离为212 ，故 D 错误.故选：ABC二
11、、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13已知方程22153xykk表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为131,3【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.【详解】根据题意，要使方程22153xykk表示焦点在 x 轴上的椭圆，则满足503053kkkk ，解得 13k，即实数k 的取值范围为1,3.故答案为：1,314若圆222440 xyxy与圆22242(0)xym m相外切，则m 的值为142【分析】利用圆与圆的位置关系求解.【详解】圆222440 xyxy的标准方程为：22129xy，则其圆心为()1,2-，半径为13r，因为圆22
12、2440 xyxy与圆22242(0)xym m相外切，所以 224 1223m，解得2m，所以m 的值为 2，故答案为：215如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D中，,E F G 分别是11,DD BD BB 的中点则EF 与 CG 所成角的余弦值为151515/11515【分析】建立空间直角坐标系，求得,ECGF，从而利用向量的夹角公式求解.【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,DBCBD11 110,0,0,1,1,22 22EFG，则1 111,1,0,2 222EFCG，故11135,244
13、22GEECFGCF，所以1154cos,153522CGCCEFFEFGEG，即 EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.故答案为：1515.16圆心在直线:230l xy上，且经过点3(2,)A，(2,5)B 的圆的方程为16221210 xy【分析】直线l 和线段 AB 的垂直平分线的交点是圆心，圆心到 A 点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点3(2,)A和(2,5)B，12ABk，AB 中点为0,4，所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 yx 24联立方程组23024xyyx，解得12xy 所以，圆心坐标为1,2C ，半径222 13210rCA ，所以，此圆的标准方程是2
14、21210 xy故答案为：221210 xy三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率。(1)22936xy；(2)229545xy.17(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定 a、b、c 及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.【详解】（1）将22936xy化为标准方程为：221364xy，所以6a，2b，则223644 2cab，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦
15、距为8 2，顶点坐标为6,0、6,0、0 2,、0,2，焦点坐标为4 2,0和4 2,0，离心率为2 23cea，椭圆图象如下：（2）将229545xy化为标准方程为：22159xy，因为95，所以椭圆的焦点落在 y 轴上，所以3a ，5b，则22952cab，所以椭圆的长轴长为6，短轴长为2 5，焦距为4，顶点坐标为5,0、5,0、0,3、0,3，焦点坐标为0 2,和0,2，离心率为23cea，椭圆图象如下：18已知 ABC 的三个顶点 A（3，7），B（2，5），C（3，5），点 D 为 AC 的中点（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 BD 的方程（3）求 ABD 的面积18(1)点 D
16、 的坐标为（0，1）;(2)2x+y1=0;(3)12.【分析】（1）利用中点坐标公式求得 D 点的坐标.（2）利用点斜式求得直线 BD 的方程.（3）利用两点间的距离公式求得 BD 的长度，利用点到直线的距离公式求得 A 到直线 BD 的距离，再利用三角形的面积公式求得面积.【详解】（1）设 D（x，y），则3302x，7512y ，点 D 的坐标为（0，1）（2）直线 BD 的斜率为5 1220k 直线 BD 的方程为：y1=2（x0），即 2x+y1=0（3）22205 12 5BD ，A 到直线 BD 的距离为222 37112 5521d ABD 的面积为1112 52 512225
17、ABDSBD d19如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，2PAAB，4BC，E 是 PD 的中点(1)求证：CD 平面 PAD；(2)求二面角 EACD的余弦值：(3)求 B 点到平面 EAC 的距离19(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到CDAP与CDAD；（2）分别求出平面 EAC 的法向量与平面 ACD 的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角 EACD的余弦值；（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.【详解】（1）因为 PA 平面 ABCD，AB，AD 平面
18、ABCD，所以 PAAB，PAAD，由于四边形 ABCD 是矩形，所以 ABAD，由此，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，2,0,0B，2,4,0C，0,4,0D，0,2,1E，0 0 2P,，所以2,0,0AB，0,4,0AD，0,0,2AP，2,0,0CD ，因为0CD AD，所以CDAD，由于0CD AP，所以CDAP，由于 ADAPA，AD，AP 平面 PAD，所以CD 平面 PAD；（2）由（1）得，设平面 ACE 的法向量,nx y z，(0,2,1)AE，(2,4,0)AC，则00n AEn AC，即2
19、0240yzxy，不妨令1x ，可得11,12n，且0,0,2AP 为平面 ABC 的一个法向量，于是2cos3n APn APnAP，所以平面 EAC 与平面 ACD 夹角的余弦值为 23；（3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量11,12n，2,0,0AB，设 B 点到平面 EAC 的距离为 d，则24332n ABdn，所以 B 点到平面 EAC 的距离为 43.20已知圆2268210Cxyxy：，直线 l 过点()1,0A.(1)求圆 C 的圆心坐标及半径；(2)若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程.20(1)圆 C 的圆心坐标是3,4，半径为 2
20、(2)1x 或3430 xy【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案；（2）直线 l 的斜率不存在时可直接得答案；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为1yk x，利用点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】（1）将圆 C 的方程化成标准式方程得222342xy，圆 C 的圆心坐标是3,4，半径为 2；（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程是1x ，满足题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为1yk x，即kxyk0，由圆心3,4 到直线 l 的距离等于圆 C 的半径，可得23421kkk，解得34k，故直线 l 的方程是3430 xy.综上所述，直线 l 的方程
21、是1x 或3430 xy.21如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，/ADBC，ADCD，且2,2 2,2ADCDBCPA.(1)求证：ABPC；(2)若点 M 为 PD 的中点，求直线 BM 与平面 AMC 所成角的正弦值21(1)证明见解析(2)4 615【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明 ABAC，进一步由已知条件证明 ABPA，由线面垂直判定定理可证明 AB 平面 PAC，进而即可得证 ABPC.（2）建立适当的空间直角坐标系，设平面 AMC 的法向量为,nx y z，直线 BM 与平面AMC 所成角为，先后分别求出,BM n 后，由公式sincos,BM nBM nB
22、Mn即可求解.【详解】（1）四边形 ABCD是直角梯形，2,2 2ADCDBC，222,()2ACABBCADCD，又222ACABBC，ABC是直角三角形，即 ABAC；PA 平面,ABCD AB 平面 ABCD，ABPA又,PA AC 平面,PAC PAACA，AB 平面 PAC，又PC 平面 PAC，ABPC（2）由（1）可知 ABAC，ABPA，又PA 平面,ABCD AC 平面 ABCD，所以 ACPA，所以,AB AC AP 两两互相垂直，故以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则由题中线段长度可知
23、 0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,2ABCDP，1 1,12 2M，5 11 1,1,0,2,0,12 22 2BMACAM 设平面 AMC 的法向量为,nx y z，则0,0,n ACn AM 即2011022yxyz，令1z ，则解得2,0 xy，于是，取2,0,1n 设直线 BM 与平面 AMC 所成角为，则22222251201 14 622sincos,1551120122BM nBM nBMn ；故直线 BM 与平面 AMC 所成角的正弦值为 4 61522已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为2,0F，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；
24、(2)不过原点O 的直线:l yxm与椭圆C 交于,A B 两点，求 ABO 面积的最大值及此时直线l 的方程.22(1)22162xy(2)最大值为3，方程为2yx【分析】（1）由焦点和离心率即可知,a c，从而可得椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，联立椭圆方程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把 ABO 面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知得2c，由离心率63cea，得226,2abac，椭圆C 的方程为22162xy.（2）设1122,A x yB xy，联立22162xyyxm可得，2246360 xmxm，直线:l yxm与椭圆 E 交于,A B 两点，223616 360mm，解得28m，由韦达定理可得21212336,24mmxxx x，由弦长公式可得2223366248242mmABm，点O 到直线l 的距离为2md，2222211263388832222442OABmmSdABmmmm，当且仅当228mm，即2m 时取等号，ABC面积的最大值为3，此时直线l 的方程为2yx.