1、2.函数与导数要点重温1几种常规函数：(1)一次函数：f(x)axb(a0)当b0时，f(x)为奇函数应用1若一次函数yf(x)在区间1,2上的最大值为3，最小值为1，则f(x)的解析式为_答案f(x)x，或f(x)x. (2)二次函数： 一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系应用2若函数yx22x4的定义域、值域都是2,2b，则b_. 【导学号：07804160】答案2应用3设函数f(x)x22(a1)x1在区间(，4)上是减函数，则a的取值范围是
2、_答案a3(3)三次函数的解析式的两种形式：一般式：f(x)ax3bx2cxd(a0)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0)应用4已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图2，则b的取值范围是_图2答案b0应用5若函数f(x)x33ax23(a2)x3既有极大值又有极小值，则a的取值范围为_答案a2或a1，则x0的取值范围是_. 【导学号：07804161】答案(，1)(3，)应用8已知f(x) 是(，)上的增函数，那么a的取值范围是_答案(6)指数函数、对数函数指数与对数的关系：abNlogaNb(a0，a1，N0) ，换底公式logab；对数的运算法则：logaMlo
3、gaNlogaMN；logaMlogaNloga；解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件(真数大于0，底数大于0且不等于1)；字母底数范围不明确时需分类讨论应用92log32log3log385log53_.答案1应用10已知函数f(x) loga(x1)的定义域和值域都是0,1，则实数a的值是_答案2应用11设a0，a1，函数f(x)ax2x1有最大值，则不等式loga(x1)0的解集为_解析因为x2x1有最小值，函数f(x)ax2x1有最大值，所以0a1，所以loga(x1)0loga10x11，解得1x2.答案(1,2)(7)对勾函数： f(x)x函数f(x)是奇函数；单调性： a
4、0时，区间(，0)，(0，)上为增函数； a0时，在(0，0)递减，在(，)递增；在c，d上的最值：当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性应用12已知a0，求函数y的最小值答案0a1时，ymin2；a1时，ymin2函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称应用13已知
5、函数f(x)e|ln x|，则函数yf(x1)的大致图象为()解析f(x)e|ln x|又yf(x1)的图象可由yf(x)向左平移1个单位得到，所以结合选项可知A正确答案A3函数的常用性质 研究函数的性质时，树立定义域优先的原则(1)函数的单调性与最值判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；求函数最值(值域) 的常用方法：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、有界函数法应用14已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的范围为_答案(1,2)应用15函数f(x)exx1(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是_答案e(2)函数的对称性轴对称：若函数yf(
6、x)满足f(ax)f(bx)，则图象关于x 对称. 特别地，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)中心对称：若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，则图象关于(a,0)成中心对称. 特别地，若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)应用16f(x)(1x) 是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案非奇非偶应用17函数f(x)的图象与函数g(x)2sinx(0x4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_. 【导学号：07804162】解析如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)
7、对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.答案(3)函数的周期性f(x)f(xa)(a0)，则f(x)的周期Ta；f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a；f(ax)f(xb)，则周期T|ab|.应用18设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f _.答案1(4)函数的零点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，求f(x)g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数yf(x)和yg(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零
8、点存在性定理应用19定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)1，且x0,1时，f(x)4x，x(1,2)时，f(x)，令g(x)2f(x)x4，x6,2，则函数g(x)的零点个数为()A6B7C8D9解析x0,1时，f(x)4x，f(1)4，x(1,2)时，f(x)，g(x)2f(x)x4，x6,2，令g(x)2f(x)x40，即f(x)x2.函数f(x)满足f(x2)f(x)1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数yf(x)在x6,2，yx2的图象，yf(x)在x6,2，yx2有8个交点，故函数g(x)的零点个
9、数为8个故选C.答案C应用20已知定义在R上的函数f(x)满足：(1)f(x)f(2x)0，(2)f(x2)f(x)，(3)在1,1上表达式为f(x)，则函数f(x)与函数g(x)的图象在区间3,3上的交点个数为()A5B6C7D8解析由(1)f(x)f(2x)0可得f(x)关于(1,0)对称，(2)f(x2)f(x)可得f(x)关于直线x1对称，作出示意图， 知函数f(x)与函数g(x)有6个交点答案B4导数在研究函数性质中的应用(1)导数几何意义：kf(x0)表示曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率注意过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条应用21过曲线yx32x上的点
10、(1，1)的切线方程为_解析设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx0 3x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20，或5x4y10.答案xy20 或5x4y10(2)求函数单调性的步骤：明确函数yf(x)的定义域求导数解不等式f(x)0得增区间(解不等式f(x)0且x1)在_上是减函数，在_上是增函数. 【导学号：07804163】答案
11、应用23已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因为max，所以2a，即a.答案(3)求函数极值、最值的步骤：求导；变形；求解；列表；作答特别提醒：导数为零的点并不一定是极值点， f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件；给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)应用24函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，则ab的值为_解析f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时， f(x)3x28x
12、11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时， f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.答案7(4)利用导数解决不等式问题的思想证明不等式f(x)g(x)，可构造函数h(x)f(x)g(x)，再证明h(x)maxx2，则不等式(x2 017)2f(x2 017)4f(2)0的解集为()A(2 014，)B(0,2 014)C(0,2 019)D(2 019，)解析由2f(x)xf(x)x2且x0，得2xf(x)x2f(x)x30.令g(x)x2f(x)(x0)，则g(x)2xf(x)x2f(x)0，所以g(x
13、)在(0，)上单调递增因为g(2)4f(2)，g(x2 017)(x2 017)2f(x2 017)，所以不等式(x2 017)2f(x2 017)4f(2)0等价于g(x2 017)g(2)，所以x2 0172，解得x2 019，故选D.答案D查缺补漏1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是() 【导学号：07804164】Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cos xB对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，不满足单调递减，故选B.2已知f(x)则f的值是()A1B1CDC1，f f(2)，又20，排除B，当x时，f(
14、x)0，排除C，故选D.5当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()【导学号：07804165】ABC(1，)D(，2)B当0a1时，ylogax是减函数，在0x内它的值域为，而y4x的值域为(1,2，所以此时有2logalogaa2，解得a1时，ylogax是增函数，在0x内它的值域为，而y4x的值域为(1,2，所以此时有logaloga10，显然不符合题意，综上a1.6已知f(x)是定义在R上的偶函数，且ff恒成立，当x2,3时，f(x)x，则当x(2,0)时，f(x)()A2|x1|B3|x1|C|x2|Dx4BxR，f f ，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，即f(x)是最
15、小正周期为2的函数令0x1，则2x23，当x2,3时，f(x)x，f(x2)x2，f(x)x2，x0,1，f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)x2，x1,0，令2x1，则0x21，f(x)x2，x0,1，f(x2)x4，f(x)x4，x2，1，当2x0，则关于x的函数g(x)f(x)的零点个数为()A1B2C0D0或2C因为函数g(x)f(x)，可得x0，所以g(x)的零点跟xg(x)的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg(x)xf(x)1的零点，由于当x0时，f(x)0，当x0时，(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x)x0，在(0，)上，函数xg(x)单调递增又f(x)在R上可导，当x
16、(0，)时，函数xg(x)xf(x)11恒成立，因此，在(0，)上，函数xg(x)xf(x)1没有零点当x0时，因为(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x)x1恒成立，故函数xg(x)在(，0)上无零点综上得，函数g(x)f(x)在R上的零点个数为0.9若函数f(x)ln(x2ax1)是偶函数，则实数a的值为_. 【导学号：07804166】0由题意知，f(x)ln(x2ax1)为偶函数，即ln(x2ax1)ln(x2ax1)，即x2ax1x2ax1，显然a0.10若偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.3因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)
17、，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，则f(1)f(41)f(3)3.11若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_(2,2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)因为f(x)0，f(2)0.所以f(|x|)f(2)又因为f(x)在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以|x|2，所以2x2.12已知函数f(x)若f(x)的最小值是a，则a_.4若a0，函数的值域为(0，)，不符合题意；若a0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当a时，函数f(x)没有零点(
18、提示：ln 20.69)解(1)因为f(x)ln x，所以f(x). 因为x0，所以当x(0，a2)时，f(x)0.所以，函数f(x)的单调递增区间为(a2，)，单调递减区间为(0，a2). 当xa2时，f(x)取得极小值f(a2)a21(a21)ln a2(2)证明：由(1)可知：当xa2时，f(x)取得极小值，亦即最小值f(a2)a21(a21)lna2，又因为a2，所以a24.设g(x)x1(x1)ln x，则g(x)ln x，因为g(x)在上单调递减，且g(1)0，g(2)0，g(4)56ln 20, 所以g(x)0恒成立从而f(a2)a21(a21)lna20恒成立，则f(x)0恒成
19、立所以当a时，函数f(x)没有零点. 15设函数f(x)4ln xax2(4a)x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在极值，对于任意的0x10，所以f(x)在(0，)上单调递增当a0时，则由f(x)0得，x，x1(舍去)当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，当a0时，f(x)存在极值f(x1)f(x2)4(ln x1ln x2)a(xx)(4a)(x1x2)4(lnx1lnx2)a(x1x2)(x1x2)(4a)(x1x2)由题设得f(x0)a(x1x2)(4a)又fa4a，所以f(x0)f.设t，则t1，则lnlnt(t1)令g(t)lnt(t1)，则g(t)0，所以g(t)在(1，)上单调递增，所以g(t)g(1)0，故ln0.又因为x2x10，因此f(x0)f0，即fx0，即x1x22x0.