1、2.3.2 平面与平面垂直的判定目标导航课标要求1.了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小.2.理解两个平面互相垂直的定义.3.理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直.素养达成通过对二面角及平面与平面垂直判定定理的学习,培养学生的观察、分析、解决问题能力.新知导学素养养成1.二面角(1)定义:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(如图).叫做二面角的棱,叫做二面角的面.记法:,在,内,分别取点P,Q时,可记作;当棱记为l时,可记作或.两个半平面直线AB半平面和-AB-P-AB-Q-l-P-l-Q(2)二面角的平面角:定义:在二面角-l-的棱l上任取一点O,如图所示,以
2、点O为垂足,在分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做.直二面角:平面角是的二面角.思考1:棱l与平面OAB什么关系?答案:垂直.半平面和内二面角的平面角直角2.平面与平面垂直(1)面面垂直的定义定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.画法:记作:.直二面角(2)判定定理垂线文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直思考2:垂直于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行或相交.名师点津(1)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角的取值范围是0180.二面角的平面角体现了“空间问题平
3、面化”的思想.(2)定理的关键词是“过另一平面的垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线.课堂探究素养提升题型一 求二面角例1(1)如图,在正方体ABCD-ABCD中:二面角D-AB-D的大小为;二面角A-AB-D的大小为;(1)解 析:在 正 方 体 ABCD-ABCD中,AB平 面 AD,所 以ABAD,ABAD,因 此 DAD为 二 面 角 D-AB-D的 平 面 角.在RtDDA中,DAD=45,所以二面角D-AB-D的大小为45.因 为A B平 面A D,所 以A B A D,A B A A,因 此A A D 为二面角A-AB-D的 平 面 角,又A A D=90,所 以
4、 二 面 角A-AB-D的 大 小为90.答案:4590(2)如图,已知RtABC,斜边BC,点A,AO,O为垂足,ABO=30,ACO=45,求二面角A-BC-O的大小.方法技巧(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中,利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为作角证明计算.(2)二面角的作法定义法:在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面形成交线,这两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角.垂线法:利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角,这是最常用也是最有效的一种方
5、法.备用例1 1.已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D,E,C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.解:如图所示,在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而,所求二面角即为二面角D-C1F-A1.因为A1DB1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分别为DF和A1F的中点.因为A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1A1C1.又因为CC1平面A1B1C1,FC1平面A1B1C1,所以CC1FC1.又因为A1C1,CC
6、1为平面AA1C1C内的两条相交直线,所以FC1平面AA1C1C.因为DC1平面AA1C1C,所以FC1DC1.所以DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由已知A1D=A1C1,则DC1A1=45.故所求二面角的大小为45.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.题型二 平面与平面垂直的判定例2(12分)如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上异于A,B的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.规范解答:连接AC,BC,2分因为C是圆周上异于A,B的任一点,且AB是O的直径.所以BCAC,4分又PA平面ABC,BC平面ABC,所以
7、PABC,6分而PAAC=A,所以BC平面PAC,9分又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC.12分一题多变:(1)本例中若增加条件“PA=AC”,求二面角P-BC-A的大小;(1)解:由条件得:PABC,ACBC,又PAAC=A,所以BC平面PAC,所以PCA为二面角P-BC-A的平面角.在RtPAC中,由PA=AC得PCA=45.故所求二面角的大小为45.(2)本例中若增加条件“PA=AC,D为PC的中点”,证明:AD平面PBC.(2)证明:由例2知,BC平面PAC,又AD平面PBC,所以ADBC,又RtPAC中,PA=AC,D为PC中点,所以ADPC,而PCBC=C,所以AD平面PB
8、C.方法技巧(1)证明平面与平面垂直的方法利用定义:证明二面角的平面角为直角;利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.备用例2(2018安阳高一期末)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PB=PD,E为PA的中点.(1)求证:PC平面BDE;证明:(1)设AC,BD交于点O,连接OE,因为四棱锥P-ABCD的底面是菱
9、形,所以O是AC的中点,因为E为PA的中点,所以OEPC,因为OE平面BDE,PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)求证:平面PAC平面BDE.证 明:(2)连 接PO,因 为 四 棱 锥P-ABCD 的底面是菱形,PB=PD,E 为PA 的中点,所以ACBD,BDPO,因为POAC=O,所以BD平面PAC,因为BD平面BDE,所以平面PAC平面BDE.题型三 线面垂直、面面垂直的综合问题例3(2018石家庄高一期末)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是DAB=60的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为线段AD的中点,求证:AD平面PBG;(1)证明:如图
10、,连接BD,因为PAD为等边三角形,所以PGAD,在ABD中,A=60,AD=AB,所以ABD为等边三角形,所以BGAD,所以AD平面PBG.(2)若E为边BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.(2)解:能在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD.证明如下:连接CG与DE相交于点H,在PGC中,作HFPG,交PC于点F,因为平面PAD平面ABCD,所以PG平面ABCD,所以FH平面ABCD,所以平面DHF平面ABCD,易知四边形ECDG为平行四边形,所以H是CG的中点,所以F是PC的中点,所以在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF平面
11、ABCD.方法技巧(1)利用判定定理,证明两个平面垂直,实质是转化为证明线面垂直,进一步转化为线线垂直问题求解.(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.即时训练3-1:(2018哈尔滨六中高一期末)已知ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.证明:(3)由(2)
12、知DM平面AEC,而DM平面DEA,所以平面DEA平面ECA.课堂达标1.下列命题中:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)B解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以不对,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故正确;中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故不对;由定义知正确.故选B.2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()(A)平面PAB平面PAD(B)平面PAB平面PBC(C)平面PBC平面PCD(D)平面PCD平面PAD解析:由面面垂直的判定定理知:平面PAB平面PAD,平面PAB平面PBC,平面PCD平面PAD,A,B,D正确.C答案:604.如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为.解析:PA平面ABC,所以BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又BAC=90,所以二面角B-PA-C的大小为90.答案:90
