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折纸游戏——椭圆.doc

折纸游戏椭圆准备一张纸片(如图1)(其中 点表示圆心, 点表示圆内除 点以外的任意一点。)将圆纸片翻折,使翻折上去的圆弧通过 点(图2),将折痕用笔画上颜色。继续上述过程,绕圆心一周。观察看到了什么?想一想为什么?直线围成了椭圆(如图3)如图4,设折痕为 ,那么 点关于直线 的对称点 一定在圆弧上连接 ,交 与 点,连结 ,则 =半径长(定值),所以 点的轨迹是椭圆 根据对称性,找到了折痕上一点满足到两定点的距离和等于定长,从而满足椭圆定义,得出结论 在这个问题中,怎么知道椭圆上的点恰好是图4中的点 呢? 是直线 上的点到两点 、 距离之和最小的点(易证),由包络图可以知道,椭圆上的点应该是过该点椭圆的切线上到两点 、 距离之和最小的点(图5)这就从反面证明了,如果椭圆上的点不是折痕上的 点的话,那么 点就在椭圆内部了,这与图形不符通过上述的折纸过程及分析、证明过程的讨论,使同学们对椭圆的定义有更深的理解,并且对椭圆的几何性质也有了一个初步的认识)在这个问题中,涉及到很多的数学知识如这些折痕实际上是椭圆的切线,在图511(4)中,由对称性可知, ,这一点反映在椭圆的光学性质上如果有一束光从 点出发,经椭圆反射后,反射光一定通过 点,北京天坛公园里的回音壁就是根据这个原理建造的

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